把既有大小、又有方向的量，叫做向量．記為向量a,b,c,...等，在書寫時，則在小寫西文字符EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up11(p),b)如果向量的方向限于平面內，則叫做平面向量．EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up12(p),b)特別地，若一個向量的模為單位1，則叫做單位向量，單位向量常記作e．若一個向量的模為0，則叫做零向量，零向量總是記作0．零向量的長度為0，且規(guī)定零向量0的方向是可以任意確定的．為了更直觀的反映確定向量的大小、方向，我們又把向量表示成如圖7-2(1)上所示的帶箭頭的短線段，箭頭的方向表示了它所表示的向量的方向，而線段的長度則是它所表示的向量的模(即大小)．有時，為了突出短線段的起終點，會以字符標a/bc1由于我們所研究的向量只含有大小、方向兩個要素，因此，即使當我們用帶箭頭的短線段表示向量時，與帶箭頭的短線段的起終點是沒有關系的．為了突出這一點，有時又把向量記作自由課內練習11.一個正六邊形的所有邊及中心到各頂點的連線，能構成多少向量？試寫出全部所構成的向量；若正六邊形的邊長為1，求全部向量的模，并判斷哪些向量是單位向------------word文檔可編輯-------------(1)向量相等的大小就可以下結論．因為向量不但有大小，而且有方向，所以比較兩個向量a,b的相等與否，不但要比較它們的大小，還要比較它們的方向．當且僅當a,b的大小相等、方向相同時，才能說小于關系呢？因為大小、方向的整體組成向量，方向是不能比較大小的，因此向量本身之間也不能比較大小，即兩個向量不能談及孰大孰?。斎?，向量的模是數(shù)量，因此向量的模是可以比較而不能說向量a大于向量b．若a=b，則把表示a,b的箭頭短線段的始點移到同一點時，它們必重合；反之把兩條箭頭短線段的始點移到同一點時重合，那么這兩條短線段表示相等的向量或同一向量．例2物體從點A出發(fā)位移，第一次沿水平線位移到B，位移量為3；然后繼續(xù)沿鉛直方向向下位移到C，位移量為4．(1)試以向量表示這二次位移，并在平面上作出這兩個位移向量；(2)在A的鉛直下方4處標注點D，能否說第二次位移的位移向量是AD？為什么？(2)相反向量對數(shù)量，若兩個數(shù)a,b的絕對值相等但符號相反，則把a,b叫做一對相反數(shù)．對向量，若兩個向量a,b的長度相等但方向相反，則這一對向量叫做相反向量，記作a=-b或-a=b．對調一個向量的始點和終點，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如------------word文檔可編輯-------------位移．(3)平行向量若兩個向量a,b的方向相同或相反，則把這一對向量叫做平行向量，也可以說向量a平行于規(guī)定零向量平行于任意向量.根據平行向量的方向特征，若向量a位于直線l上(即a的始終點都在l上)，則只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直線l上，因此又把平行向量叫做共線向量．例4找出一個梯形各邊構成的全部向量及這些向量之間存在的關系．課內練習22.作出一個梯形及其中線，可以構成多少向量？這些向量之間存在哪些關系？F體受力后的移動情況肯定不同，這與F=F1的結論矛盾嗎？試作出合理的解釋．?W------------word文檔可編輯-------------(1)向量的加法運算向量加法運算的法則．?baa點、以a,b為鄰邊組成的平行四邊形的對角線向量，也是是以a的終點作為b的始點所組成的三角形的第三邊向量(三角形法則aacaa?解(1)按平行四邊形法則，把的始caa?始點連向b的終點的向量即為和向量c(見圖9-10(3))．解逐次應用向量加法的法則——abdcbaf------------word文檔可編輯-------------移加向量的始點到被加向量的終點，從被加向量的始點連向加向量的終點，得到和向量f如圖9-12所示，其中虛線表課內練習31.請舉一個向量相加的實際問題．確嗎？由此可以對向量相加與向量的模相加作出怎樣的結論？AB滿足交換律和結合律(2)向量的減法運算法運算的法則．圖法運算的法則．圖9-aacabaacab------------word文檔可編輯-------------我們可以歸納為：首同尾連，剪頭指向被減．課內練習4量．為了使AB是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應是怎樣的？mn,因為向量相減是被減向量與減向量的負向量相加，而向量相加運算滿足交換律、結合律，這樣向量的減法運算所能滿足的運算律也就唾手可得了，例如(3)向量的數(shù)乘運算在數(shù)量運算中，若a=2，b是a的兩倍，則b=2a．在例8向量運算中，我們兩把向量的這種運算叫做向量的數(shù)乘運算．------------word文檔可編輯-------------根據向量數(shù)乘運算的這種規(guī)定，立即可知把數(shù)相加和向量相加所滿足的運算律結合起來，立即可得向量數(shù)乘運算滿足下述兩個分配課內練習5------------word文檔可編輯-------------(1)坐標基底向量yjx設在平面上已經建立了一個直角坐標系{xOy}．方向為x軸正向的單位向量i、方向為y軸正向的單位向量j叫做該坐標系的坐標基底向量yjxii在坐標平面上給定了向量a，平移其始點到原點后(見圖7-17)，設若向量a的坐標為(x,y)，則其?？梢杂米鴺吮硎緸樽鴺嘶紫蛄恳灿衅渥鴺?，分別是i=(1,0),j=(0,1)．yay平行于ijx因為坐標基底向量也是自由的，你也可以不平移a上作分解(見圖7-17)．例如從圖7-18，我們就可以直接看出課內練習1yyAPABx2.向量關系的坐標表示x向量之間有相等、相反、平行(共線)等關系．當知道了向量的坐標后，這些共線的判定就變得十分簡單．即兩個相等向量的坐標相等，坐標相等的向量相等．即兩個相凡向量的坐標對應地互為相反數(shù)；坐標對應互為相反數(shù)的向量y2b2bxax所以兩個向量的坐標對應成比例，則它們平行；平行向量的坐標必定對應成比例．課內練習23．平面向量運算的直角坐標表示把向量數(shù)乘、加減法的運算法則應用于向量對坐標基底的分解式(7-2-2)，即可得向量運算的坐標表示．------------word文檔可編輯-------------yA(3)給定始終點的向量的坐標A2所以給定了始終點坐標的向量的坐標，等于終點坐標對應減去始點坐標．D例6某人第一天按圖9-23所示方向、以速度5km/h步行3OAxO小時到達A處；第二天又按圖9-23所示方向、以速度15km/h騎了課內練習2------------word文檔可編輯-------------------------word文檔可編輯-------------線段所在直線為始終邊的角，叫做向量a,b所成的角，記作(a^b)(見圖ab與任何向量所成的角認為可以任意．為了方便有時也把(a^b)叫做向量之間的夾角．從向量所成角定義，立即可知其中(a^b)表示向量a,b之間所成的角．向量作為既有方向、又有大小的量，與數(shù)量有著區(qū)別．這種區(qū)別在運算方面的體現(xiàn)，是向量的有一些運算在數(shù)量運算中是找不到與之對應的類別的，數(shù)量積就屬于這種運算．這是因為向量的數(shù)量積，反映的是一個向量與它在另一個向量方向上投影的積．課內練習1(3)向量數(shù)量積的基本運算法則根據向量數(shù)量積的定義，立即可知成立如下運算法則：------------word文檔可編輯-------------3課內練習263(4)向量數(shù)量積的基本結論從向量數(shù)量積的定義，可以得到一些經常用到的基本結論，這些結論是必須熟記的．最后一個公式(9-3-2)對求向量所成角十分有用．課內練習32.下述四個命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？并說明理由：22-------------word文檔可編輯-------------2．平面向量數(shù)量積的坐標表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示向量數(shù)量積(9-3-1)是不依賴于坐標系的幾何定義，如果在坐標平面上討論，把向量數(shù)字化(即求出向量的坐標)，那末就能以坐標計算來表示向量的數(shù)量積．首先考察坐標基底向量i,j的數(shù)量積，有j，這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們坐標的的對應乘積的和．以坐標表示向量數(shù)量積的基本公式③,能得到我們熟知的一些公式：此即為兩點間的距離．課內練習4------------word文檔可編輯-------------(2)平