概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(附答案)一、隨機(jī)事件與概率1.某班級(jí)有40名學(xué)生，其中25人會(huì)打羽毛球，18人會(huì)打乒乓球，10人兩種球都會(huì)打。（1）隨機(jī)選一名學(xué)生，求該學(xué)生至少會(huì)打一種球的概率；（2）已知選到的學(xué)生會(huì)打羽毛球，求其也會(huì)打乒乓球的概率。解答（1）設(shè)事件A為“會(huì)打羽毛球”，事件B為“會(huì)打乒乓球”，則P(A)=25/40=5/8，P(B)=18/40=9/20，P(A∩B)=10/40=1/4。至少會(huì)一種球的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=5/8+9/20-1/4=(25+18-10)/40=33/40=0.825。（2）條件概率P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(1/4)/(5/8)=2/5=0.4。2.某工廠有三條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)產(chǎn)品的30%、50%、20%，各生產(chǎn)線的次品率分別為2%、1%、3%。現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，（1）求該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，求它來(lái)自第一條生產(chǎn)線的概率。解答（1）設(shè)事件H?、H?、H?分別表示產(chǎn)品來(lái)自第一、二、三條生產(chǎn)線，事件D表示“次品”。由全概率公式：P(D)=P(H?)P(D|H?)+P(H?)P(D|H?)+P(H?)P(D|H?)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。（2）由貝葉斯公式：P(H?|D)=P(H?)P(D|H?)/P(D)=0.006/0.017≈0.3529。二、一維隨機(jī)變量及其分布3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=0)=0.1，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.4，P(X=3)=0.2。（1）求X的分布函數(shù)F(x)；（2）計(jì)算P(0.5≤X≤2.5)。解答（1）分布函數(shù)F(x)為分段函數(shù)：當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X=0)=0.1；當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.4；當(dāng)2≤x<3時(shí)，F(xiàn)(x)=0.1+0.3+0.4=0.8；當(dāng)x≥3時(shí)，F(xiàn)(x)=1。（2）P(0.5≤X≤2.5)=P(X=1)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7。4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：f(x)=\(\begin{cases}kx(1-x),&0≤x≤1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求常數(shù)k；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計(jì)算P(X>0.5)。解答（1）由概率密度的規(guī)范性：∫?∞^∞f(x)dx=∫?1kx(1-x)dx=k∫?1(x-x2)dx=k[(x2/2-x3/3)]?1=k(1/2-1/3)=k/6=1，故k=6。（2）分布函數(shù)F(x)=∫?∞^xf(t)dt：當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫?^x6t(1-t)dt=6∫?^x(t-t2)dt=6[x2/2-x3/3]=3x2-2x3；當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=1。（3）P(X>0.5)=1-P(X≤0.5)=1-F(0.5)=1-(3×0.25-2×0.125)=1-(0.75-0.25)=1-0.5=0.5。5.設(shè)X~N(μ,σ2)，已知P(X≤2)=0.8，P(X≤4)=0.95，求μ和σ。解答標(biāo)準(zhǔn)化得：P(X≤2)=Φ((2-μ)/σ)=0.8，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Φ(0.84)=0.8，故(2-μ)/σ=0.84①；P(X≤4)=Φ((4-μ)/σ)=0.95，查得Φ(1.645)=0.95，故(4-μ)/σ=1.645②；聯(lián)立①②，解方程組：由①得μ=2-0.84σ，代入②：(4-(2-0.84σ))/σ=1.645→(2+0.84σ)/σ=1.645→2/σ+0.84=1.645→2/σ=0.805→σ≈2.484；則μ=2-0.84×2.484≈2-2.087≈-0.087。三、多維隨機(jī)變量及其分布6.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：|Y\X|0|1||-----|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|（1）求X和Y的邊緣分布律；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立；（3）計(jì)算P(X+Y=1)。解答（1）X的邊緣分布：P(X=0)=0.1+0.3=0.4，P(X=1)=0.2+0.4=0.6；Y的邊緣分布：P(Y=0)=0.1+0.2=0.3，P(Y=1)=0.3+0.4=0.7。（2）獨(dú)立性驗(yàn)證：若X與Y獨(dú)立，則對(duì)所有i,j有P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)。例如，P(X=0,Y=0)=0.1，而P(X=0)P(Y=0)=0.4×0.3=0.12≠0.1，故X與Y不獨(dú)立。（3）P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.3+0.2=0.5。7.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)=\(\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求X和Y的邊緣概率密度；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立；（3）計(jì)算P(X<Y)。解答（1）X的邊緣密度f(wàn)_X(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}∫?^∞e^{-2y}dy=2e^{-x}×(1/2)e^{-2y}|?^∞=e^{-x}（x>0，否則0）；Y的邊緣密度f(wàn)_Y(y)=∫?∞^∞f(x,y)dx=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}∫?^∞e^{-x}dx=2e^{-2y}×1=2e^{-2y}（y>0，否則0）。（2）因f(x,y)=e^{-x}×2e^{-2y}=f_X(x)f_Y(y)，故X與Y獨(dú)立。（3）P(X<Y)=∫∫_{x<y}f(x,y)dxdy=∫?^∞∫?^y2e^{-(x+2y)}dxdy=∫?^∞2e^{-2y}[∫?^ye^{-x}dx]dy=∫?^∞2e^{-2y}(1-e^{-y})dy=2∫?^∞e^{-2y}dy-2∫?^∞e^{-3y}dy=2×(1/2)-2×(1/3)=1-2/3=1/3。四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：f(x)=\(\begin{cases}x,&0≤x<1\\2-x,&1≤x≤2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)求E(X)和D(X)。解答E(X)=∫?∞^∞xf(x)dx=∫?1x×xdx+∫?2x×(2-x)dx=∫?1x2dx+∫?2(2x-x2)dx=[x3/3]?1+[x2-x3/3]?2=1/3+[(4-8/3)-(1-1/3)]=1/3+[(4/3)-(2/3)]=1/3+2/3=1。E(X2)=∫?1x2×xdx+∫?2x2×(2-x)dx=∫?1x3dx+∫?2(2x2-x3)dx=[x?/4]?1+[2x3/3-x?/4]?2=1/4+[(16/3-16/4)-(2/3-1/4)]=1/4+[(16/3-4)-(2/3-1/4)]=1/4+[(4/3)-(5/12)]=1/4+(11/12)=14/12=7/6。D(X)=E(X2)-[E(X)]2=7/6-1=1/6≈0.1667。9.設(shè)X~B(n,p)，Y=e^{kX}，求E(Y)。解答X服從二項(xiàng)分布，分布律為P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}，k=0,1,…,n。E(Y)=E(e^{kX})=∑_{i=0}^ne^{ki}C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}=∑_{i=0}^nC(n,i)(pe^k)^i(1-p)^{n-i}=[pe^k+(1-p)]^n（由二項(xiàng)式定理）。五、大數(shù)定律與中心極限定理10.某保險(xiǎn)公司有10000名同類型投保人，每人每年交保費(fèi)200元，發(fā)生意外時(shí)可獲賠10000元。假設(shè)每人每年發(fā)生意外的概率為0.001，且各投保人是否發(fā)生意外相互獨(dú)立。（1）求保險(xiǎn)公司年度利潤(rùn)不少于100萬(wàn)元的概率；（2）若希望利潤(rùn)不少于100萬(wàn)元的概率不低于0.95，至少需要多少投保人？解答（1）設(shè)X為年度發(fā)生意外的人數(shù)，則X~B(10000,0.001)，期望μ=np=10，方差σ2=np(1-p)=9.99≈10。年度利潤(rùn)L=200×10000-10000X=2×10^6-10^4X。要求L≥100萬(wàn)元即2×10^6-10^4X≥10^6→X≤100。由中心極限定理，X近似服從N(10,10)，標(biāo)準(zhǔn)化得P(X≤100)=Φ((100-10)/√10)=Φ(90/3.162)≈Φ(28.46)≈1（因標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中Z>3時(shí)概率接近1）。（2）設(shè)需要n個(gè)投保人，X~B(n,0.001)，μ=0.001n，σ2=0.001n×0.999≈0.001n。利潤(rùn)L=200n-10000X≥10^6→X≤(200n-10^6)/10000=0.02n-100。要求P(X≤0.02n-100)≥0.95，由中心極限定理，X近似N(0.001n,0.001n)，則：Φ[(0.02n-100-0.001n)/√(0.001n)]≥0.95→Φ[(0.019n-100)/√(0.001n)]≥0.95。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Φ(1.645)=0.95，故(0.019n-100)/√(0.001n)≥1.645。令t=√n，方程變?yōu)?.019t2-1.645×√0.001t-100≥0→0.019t2-0.052t-100≥0。解二次方程0.019t2-0.052t-100=0，判別式Δ=0.0522+4×0.019×100≈0.0027+7.6=7.6027，根為t=(0.052±√7.6027)/(2×0.019)≈(0.052±2.757)/0.038，取正根t≈(2.809)/0.038≈73.92，故n≈t2≈5464。六、參數(shù)估計(jì)11.設(shè)總體X的概率密度為：f(x;θ)=\(\begin{cases}(θ+1)x^θ,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)其中θ>-1為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為來(lái)自X的樣本。（1）求θ的矩估計(jì)量；（2）求θ的極大似然估計(jì)量。解答（1）一階矩E(X)=∫?1x(θ+1)x^θdx=(θ+1)∫?1x^{θ+1}dx=(θ+1)/(θ+2)。令樣本一階矩A?=X?=E(X)，解得θ=(2X?-1)/(1-X?)，即矩估計(jì)量為\(\hat{θ}_M=(2\bar{X}-1)/(1-\bar{X})\)。（2）似然函數(shù)L(θ)=∏_{i=1}^n(θ+1)x_i^θ=(θ+1)^n(∏x_i)^θ，取對(duì)數(shù)得lnL=nln(θ+1)+θ∑lnx_i。求導(dǎo)得d(lnL)/dθ=n/(θ+1)+∑lnx_i=0，解得θ=-1-n/∑lnx_i，故極大似然估計(jì)量為\(\hat{θ}_L=-1-n/\sum_{i=1}^n\lnX_i\)。七、假設(shè)檢驗(yàn)12.某品牌電池的平均壽命原為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為50小時(shí)。改進(jìn)工藝后，隨機(jī)抽取25只電池，測(cè)得平均壽命為215小時(shí)。假