第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州十五中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ACA.14BC B.34BC C.2.已知平面向量a=(2,4)，b=(2,1)，則向量a在向量(a+2A.(53,53) 3.已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x7(x1<xA.6x1+1，6x2+1，…，6x7+1的平均數(shù)為6x?

B.2x1+1，2x2+1，…，2x7+1的方差為s2

C.44.小明參加一場弓箭比賽，需要連續(xù)射擊三個靶子，每次射箭結(jié)果互不影響，已知他射中這三個靶子的概率分別為x，x，13，若他恰好射中兩個靶子的概率是16，那么他三個靶子都沒射中的概率是(

)A.13 B.25 C.385.如圖，已知△ABC用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖為△A′B′C′，已知△A′B′C′是周長為6的正三角形，則△ABC的面積是(

)A.22

B.4

C.26.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E是棱CA.92

B.18

C.187.如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1,AB1=A.1

B.104

C.648.在三棱錐P?ABC中，PA=BC=10，PB=AC=5，PC=AB=A.28π B.2873π C.二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A=“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B=“兩次點數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C=“兩次點數(shù)之和為5”，則(

)A.事件A?B是必然事件 B.事件A與事件B是互斥事件

C.事件B包含事件C D.事件A與事件C是相互獨立事件10.已知復數(shù)z=1+3i，則A.|z|=2

B.z+(2+3i)z?=0

C.z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限

11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若sin2A>sin2B+sin2C，則△ABC是鈍角三角形

B.若△ABC是銳角三角形，則sinA>cosB

C.若b=4，c=3，12.下列結(jié)論錯誤的是(

)A.若向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則λ的取值范圍是(?53,+∞)

B.若非零向量a，b滿足|a|=|b|=|a?b|，則a與a+b的夾角為60°

C.若向量a，b滿足(a?2b)?b三、填空題：本題共1小題，每小題6分，共6分。13.已知|z|=1，則|z+3?4i|的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題16分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m=(a+b,sinC)，n=(b?c,sinB?sinA)，且m//n．

(1)求A；

(2)若BD=3DC,AD=1，求△ABC面積的最大值；

(3)若15.(本小題16分)

2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；

(2)在這100名候選者用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取10人，再從這10名面試者中隨機抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．

(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．16.(本小題16分)

Matlab是一種數(shù)學軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學習、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領域，推動了人類基礎教育和基礎科學的發(fā)展.某學校舉行了相關Matlab專業(yè)知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙同時答對的概率為12，恰有一人答對的概率為512．

(1)求p和q的值；

(2)試求兩人共答對17.(本小題16分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分別為AB，PB的中點．

(1)求證：平面MOC⊥平面PAB；

(2)求直線MC與平面ABC所成角的正弦值．18.(本小題16分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=2π3，E為棱PA的中點，PA=PB=4，PD=23，直線PA與BC所成的角的大小為π3．

(1)證明：PC//平面BDE；

(2)證明：PD⊥平面ABCD；

參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.B

7.B

8.D

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.ABD

13.[4,6]

14.(1)根據(jù)題意可知，向量m=(a+b,sinC)，n=(b?c,sinB?sinA)，

則(a+b)(sinB?sinA)=(b?c)sinC，

根據(jù)正弦定理得(a+b)(b?a)=(b?c)c，即b2+c2?bc=a2，

根據(jù)余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=12，

∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)由題意得AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC?AB)=14AB+34AC，

則AD2=116AB2+916AC2+38AB?AC，得116c2+916b2+316bc=1，

即c2+9b2+3bc=16≥2c2?9b2+3bc=9bc，

得bc≤169，等號成立時c=3b=433，

△ABC的面積為12bcsinπ3=34bc≤439，則△ABC的面積取得最大值439；

(3)根據(jù)正弦定理bsinB=csinC=asinA=3sinπ3=23，得b=23sinB，c=23sinC，

∴b+c=23[sinB+sin(2π3?B)]=23(sinB+32cosB+12sinB)

=23(32sinB+3216.解：(1)由題意可得pq=12p(1?q)+q(1?p)=512，

即pq=12p+q=1712，解得p=34q=23或p=23q=34，

∵p>q，∴p=34,q=23．

(2)設Ai={甲同學答對了i道題}，Bi={乙同學答對了i道題}，i=0，1，2，

由題意得，P(A1)=14×17.(1)證明：因為AC=BC，O為AB的中點，所以CO⊥AB，

因為CO?平面ABC，平面PAB⊥平面ABC，

平面PAB∩平面ABC=AB，所以CO⊥平面PAB，

因為CO?平面MOC，

所以平面MOC⊥平面PAB．

(2)過M作MH⊥AB=H，連接HC，

因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

MH⊥AB且MH?平面PAB，

所以MH⊥平面ABC，

∠MCH即為直線MC與平面ABC所成角．

因為AC⊥BC且AC=BC=2，所以AB=22，

因為△PAB為等邊三角形，又M為PB的中點，

所以PO=6，MH=62，OH=12OB=14AB=22，CO=218.(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，連接AC，設AC與BD相交于點O，連接OE．

∵四邊形ABCD是菱形，∴O為AC的中點．

∵E是棱PA的中點，∴PC//OE．

又OE?平面BED，PC?平面BED，

∴PC//平面BED．

(2)證明：∵直線PA與BC所成的角為π3，且AD//BC，

∴∠PAD就是直線PA與BC所成的角或其補角．

∵PA=4,PD=23，∴PA>PD，

∴∠PAD=π3，

在△PAD中，由正弦定理得，2332=4sin∠PDA，

解得sin∠PDA=1．

∴∠PDA=π2，

即PD⊥AD，從而AD=2．

∵四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=2π3，∴∠BAD=π3，

∴△ABD是等邊三角形，從而AD=BD．

又PA=PB，PD=PD，

∴△PAD≌△PBD．

∴∠PDB=∠PDA=π2，從而PD⊥BD．

又AD∩BD=D，AD?平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD．

(3)過點E作EH⊥AD，垂足為H，

過H作HI⊥BD，垂足為I，連接E