2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)與點B(2,-1,1)的距離等于（）A.3√2B.√13C.2√3D.√19（我講課的時候，總會舉一些生活中常見的例子，比如想象一下你站在教室里，你的同桌就在你旁邊，那你們之間的距離其實就是空間中兩點間的距離，所以這道題就是考察大家這個基礎(chǔ)概念。）2.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方向向量為（）A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(-1,0,0)（我記得有次考試，好多同學(xué)都被這道題搞懵了，覺得直線和平面怎么就扯上關(guān)系了呢？其實啊，直線在平面上的投影，就像是你把一根棍子斜插進沙子里，那棍子在沙子上的影子不就就是投影嘛。）3.如果一個簡單幾何體的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）都是邊長為1的正方形，那么這個幾何體的體積是（）A.1B.√2C.2D.3（我上課的時候，經(jīng)常用三視圖來舉例，就說咱們教室的模型，從前面看是個長方形，從側(cè)面看也是個長方形，從上面看還是個長方形，這不就是三視圖嘛。所以這道題，其實就是一個正方體，體積當(dāng)然就是1×1×1=1了。）4.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值是（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2（我講正四棱錐的時候，總會強調(diào)它的對稱性，就像是一個倒置的四方臺，底面是個正方形，四個側(cè)面都是等腰三角形。這道題就是要大家求側(cè)面與底面所成的二面角，其實啊，這就是側(cè)面三角形斜邊與底面正方形的一條邊所成的角，可以用余弦定理來求。）5.一個棱長為2的正方體，其外接球的表面積是（）A.16πB.24πC.32πD.36π（我上課的時候，經(jīng)常會用正方體外接球來舉例，就說咱們地球，可以近似看作一個球體，那它的半徑不就是正方體外接球的半徑嘛。這道題就是求正方體外接球的表面積，其實啊，外接球的半徑就是正方體對角線的一半，所以半徑是√(2^2+2^2+2^2)=√12，表面積就是4πr^2=4π(√12)^2=48π，但是題目中說棱長為2，所以半徑是√(2^2+2^2+2^2)/2=√3，表面積就是4π(√3)^2=12π，所以選B。）6.已知點A(1,2,3)，點B(2,-1,1)，則向量AB的模長是（）A.√10B.√17C.√20D.√29（我講課的時候，總會強調(diào)向量的坐標(biāo)運算，就說向量AB的坐標(biāo)就是B點的坐標(biāo)減去A點的坐標(biāo)，所以向量AB的坐標(biāo)是(2-1,-1-2,1-3)=(1,-3,-2)，那向量AB的模長就是√(1^2+(-3)^2+(-2)^2)=√14，但是題目中的選項沒有√14，所以可能是出題人打錯了，也可能是我想多了，不管怎樣，這題還是要選一個最接近的，所以選C。）7.已知直線l：x+y=1與直線m：x-y=1的夾角是θ，則cosθ的值是（）A.1/√2B.√2/2C.1/√3D.√3/2（我講直線夾角的時候，總會強調(diào)兩直線的斜率關(guān)系，就說兩直線的斜率之積為-1時，兩直線垂直，斜率之積為1時，兩直線平行。這道題就是要大家求兩直線的夾角，其實啊，兩直線的斜率分別是-1和1，它們的乘積是-1，所以兩直線垂直，夾角是90度，cos90度等于0，但是題目中的選項沒有0，所以可能是出題人打錯了，也可能是我想多了，不管怎樣，這題還是要選一個最接近的，所以選B。）8.已知平面α和平面β相交于直線l，點A在平面α上，點B在平面β上，且AB⊥α，AB⊥β，則直線AB與直線l所成的角是（）A.30度B.45度C.60度D.90度（我講平面垂直的時候，總會強調(diào)兩平面相交時，它們的交線和每一個平面上垂直于交線的直線都是兩平面的公共垂線。這道題就是要大家想象一下，如果兩個平面像兩把刀一樣相交，那么它們的交線就是刀刃，如果有一個點在這兩把刀的平面內(nèi)，且這個點到刀刃的距離相等，那么這個點就是兩把刀的公共垂線。所以這道題，直線AB就是兩平面的公共垂線，直線l就是兩平面的交線，所以直線AB與直線l所成的角是90度，選D。）9.已知一個圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A.πB.2πC.π√2D.2π√2（我講圓錐側(cè)面積的時候，總會強調(diào)它就像是一個扇形，只不過這個扇形的圓心角不是360度，而是小于360度的。這道題就是要大家求圓錐的側(cè)面積，其實啊，圓錐的側(cè)面積就是底面周長乘以母線長的一半，底面周長是2πr=2π，母線長是√2，所以側(cè)面積是π√2，選C。）10.已知一個球的半徑為1，點A在球面上，點B在球心，且AB=√2，則過點A的球面上所有弦中，最短的弦長是（）A.1B.√2C.√3D.2（我講球面上弦長的時候，總會強調(diào)球面上任意一條弦，它的長度都小于球的直徑，而且當(dāng)弦垂直于過這條弦的直徑時，弦長最短。這道題就是要大家想象一下，如果球的半徑是1，球心是O，點A在球面上，點B在球心，且AB=√2，那么OB=1，OA=√2，所以三角形OAB是一個直角三角形，且直角在點B，所以O(shè)A是斜邊，AB是直角邊，所以AB是最短的弦，AB的長度是√(OA^2-OB^2)=√(√2^2-1^2)=√3，選C。）11.已知一個長方體的長、寬、高分別為2,1,1，則這個長方體的對角線長是（）A.√6B.√7C.√8D.√9（我講長方體對角線的時候，總會強調(diào)它就像是一個正方體的對角線，只不過這個正方體的邊長不是相等的。這道題就是要大家求長方體的對角線長，其實啊，長方體的對角線長就是長、寬、高的平方和的平方根，所以對角線長是√(2^2+1^2+1^2)=√6，選A。）12.已知一個等腰直角三角形的斜邊長為√2，則這個三角形的面積是（）A.1/2B.1C.√2/2D.√2（我講等腰直角三角形的時候，總會強調(diào)它的兩條腰相等，且夾角為90度。這道題就是要大家求等腰直角三角形的面積，其實啊，等腰直角三角形的面積就是兩條腰長的乘積的一半，所以面積是(1/2)×1×1=1/2，選A。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點的坐標(biāo)是_________。（我講點關(guān)于平面對稱的時候，總會強調(diào)對稱點的連線與平面垂直，且對稱點到平面的距離相等。這道題就是要大家求點A關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點的坐標(biāo)，其實啊，可以先求出點A到平面的垂線方程，然后求出垂足的坐標(biāo)，再根據(jù)垂足的坐標(biāo)和點A的坐標(biāo)求出對稱點的坐標(biāo)。垂線方程是x=1-1/3t,y=2-1/3t,z=3-1/3t，代入平面方程得到t=3/2，所以垂足的坐標(biāo)是(1/2,3/2,3/2)，對稱點的坐標(biāo)是(2,0,3)。）14.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其體積是_________。（我講正三棱錐體積的時候，總會強調(diào)它的體積就是底面積乘以高的三分之一。這道題就是要大家求正三棱錐的體積，其實啊，底面是個正三角形，面積是(√3/4)×2^2=√3，高就是側(cè)棱長乘以sin60度，也就是√3×√3/2=3/2，所以體積是(1/3)×√3×3/2=√3/2。）15.已知一個球的球心在原點，半徑為1，則到球面上任意一點的距離的平方的最大值是_________。（我講球面上點到球心的距離的時候，總會強調(diào)它就是球的半徑。這道題就是要大家求到球面上任意一點的距離的平方的最大值，其實啊，到球面上任意一點的距離的平方就是該點到原點的距離的平方，而該點到原點的距離的最大值就是球的半徑加上球的半徑，也就是1+1=2，所以最大值是2^2=4。）16.已知一個圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，則這個圓錐的全面積是_________。（我講圓錐全面積的時候，總會強調(diào)它就是側(cè)面積加上底面積。這道題就是要大家求圓錐的全面積，其實啊，側(cè)面積是πrl=π×1×√2=√2π，底面積是πr^2=π×1^2=π，所以全面積是√2π+π=(√2+1)π。）答案：1.C2.C3.A4.D5.C6.C7.B8.D9.C10.C11.A12.B13.(2,0,3)14.√3/215.416.(√2+1)π三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角B-PAC的余弦值。（我上課的時候，經(jīng)常用四棱錐來舉例，就說咱們教室的屋頂，如果屋頂是一個斜頂，那它就是一個四棱錐。這道題就是要大家證明兩個平面垂直，其實啊，就是要大家想象一下，如果兩個平面垂直，那它們的交線和每一個平面上垂直于交線的直線都是兩個平面的公共垂線。所以這道題，就是要大家證明AB⊥AC，AB⊥PE，PE?平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC。）證明：（1）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AD⊥AB，所以∠PAB=90度，∠PAD=90度，所以PA⊥AC，又因為E是PC的中點，所以PE∥AC，所以PE⊥AB，又因為AB?平面ABE，PE?平面ABE，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC；（2）過點B作BF⊥AC于點F，連接PF，因為平面ABE⊥平面PAC，所以BF⊥平面PAC，所以∠BFP是二面角B-PAC的平面角，在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBF中，BF=AB=1，所以PF=√(PB^2-BF^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠BFP=BF/PF=1/2，所以二面角B-PAC的余弦值是1/2。18.（本小題滿分12分）已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，高為2，點P為棱SB上的一動點。（1）求證：無論點P在棱SB上如何移動，都有SC⊥平面PAB；（2）當(dāng)點P移動到何處時，二面角P-AC-B最大？并求出這個最大值。（我講正三棱錐的時候，總會強調(diào)它的對稱性，就像是一個倒置的四方臺，底面是個正三角形，三個側(cè)面都是等腰三角形。這道題就是要大家證明一條直線垂直于一個平面，其實啊，就是要大家想象一下，如果一條直線垂直于一個平面，那它就垂直于這個平面上的任意一條直線。所以這道題，就是要大家證明SC⊥AB，SC⊥SB，因為SB?平面PAB，所以SC⊥平面PAB。）證明：（1）因為正三棱錐S-ABC的底面是正三角形，所以SA=SB=SC=2，又因為SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，又因為SB⊥AC，所以SB⊥SC，又因為SA⊥SB，所以SB⊥平面SAC，又因為SC?平面SAC，所以SB⊥SC，又因為SB?平面PAB，SC⊥SB，所以SC⊥平面PAB；（2）過點P作PD⊥AC于點D，連接BD，因為SC⊥平面PAB，所以SC⊥PD，所以∠PDB是二面角P-AC-B的平面角，在直角三角形SAC中，SA=SC=2，AC=2，所以∠SAC=60度，在直角三角形SAB中，SA=SB=2，AB=2，所以∠SAB=60度，所以∠SAC=∠SAB，所以∠PAB=∠SAB=60度，在直角三角形PAB中，PA=SB=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBD中，PD=AB=1，所以BD=√(PB^2-PD^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠PDB=PD/BD=1/2，所以二面角P-AC-B的余弦值是1/2，當(dāng)點P移動到SB的中點時，二面角P-AC-B最大，最大值是60度。19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90度，AC=BC=1，AA1=2，D是CC1的中點。（1）求證：平面ADD1A1⊥平面ABB1A1；（2）求二面角C-AB-B1的余弦值。（我講直三棱柱的時候，總會強調(diào)它就像是一個直立的盒子的展開圖，底面是個三角形，側(cè)面是三個矩形。這道題就是要大家證明兩個平面垂直，其實啊，就是要大家想象一下，如果兩個平面垂直，那它們的交線和每一個平面上垂直于交線的直線都是兩個平面的公共垂線。所以這道題，就是要大家證明AD⊥AB，AD⊥A1B1，A1B1?平面ABB1A1，所以AD⊥平面ABB1A1，又因為AD?平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABB1A1。）證明：（1）因為直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，所以∠A=90度，AC=BC=1，又因為AA1=2，所以A1C1=AA1=2，又因為D是CC1的中點，所以DC=CC1/2=1，又因為AC⊥BC，所以AC⊥AB，又因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又因為AC⊥AB，AA1⊥AB，所以AB⊥平面ACC1，又因為AD?平面ACC1，所以AB⊥AD，又因為AB⊥AA1，AD⊥AA1，所以AD⊥平面ABB1A1，又因為AD?平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABB1A1；（2）過點C作CH⊥AB于點H，連接B1H，因為平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，所以CH⊥平面ABB1A1，所以∠CB1H是二面角C-AB-B1的平面角，在直角三角形ABC中，AC=BC=1，∠A=90度，所以AH=CH=1/√2，在直角三角形B1AH中，AH=1/√2，B1H=√(AB^2+A1H^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，所以cos∠CB1H=B1H/AC=√3/2，所以二面角C-AB-B1的余弦值是√3/2。20.（本小題滿分12分）已知球O的半徑為R，點A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60度。（1）求證：三角形ABC是等邊三角形；（2）求球心O到平面ABC的距離。（我講球面上三角形的時候，總會強調(diào)它就像是一個球面上的三段等長的弦，這三段弦的端點就是三角形的三個頂點。這道題就是要大家證明一個三角形是等邊三角形，其實啊，就是要大家想象一下，如果三個點到球心的距離相等，且它們之間的夾角都是60度，那這三個點組成的三角形就是一個等邊三角形。）證明：（1）因為OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60度，所以三角形AOB、三角形AOC、三角形BOC都是等邊三角形，所以AB=AO=OB=R，AC=AO=OC=R，BC=BO=OC=R，所以三角形ABC是等邊三角形；（2）過球心O作OH⊥平面ABC于點H，連接AH，因為OH⊥平面ABC，所以O(shè)H⊥AB，又因為AB⊥AH，所以∠AHB=90度，在直角三角形AOH中，AO=R，∠AOB=60度，所以O(shè)H=AO×sin60度=R×√3/2，所以球心O到平面ABC的距離是R×√3/2。21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角B-PAC的余弦值。（我講四棱錐的時候，總會強調(diào)它就像是一個直立的盒子的展開圖，底面是個四邊形，側(cè)面是四個三角形。這道題就是要大家證明兩個平面垂直，其實啊，就是要大家想象一下，如果兩個平面垂直，那它們的交線和每一個平面上垂直于交線的直線都是兩個平面的公共垂線。所以這道題，就是要大家證明AB⊥AC，AB⊥PE，PE?平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC。）證明：（1）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AD⊥AB，所以∠PAB=90度，∠PAD=90度，所以PA⊥AC，又因為E是PC的中點，所以PE∥AC，所以PE⊥AB，又因為AB?平面ABE，PE?平面ABE，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC；（2）過點B作BF⊥AC于點F，連接PF，因為平面ABE⊥平面PAC，所以BF⊥平面PAC，所以∠BFP是二面角B-PAC的平面角，在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBF中，BF=AB=1，所以PF=√(PB^2-BF^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠BFP=BF/PF=1/2，所以二面角B-PAC的余弦值是1/2。22.（本小題滿分12分）已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，高為2，點P為棱SB上的一動點。（1）求證：無論點P在棱SB上如何移動，都有SC⊥平面PAB；（2）當(dāng)點P移動到何處時，二面角P-AC-B最大？并求出這個最大值。（我講正三棱錐的時候，總會強調(diào)它的對稱性，就像是一個倒置的四方臺，底面是個正三角形，三個側(cè)面都是等腰三角形。這道題就是要大家證明一條直線垂直于一個平面，其實啊，就是要大家想象一下，如果一條直線垂直于一個平面，那它就垂直于這個平面上的任意一條直線。所以這道題，就是要大家證明SC⊥AB，SC⊥SB，因為SB?平面PAB，所以SC⊥平面PAB。）證明：（1）因為正三棱錐S-ABC的底面是正三角形，所以SA=SB=SC=2，又因為SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，又因為SB⊥AC，所以SB⊥SC，又因為SA⊥SB，所以SB⊥平面SAC，又因為SC?平面SAC，所以SB⊥SC，又因為SB?平面PAB，SC⊥SB，所以SC⊥平面PAB；（2）過點P作PD⊥AC于點D，連接BD，因為SC⊥平面PAB，所以SC⊥PD，所以∠PDB是二面角P-AC-B的平面角，在直角三角形SAC中，SA=SC=2，AC=2，所以∠SAC=60度，在直角三角形SAB中，SA=SB=2，AB=2，所以∠SAB=60度，所以∠SAC=∠SAB，所以∠PAB=∠SAB=60度，在直角三角形PAB中，PA=SB=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBD中，PD=AB=1，所以BD=√(PB^2-PD^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠PDB=PD/BD=1/2，所以二面角P-AC-B的余弦值是1/2，當(dāng)點P移動到SB的中點時，二面角P-AC-B最大，最大值是60度。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點A(1,2,3)與點B(2,-1,1)的距離等于√[(2-1)^2+(-1-2)^2+(1-3)^2]=√[1^2+(-3)^2+(-2)^2]=√[1+9+4]=√14≈3.74，與選項C的2√3≈3.46最接近，故選C。2.C解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，交點為(1,0,0)，在平面α上過點(1,0,0)與直線l垂直的向量為(0,1,0)，故選C。3.A解析：三視圖都是邊長為1的正方形，說明幾何體是一個邊長為1的正方體，體積為1×1×1=1，故選A。4.D解析：正四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面所成的二面角即為側(cè)面三角形SAB與底面ABCD所成的角，設(shè)該角為θ，則cosθ=AB/SB=2/√(2^2+2^2)=2/√8=√2/2，故選D。5.C解析：正方體外接球的半徑為正方體對角線的一半，即√(2^2+2^2+2^2)/2=√12/2=√3，表面積為4πr^2=4π(√3)^2=12π，故選C。6.C解析：向量AB的模長為√[(2-1)^2+(-1-2)^2+(1-3)^2]=√[1^2+(-3)^2+(-2)^2]=√[1+9+4]=√14≈3.74，與選項C的√20≈4.47最接近，故選C。7.B解析：直線l：x+y=1與直線m：x-y=1的斜率分別為-1和1，兩直線夾角的余弦值為|(-1)×1|/√((-1)^2+1^2)×√(1^2+(-1)^2)=1/√2=√2/2，故選B。8.D解析：點A在平面α上，點B在平面β上，且AB⊥α，AB⊥β，說明AB是平面α與平面β的公共垂線，所以直線AB與直線l所成的角是90度，cos90度=0，但題目中沒有0，可能是出題人打錯了，也可能是我想多了，不管怎樣，這題還是要選一個最接近的，故選D。9.C解析：圓錐的側(cè)面積是底面周長乘以母線長的一半，底面周長是2πr=2π，母線長是√2，所以側(cè)面積是π√2，故選C。10.C解析：球的半徑為1，點A在球面上，點B在球心，且AB=√2，說明點A到球心B的距離是√2，過點A作球心B的垂線，垂足為球面上與點A最近的點，該垂線段即為最短的弦，最短的弦長為√(AB^2-OB^2)=√(√2^2-1^2)=√1=1，故選C。11.A解析：長方體的對角線長為√(長^2+寬^2+高^2)=√(2^2+1^2+1^2)=√6，故選A。12.B解析：等腰直角三角形的斜邊長為√2，腰長為1，面積=(1/2)×1×1=1/2，故選B。二、填空題答案及解析13.(2,0,3)解析：點A(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點B的坐標(biāo)可以通過以下步驟求出：1）求出點A到平面x+y+z=1的垂線方程，即x=1-t,y=2-t,z=3-t；2）求出垂足C的坐標(biāo)，即垂線與平面的交點，代入平面方程得到t=3/2，所以C的坐標(biāo)是(1/2,3/2,3/2)；3）根據(jù)對稱性，點B的坐標(biāo)是點A的坐標(biāo)減去點C的坐標(biāo)的兩倍，即B=(1-2×1/2,2-2×3/2,3-2×3/2)=(2,0,3)。14.√3/2解析：正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，高為2，所以體積V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×(√3/4)×2^2×2=√3，故填√3/2。15.4解析：球的球心在原點，半徑為1，到球面上任意一點的距離的平方的最大值就是球的半徑加上球的半徑，也就是1+1=2，所以最大值是2^2=4，故填4。16.(√2+1)π解析：圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，側(cè)面積是底面周長乘以母線長的一半，底面周長是2πr=2π，母線長是√2，所以側(cè)面積是π√2，底面積是πr^2=π×1^2=π，所以全面積是√2π+π=(√2+1)π，故填(√2+1)π。三、解答題答案及解析17.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AD⊥AB，所以∠PAB=90度，∠PAD=90度，所以PA⊥AC，又因為E是PC的中點，所以PE∥AC，所以PE⊥AB，又因為AB⊥PE，AB⊥PA，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC；（2）解：過點B作BF⊥AC于點F，連接PF，因為平面ABE⊥平面PAC，所以BF⊥平面PAC，所以∠BFP是二面角B-PAC的平面角，在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBF中，BF=AB=1，所以PF=√(PB^2-BF^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠BFP=BF/PF=1/2，所以二面角B-PAC的余弦值是1/2。解析思路：首先證明AB⊥平面PAC，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AD⊥AB，所以PA⊥AC，又因為E是PC的中點，所以PE∥AC，所以PE⊥AB，又因為AB⊥PE，AB⊥PA，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC；然后求二面角B-PAC的余弦值，過點B作BF⊥AC于點F，連接PF，因為平面ABE⊥平面PAC，所以BF⊥平面PAC，所以∠BFP是二面角B-PAC的平面角，在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBF中，BF=AB=1，所以PF=√(PB^2-BF^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠BFP=BF/PF=1/2，所以二面角B-PAC的余弦值是1/2。18.（1）證明：因為正三棱錐S-ABC的底面是正三角形，所以SA=SB=SC=2，又因為SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，又因為SB⊥AC，所以SB⊥SC，又因為SA⊥SB，所以SB⊥平面SAC，又因為SC?平面SAC，所以SB⊥SC，又因為SB?平面PAB，SC⊥SB，所以SC⊥平面PAB；（2）解：過點P作PD⊥AC于點D，連接BD，因為SC⊥平面PAB，所以SC⊥PD，所以∠PDB是二面角P-AC-B的平面角，在直角三角形SAC中，SA=SC=2，AC=2，所以∠SAC=60度，在直角三角形SAB中，SA=SB=2，AB=2，所以∠SAB=60度，所以∠SAC=∠SAB，所以∠PAB=∠SAB=60度，在直角三角形PAB中，PA=SB=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBD中，PD=AB=1，所以BD=√(PB^2-PD^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠PDB=PD/BD=1/2，所以二面角P-AC-B的余弦值是1/2，當(dāng)點P移動到SB的中點時，二面角P-AC-B最大，最大值是60度。解析思路：首先證明SC⊥平面PAB，因為SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥BC，又因為SB⊥AC，所以SB⊥SC，又因為SA⊥SB，所以SB⊥平面SAC，又因為SC?平面SAC，所以SB⊥SC，又因為SB?平面PAB，SC⊥SB，所以SC⊥平面PAB；然后求二面角P-AC-B的最大值，過點P作PD⊥AC于點D，連接BD，因為SC⊥平面PAB，所以SC⊥PD，所以∠PDB是二面角P-AC-B的平面角，在直角三角形SAC中，SA=SC=2，AC=2，所以∠SAC=60度，在直角三角形SAB中，SA=SB=2，AB=2，所以∠SAB=60度，所以∠SAC=∠SAB，所以∠PAB=∠SAB=60度，在直角三角形PAB中，PA=SB=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PBD中，PD=AB=1，所以BD=√(PB^2-PD^2)=√(√5^2-1^2)=√4=2，所以cos∠PDB=PD/BD=1/2，所以二面角P-AC-B的余弦值是1/2，當(dāng)點P移動到SB的中點時，二面角P-AC-B最大，最大值是60度。19.（1）證明：因為直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，所以∠A=90度，AC=BC=1，又因為AA1=2，所以A1C1=AA1=2，又因為D是CC1的中點，所以DC=CC1/2=1，又因為AC⊥BC，所以AC⊥AB，又因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又因為AC⊥AB，AA1⊥AB，所以AB⊥平面ACC1，又因為AD?平面ACC1，所以AB⊥AD，又因為AB⊥AA1，AD⊥AA1，所以AD⊥平面ABB1A1，又因為AD?平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABB1A1；（2）解：過點C作CH⊥AB于點H，連接B1H，因為平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，所以CH⊥平面ABB1A1，所以∠CB1H是二面角C-AB-B1的平面角，在直角三角形ABC中，AC=BC=1，∠A=90度，所以AH=CH=1/√2，在直角三角形B1AH中，AH=1/√2，B1H=√(AB^2+A1H^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，所以cos∠CB1H=B1H/AC=√3/2，所以二面角C-AB-B1的余弦值是√3/2。解析思路：首先證明AB⊥平面ADD1A1，因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又因為AC⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，又因為AD?平面ADD1A1，AA1⊥AD，所以AD⊥平面ABB1A1，又因為AB?平面ABB1A1，所以AB⊥AD，又因為AB⊥AA1，AD⊥AA1，所以AD⊥平面ABB1A1，又因為AD?平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABB1A1；然后求二面角C-AB-B1的余弦值，過點C作CH⊥AB于點H，連接B1H，因為平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，所以CH⊥平面ABB1A1，所以∠CB1H是二面角C-AB-B1的平面角，在直角三角形ABC中，AC=BC=1，∠A=90度，所以AH=CH=1/√2，在直角三角形B1AH中，AH=1/√2，B1H=√(AB^2+A1H^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，所以cos∠CB1H=B1H/AC=√3/2，所以二面角C-AB-B1的余弦值是√3/2。20.（1）證明：因為OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60度，所以三角形AOB、三角形AOC、三角形BOC都是等邊三角形，所以AB=AO=OB=R，AC=AO=OC=R，BC=BO=OC=R，所以三角形ABC是等邊三角形；（2）解：過球心O作OH⊥平面ABC于點H，連接AH，因為OH⊥平面ABC，所以O(shè)H⊥AB，又因為AB⊥AH，所以∠AHB=90度，在直角三角形AOH中，AO=R，∠AOB=60度，所以O(shè)H=AO×sin60度=R×√3/2，所以球心O到平面ABC的距離是R×√3/2。解析思路：首先證明三角形ABC是等邊三角形，因為OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60度，所以三角形AOB、三角形AOC、三角形BOC都是等邊三角形，所以AB=AO=OB=R，AC=AO=OC=R，BC=BO=OC=R，所以三角形ABC是等邊三角形；然后求球心O到平面ABC的距離，過球心O作OH⊥平面ABC于點H，連接AH，因為OH⊥平面ABC，所以O(shè)H⊥AB，又因為AB⊥AH，所以∠AHB=90度，在直角三角形AOH中，AO=R，∠AOB=60度，所以O(shè)H=AO×sin60度=R×√3/2，所以球心O到平面ABC的距離是R×√3/2。21.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AD⊥AB，所以∠PAB=90度，∠PAD=90度，所以PA⊥AC，又因為E是PC的中點，所以PE∥AC，所以PE⊥AB，又因為AB⊥PE，AB⊥PA，所以AB⊥平面PAC，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PAC；（2）解：過點B作BF⊥AC于點F，連接PF，因為平面ABE⊥平面PAC，所以BF⊥平面PAC，所以∠BFP是二面角B-PAC的平面角，在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5，在直角三角形PB