較難的初中奧數(shù)題目及答案一、選擇題（共40分）1.（10分）若a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，下列結(jié)論正確的是：A.a=b=cB.a=b，c為任意值C.a、b、c中至少有一個(gè)為0D.以上結(jié)論均不正確答案：A2.（10分）已知x、y、z是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且滿足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，下列結(jié)論正確的是：A.x2+y2+z2=1B.x2+y2+z2=2C.x2+y2+z2=3D.x2+y2+z2=4答案：B3.（10分）若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=3，下列結(jié)論正確的是：A.b=1B.b=2C.b=3D.b=0答案：A4.（10分）若a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=0，下列結(jié)論正確的是：A.b=0B.b=-aC.b=-cD.b=a+c答案：A二、填空題（共30分）1.（10分）已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證：a=b=c。答案：由題意可知，a2+b2+c2=ab+ac+bc，移項(xiàng)得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，由于平方和為0，所以a=b=c。2.（10分）已知x、y、z是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且滿足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，求x2+y2+z2的值。答案：由題意可知，x+y+z=0，所以x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2，但平方和不能為負(fù)數(shù)，所以題目有誤。3.（10分）若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=3，求b的值。答案：由于a、b、c是等差數(shù)列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。三、解答題（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=0，求證：b=0。證明：由于a、b、c是等比數(shù)列，所以b2=ac，又a+b+c=0，所以a=-b-c，代入b2=ac得b2=(-b-c)c，即b2+c2+bc=0，由于平方和為0，所以b=c=0，所以b=0。2.（15分）已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證：a=b=c。證明：由題意可知，a2+b2+c2=ab+ac+bc，移項(xiàng)得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，由于平方和為0，所以a=b=c。四、證明題（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=3，求證：b=1。證明：由于a、b、c是等差數(shù)列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。2.（15分）已知x、y、z是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且滿足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，求證：x2+y2+z2=2。證明：由題意可知，x+y+z=0，所以x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2，但平方和不能為負(fù)數(shù)，所以題目有誤。五、綜合題（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=3，求證：b=1。證明：由于a、b、c是等差數(shù)列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。2.（15分）已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證：a=b