2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破解題思路）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-y+2z=0的距離為（）A.2√3B.√3C.√6D.√22.已知直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x-y=1B.x+y=1C.x-y=-1D.x+y=-13.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為（）A.2π/3B.4π/3C.8π/3D.16π/34.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.√3/2B.√2C.1D.√35.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則其側(cè)面與底面所成的二面角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0）到直線l：x=1，y=t，z=t+1的距離為（）A.√2B.√3C.2D.√57.若一個(gè)球的表面積為16π，則其體積為（）A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/38.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則其外接球的表面積為（）A.4πB.8πC.12πD.16π9.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點(diǎn)P到直線BC的距離為（）A.√5B.√6C.√7D.√810.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面半徑為2，則其側(cè)面展開圖的圓心角為（）A.90°B.120°C.180°D.270°二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0所成二面角的余弦值為______。12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為______。13.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)P到△ABC的重心的距離為______。14.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的軸截面面積與底面面積之比為______。15.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為______。（請(qǐng)注意，以上內(nèi)容僅為試題部分，后續(xù)題目請(qǐng)按照相同格式繼續(xù)補(bǔ)充。）三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求：（1）異面直線PA與BC所成角的正弦值；（2）三棱錐P-ABC的體積。17.（本小題滿分15分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AE與B1D所成角的余弦值；（2）二面角A-EF-B的余弦值。18.（本小題滿分15分）在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0，1）。求：（1）△ABC的面積；（2）平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)。19.（本小題滿分15分）已知圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在圓錐的底面上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到圓錐軸的距離為1。求：（1）點(diǎn)P到圓錐頂點(diǎn)的距離的最小值；（2）點(diǎn)P到圓錐側(cè)面的距離的最大值。20.（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，0，1）。求：（1）四邊形ABCD的面積；（2）平面ABCD的一個(gè)法向量的坐標(biāo)。四、證明題（本大題共1小題，共15分。證明題應(yīng)寫出證明過(guò)程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=AB。求證：平面PAB⊥平面PBC。（請(qǐng)注意，以上內(nèi)容僅為試題部分，后續(xù)題目請(qǐng)按照相同格式繼續(xù)補(bǔ)充。）本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-y+2z=0的距離d可以用公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)計(jì)算，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)A的坐標(biāo)，A、B、C、D是平面方程的系數(shù)。代入得d=|1-2+2*3|/√(12+(-1)2+22)=|3|/√6=√3/2*3=√3。所以選A。2.A解析：直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，設(shè)交點(diǎn)為P（x，y，z），則x=2y-1，代入平面方程得2y-1+y+z=1，即3y+z=2。因?yàn)镻在直線上，所以z=1-3y。代入x=2y-1得P（2y-1，y，1-3y）。直線l在平面α上的投影是過(guò)P點(diǎn)且平行于平面α的法向量（1，1，1）的直線，即x=y-1。所以選A。3.B解析：圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線l=2。底面圓的周長(zhǎng)是半圓的弧長(zhǎng)，即2πr=π*2，得r=1。所以圓錐的體積V=1/3*πr2*h=1/3*π*12*√(l2-r2)=1/3*π*√3=π√3/3。所以選B。4.A解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離就是點(diǎn)P到△ABC所在平面的距離，即PA的高。設(shè)高為h，則由勾股定理得h=√(PA2-AC2/4)=√(√32-12)=√2/2。所以選A。5.B解析：正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則底面中心到頂點(diǎn)的距離r=√(12+(2/2)2)=√2。側(cè)面與底面所成的二面角就是側(cè)面斜高與底面邊的夾角，設(shè)為θ。則sinθ=高/斜高=1/√(12+(√2)2)=1/√3≈0.577，所以θ≈arcsin(0.577)≈45°。所以選B。6.√2解析：點(diǎn)A（1，0，0）到直線l：x=1，y=t，z=t+1的距離d可以用公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)計(jì)算，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)A的坐標(biāo)，A、B、C、D是直線方程的系數(shù)。將直線方程化為一般式得x-1=0，y-t=0，z-t-1=0，即A=1，B=-1，C=-1，D=t+1。代入得d=|1*1+(-1)*0+(-1)*0+t+1|/√(12+(-1)2+(-1)2)=|t+2|/√3。因?yàn)閠是任意實(shí)數(shù)，所以最小值是當(dāng)t=-2時(shí)，d=|-2+2|/√3=0/√3=0。所以選A。7.8π/3解析：球的表面積為16π，則4πr2=16π，得r=2。球的體積V=4/3*πr3=4/3*π*23=32π/3。所以選D。8.4π解析：正方體的棱長(zhǎng)為1，則外接球的直徑是正方體的對(duì)角線，即√(12+12+12)=√3。所以外接球的半徑r=√3/2。外接球的表面積S=4πr2=4π*(√3/2)2=4π*3/4=3π。所以選A。9.√5解析：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則P到直線BC的距離就是P到矩形ABCD所在平面的距離，即PA的高。設(shè)高為h，則由勾股定理得h=√(PB2-AB2)=√(√(22+12)2-12)=√(5-1)=√4=2。所以選A。10.180°解析：圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面半徑為2，則側(cè)面展開圖的圓心角α=360°*r/l=360°*2/4=180°。所以選C。二、填空題11.√15/10解析：平面α：x+y+z=1的法向量為（1，1，1），平面β：2x-y+3z=0的法向量為（2，-1，3）。兩平面的夾角的余弦值cosθ=|（1，1，1）·（2，-1，3）|/（|（1，1，1）|*|（2，-1，3）|）=|2-1+3|/（√3*√14）=4/√42=√15/10。所以填√15/10。12.√6解析：正方體的棱長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線的長(zhǎng)為√(22+22+22)=√12=2√3。所以填√6。13.√6/3解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)P到△ABC的重心的距離就是P到△ABC所在平面的距離，即PA的高。設(shè)高為h，則由勾股定理得h=√(PC2-AC2/4)=√(√(22+22)2-12)=√(8-1)=√7。所以填√6/3。14.2:1解析：若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線l=2。底面圓的周長(zhǎng)是半圓的弧長(zhǎng)，即2πr=π*2，得r=1。軸截面是過(guò)圓錐軸的截面，是一個(gè)等腰三角形，底邊為2r=2，高為l=2，所以軸截面面積為1/2*2*2=2。底面面積為πr2=π*12=π。所以軸截面面積與底面面積之比為2:π≈2:1。所以填2:1。15.√2解析：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD是矩形，若PA=2，AB=1，BC=2，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離就是PA的高。設(shè)高為h，則由勾股定理得h=√(PC2-AC2)=√(√(22+12)2-12)=√(5-1)=√4=2。所以填√2。三、解答題16.解：（1）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO、PO。因?yàn)锳O⊥BC，PO⊥平面ABCD，所以∠POA是異面直線PA與BC所成角或其補(bǔ)角。在直角三角形POA中，AO=√(AB2-(BO/2)2)=√(12-(1/2)2)=√3/2，PO=PA=2。所以sin∠POA=AO/PO=√3/2/2=√3/4。所以異面直線PA與BC所成角的正弦值為√3/4。（2）三棱錐P-ABC的體積V=1/3*底面積*高=1/3*△ABC的面積*PA?！鰽BC的面積S=1/2*AB*BC*sin∠ABC=1/2*1*1*sin60°=√3/4。所以V=1/3*(√3/4)*2=√3/6。所以三棱錐P-ABC的體積為√3/6。17.解：（1）連結(jié)AE、B1D，取B1D中點(diǎn)M，連結(jié)FM。因?yàn)镕是BB1的中點(diǎn)，所以FM平行于B1B。又因?yàn)锽1B平行于CC1，所以FM平行于CC1。又因?yàn)镋是CC1的中點(diǎn)，所以FM平行于EC。所以四邊形FEMC是平行四邊形，所以FM=EC。又因?yàn)镋C平行于B1D，所以FM平行于B1D。所以∠AFM是異面直線AE與B1D所成角或其補(bǔ)角。在直角三角形AFM中，AF=√(AE2-EM2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2，F(xiàn)M=√2/2。所以cos∠AFM=FM/AF=(√2/2)/(√5/2)=√2/√5=√10/5。所以異面直線AE與B1D所成角的余弦值為√10/5。（2）取EF中點(diǎn)N，連結(jié)AN、CN。因?yàn)镋是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn)，所以EF平行于BC。又因?yàn)锽C平行于AD，所以EF平行于AD。所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以AN平行于DF。又因?yàn)镈是CC1的中點(diǎn)，所以DF平行于C1C。又因?yàn)镃1C垂直于平面ABCD，所以DF垂直于平面ABCD。所以AN垂直于平面ABCD。又因?yàn)镃N在平面ABCD內(nèi)，所以∠ANC是二面角A-EF-B的平面角。在直角三角形ANC中，AN=√(AE2-EN2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2，CN=√(CE2-EN2)=√(√(12+12+12)2-(√2/2)2)=√(3-1/2)=√5/2。所以cos∠ANC=EN/AN=(√2/2)/(√5/2)=√2/√5=√10/5。所以二面角A-EF-B的余弦值為√10/5。18.解：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-0，1-0)=(-1，0，1)。因?yàn)橄蛄緼B和向量AC垂直，所以向量AB·向量AC=-1*（-1）+1*0+0*1=1=0，所以x=1，y=0，z=1。所以△ABC的面積S=1/2*|向量AB×向量AC|=1/2*|（1，0，-1）×（-1，1，0）|=1/2*|（1，1，1）|=√3。所以△ABC的面積為√3。（2）設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-0，1-0)=(-1，0，1)。因?yàn)橄蛄緼B和向量AC都在平面ABC內(nèi)，所以向量AB和向量AC都垂直于平面ABC的法向量。所以向量AB·法向量=0，向量AC·法向量=0。即-1*x+1*y+0*z=0，-1*x+0*y+1*z=0。解得x=y=z。所以平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為（1，1，1）。19.解：（1）設(shè)點(diǎn)P在圓錐底面上的坐標(biāo)為（x，y，0），則點(diǎn)P到圓錐軸的距離為√(x2+y2)=1。所以x2+y2=1。點(diǎn)P到圓錐頂點(diǎn)的距離d=√(x2+y2+z2)=√(1+4)=√5。當(dāng)點(diǎn)P在圓錐底面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到圓錐頂點(diǎn)的距離的最小值就是當(dāng)點(diǎn)P到圓錐軸的距離為1時(shí)，即√5-1。所以點(diǎn)P到圓錐頂點(diǎn)的距離的最小值為√5-1。（2）點(diǎn)P到圓錐側(cè)面的距離就是點(diǎn)P到圓錐母線的距離。設(shè)點(diǎn)P到圓錐母線的距離為h，則由勾股定理得h=√(l2-r2)=√(4-1)=√3。所以點(diǎn)P到圓錐側(cè)面的距離的最大值為√3。20.解：（1）四邊形ABCD的面積S=1/2*|向量AB×向量AD|=1/2*|（1，0，0）×（0，1，1）|=1/2*|（-1，-1，1）|=√3。所以四邊形ABCD的面積為√3。（2）設(shè)平面ABCD的一個(gè)法向量為（x，y，z），則向量AB=(0-1，1-0，0-0)=