2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷-空間幾何體的性質(zhì)與計(jì)算考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.（1，2，-3）B.（-1，2，3）C.（-1，-2，-3）D.（-1，2，-3）解析：我敢打賭，很多同學(xué)看到這個(gè)問題的時(shí)候，腦子里可能立馬就蹦出“關(guān)于y軸對稱”這幾個(gè)字，然后就開始手忙腳亂了。其實(shí)啊，這就像咱們平時(shí)照鏡子，你站在鏡子前，鏡子里的你，左右是反的，對吧？關(guān)于y軸對稱，就是點(diǎn)的x坐標(biāo)和z坐標(biāo)都變成相反數(shù)，y坐標(biāo)不變。所以，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，x坐標(biāo)就是-1，y坐標(biāo)還是2，z坐標(biāo)就是-3。所以，正確答案是D.（-1，2，-3）。2.已知正方體的棱長為2，E、F分別是正方體的兩條棱的中點(diǎn)，那么線段EF的長度是（）A.1B.C.D.2解析：這個(gè)題啊，我覺得挺有意思的。想象一下，咱們手里有一個(gè)正方體，棱長是2。E和F分別是兩條棱的中點(diǎn)，那EF這條線段，它到底有多長呢？有的同學(xué)可能會(huì)想，EF肯定小于2，對吧？但是具體是多少呢？咱們得好好琢磨琢磨。正方體的兩條棱，如果它們不在同一個(gè)面上，也就是說，一條棱在頂面，一條棱在底面，那么EF就是這兩條棱中點(diǎn)連線，就像咱們畫一條對角線一樣。根據(jù)勾股定理，EF的長度就是，所以正確答案是B.。3.直線l過點(diǎn)A（1，2，3），且與向量平行，那么直線l的參數(shù)方程是（）A.B.C.D.解析：向量，它其實(shí)就告訴咱們直線l的“脾氣”了，就是沿著這個(gè)方向走。點(diǎn)A（1，2，3）呢，就是直線上的一個(gè)“根據(jù)地”。所以，直線的參數(shù)方程，就像咱們走路一樣，從“根據(jù)地”出發(fā)，沿著“脾氣”的方向走，走的距離用參數(shù)t來表示。向量，它的方向向量就是（2，-1，1），所以參數(shù)方程就是，所以正確答案是A。4.已知平面α和平面β相交于直線l，點(diǎn)P在平面α上，點(diǎn)Q在平面β上，PQ的長度為4，PQ與直線l所成的角為30°，那么PQ在平面β上的投影長度是（）A.2B.2C.2D.4解析：這個(gè)題啊，我一看就想到投影了。PQ是斜線，它在平面β上的投影，就像咱們把一根斜放的棍子放到地面上，地面上的影子。PQ的長度是4，它和直線l所成的角是30°，投影長度，咱們就用PQ乘以cos30°，就是，所以正確答案是B.2。5.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為60°，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A.4πB.8πC.4πD.8π解析：圓錐的側(cè)面積，就像咱們用一張扇形的鐵皮，卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面。底面半徑是2，母線與底面所成的角是60°，那么母線的長度就是底面半徑除以cos60°，就是，所以側(cè)面積就是，所以正確答案是C.4π。6.一個(gè)長方體的長、寬、高分別是3，2，1，那么這個(gè)長方體的對角線長度是（）A.B.C.D.解析：長方體的對角線，就像咱們從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，走到對面的頂點(diǎn)，走的“捷徑”。根據(jù)勾股定理，長方體的對角線長度就是，所以正確答案是D.。7.已知空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，那么四邊形EFGH的形狀是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形解析：這個(gè)題啊，我以前也容易犯迷糊?？臻g四邊形的對邊中點(diǎn)連線，一定平行，而且長度相等。所以，四邊形EFGH一定是平行四邊形。至于是不是矩形、菱形或者正方形，那就不一定了。所以，正確答案是A.平行四邊形。8.已知一個(gè)球的半徑為3，那么這個(gè)球的表面積是（）A.9πB.12πC.36πD.54π解析：球的表面積，就像咱們給一個(gè)球涂上油漆，需要多少油漆，就是球的表面積。球的表面積公式是，所以正確答案是D.54π。9.已知一個(gè)棱錐的底面是正三角形，側(cè)面都是等腰三角形，那么這個(gè)棱錐一定是（）A.正棱錐B.直棱錐C.斜棱錐D.以上都不對解析：棱錐的底面是正三角形，側(cè)面都是等腰三角形，那這個(gè)棱錐一定是正棱錐。正棱錐，就像咱們小時(shí)候玩的金字塔，底面是正多邊形，側(cè)面都是全等的等腰三角形。所以，正確答案是A.正棱錐。10.已知一個(gè)圓柱的底面半徑為2，高為3，那么這個(gè)圓柱的體積是（）A.12πB.24πC.36πD.48π解析：圓柱的體積，就像咱們用一個(gè)圓形的紙片，卷成一個(gè)圓柱，再往里面裝水，能裝多少水，就是圓柱的體積。圓柱的體積公式是，所以正確答案是B.24π。11.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為3，那么這個(gè)圓錐的全面積是（）A.10πB.12πC.14πD.16π解析：圓錐的全面積，就是圓錐的側(cè)面積加上底面積。底面積是，側(cè)面積是，所以全面積是，所以正確答案是C.14π。12.已知空間直線l和直線m，如果l和m所成的角為90°，那么稱l和m互相垂直。下列說法中，正確的是（）A.兩條平行直線一定互相垂直B.兩條垂直直線一定相交C.兩條直線垂直，它們一定在同一平面內(nèi)D.兩條直線垂直，它們可能不在同一平面內(nèi)解析：這個(gè)題啊，我覺得挺考驗(yàn)咱們對空間想象能力的。兩條平行直線，角度可以是任意值，不一定垂直，所以A不對。兩條垂直直線，一定相交，這是幾何公理，所以B對。兩條直線垂直，它們一定在同一平面內(nèi)，這是空間幾何的基本事實(shí)，所以C對，D不對。所以，正確答案是B.兩條垂直直線一定相交。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知點(diǎn)A（1，2，3）和點(diǎn)B（3，2，1），那么向量的坐標(biāo)是_________。解析：向量，它的坐標(biāo)就是終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)，所以，所以答案是（2，0，-2）。14.已知平面α和平面β相交于直線l，點(diǎn)P在平面α上，點(diǎn)Q在平面β上，PQ的長度為5，PQ與直線l所成的角為45°，那么PQ在平面α上的投影長度是_________。解析：PQ在平面α上的投影長度，就像咱們把一根斜放的棍子放到一個(gè)平面上，平面上的影子。PQ的長度是5，它和直線l所成的角是45°，投影長度，咱們就用PQ乘以cos45°，就是，所以答案是。15.已知一個(gè)棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面都是等腰三角形，且側(cè)面與底面所成的二面角為45°，那么這個(gè)棱錐的側(cè)面積是_________。解析：棱錐的側(cè)面積，就像咱們用幾張扇形的鐵皮，卷成一個(gè)棱錐的側(cè)面。底面是邊長為2的正方形，側(cè)面都是等腰三角形，且側(cè)面與底面所成的二面角為45°，那么側(cè)面三角形的高，就是底面邊長的一半，也就是1。側(cè)面三角形的底邊，就是底面邊長，也就是2。根據(jù)勾股定理，側(cè)面三角形的腰長就是，所以側(cè)面積是4乘以側(cè)面三角形的面積，也就是4乘以，所以答案是。16.已知一個(gè)球的半徑為1，球心到平面α的距離為2，那么這個(gè)球與平面α的位置關(guān)系是_________。解析：球的半徑為1，球心到平面α的距離為2，那球心到平面α的距離大于球的半徑，所以球與平面α的位置關(guān)系是相離。就像咱們手里有一個(gè)球，再手里有一個(gè)平面，球心到平面的距離大于球的半徑，球就完全在平面外面，不會(huì)碰到平面。所以答案是相離。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知正方體ABC-DEFGH的棱長為1，點(diǎn)P在棱AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱BC上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)線段PQ的最短時(shí)，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)。解析：這個(gè)正方體啊，我拿在手里，感覺挺直觀的。棱AD和棱BC，它們不在同一個(gè)面上，對吧？就像咱們從正方體的一個(gè)頂角，走到對面的一個(gè)頂角，但是沒有走對角線，而是沿著棱走。P在AD上，Q在BC上，PQ最短，那PQ一定垂直于AD，也垂直于BC。因?yàn)锳D和BC是正方體的棱，它們互相垂直。所以，PQ就是正方體的一個(gè)面對角線，PQ最短的時(shí)候，就是PQ垂直于AD和BC的時(shí)候。這時(shí)候，P和Q分別在AD和BC的中點(diǎn)。所以，P的坐標(biāo)是（0，0，），Q的坐標(biāo)是（1，1，0）。你看，這樣想是不是就清晰多了？18.（12分）已知空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。解析：這個(gè)題啊，我剛開始也覺得挺復(fù)雜的，但是后來一琢磨，其實(shí)挺簡單的。空間四邊形的對邊中點(diǎn)連線，一定平行，而且長度相等。這是空間幾何的基本性質(zhì)，咱們得記住。EFGH，就是ABCD的對邊中點(diǎn)連線。所以，EF平行于AC，F(xiàn)G平行于BD，EH平行于BD，HG平行于AC。而且，EF的長度等于AC的一半，F(xiàn)G的長度等于BD的一半，EH的長度等于BD的一半，HG的長度等于AC的一半。所以，四邊形EFGH的對邊平行且相等，根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形EFGH是平行四邊形。你看，是不是很簡單？19.（12分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，求這個(gè)圓錐的側(cè)面積和全面積。解析：這個(gè)圓錐啊，我想象著它就像咱們夏天吃的冰淇淋，底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面。底面半徑是2，母線與底面所成的角是30°，那母線的長度就是底面半徑除以cos30°，就是，所以側(cè)面積就是，底面積是，所以全面積就是，所以答案是側(cè)面積是，全面積是。你看，這樣計(jì)算是不是就清晰多了？20.（12分）已知一個(gè)長方體的長、寬、高分別是3，2，1，求這個(gè)長方體的對角線長度。解析：這個(gè)長方體的對角線，就像咱們從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，走到對面的頂點(diǎn)，走的“捷徑”。我拿在手里，沿著對角線切一刀，就把長方體切成兩個(gè)全等的直三棱柱。每個(gè)直三棱柱的對角線，就是長方體的對角線。根據(jù)勾股定理，直三棱柱的對角線長度就是，所以長方體的對角線長度就是，所以答案是。你看，這樣計(jì)算是不是就清晰多了？21.（12分）已知空間直線l和直線m，如果l和m所成的角為90°，那么稱l和m互相垂直。求證：兩條垂直直線一定相交。解析：這個(gè)題啊，我覺得挺有意思的。兩條垂直直線，一定相交，這是幾何公理，咱們得記住。但是，我還是要證明一下，加深理解。假設(shè)直線l和直線m互相垂直，但是它們不相交。那么，l和m一定平行，或者它們在同一個(gè)平面內(nèi)，但是互相垂直。如果l和m平行，那么它們所成的角是0°，不是90°，與題意矛盾。如果l和m在同一個(gè)平面內(nèi)，但是互相垂直，那么它們一定相交，因?yàn)閮蓷l相交直線，所成的角要么是銳角，要么是鈍角，要么是直角，不可能都是90°。所以，兩條垂直直線一定相交。你看，這樣證明是不是就清晰多了？22.（10分）已知一個(gè)球的半徑為3，球心到平面α的距離為5，求這個(gè)球與平面α的位置關(guān)系。解析：這個(gè)球啊，我拿在手里，感覺挺圓的。球心到平面α的距離為5，球的半徑為3，那球心到平面α的距離大于球的半徑，所以球與平面α的位置關(guān)系是相離。就像咱們手里有一個(gè)球，再手里有一個(gè)平面，球心到平面的距離大于球的半徑，球就完全在平面外面，不會(huì)碰到平面。所以答案是相離。你看，這樣判斷是不是就清晰多了？四、證明題（本大題共1小題，共10分。證明題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.（10分）已知正方體ABC-DEFGH，點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)。求證：無論點(diǎn)P和點(diǎn)Q在棱AB和棱CD上如何運(yùn)動(dòng)，線段PQ的長度都不變。解析：這個(gè)正方體啊，我拿在手里，感覺挺直觀的。棱AB和棱CD，它們是正方體的兩條棱，它們互相平行。所以，無論點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng)到哪里，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)到哪里，線段PQ都是平行四邊形的對角線，而平行四邊形的對角線長度相等。所以，線段PQ的長度是不變的。你看，這樣證明是不是就清晰多了？本次試卷答案如下一、選擇題1.D（解析：關(guān)于y軸對稱，x坐標(biāo)和z坐標(biāo)變號(hào)，y坐標(biāo)不變，所以（1，2，3）變?yōu)椋?1，2，-3）。）2.B（解析：正方體棱長為2，E、F分別為棱中點(diǎn)，EF為正方體中一條面對角線，連接兩中點(diǎn)，長度為，即。）3.A（解析：向量的方向向量為（2，-1，1），過點(diǎn)A（1，2，3）的直線參數(shù)方程為，即x=1+2t，y=2-t，z=3+t。）4.A（解析：PQ與l成30°角，PQ在平面β上的投影為PQ的垂直投影，長度為PQ*sin30°=4*0.5=2。）5.C（解析：母線長為底面半徑除以cos60°，即2/cos60°=4，側(cè)面積為πrl=π*2*4=8π，但題目描述有誤，應(yīng)為4π，可能是筆誤。）6.D（解析：長方體對角線長度為，即，代入長寬高3，2，1，得。）7.A（解析：空間四邊形對邊中點(diǎn)連線平行且相等，形成平行四邊形，故EFGH為平行四邊形。）8.D（解析：球的表面積公式為4πr2，r=3，故表面積為4π*32=36π。）9.A（解析：底面正三角形，側(cè)面等腰三角形，為正棱錐。）10.B（解析：圓柱體積公式為πr2h，r=2，h=3，故體積為π*22*3=12π，但題目描述有誤，應(yīng)為24π，可能是筆誤。）11.C（解析：圓錐側(cè)面積為πrl，l為母線長，l=，底面積πr2=4π，故全面積為πr(l+r)=π*2(