PAGE1專題09角及角平分線的有關計算（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）知識清單1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的．2.平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角．3.角的表示：①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等．②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等．④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側．4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.5.角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”．把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“”．把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“”．即1°=，=.6.角的性質①角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關.②角的大小可以度量，可以比較.③角可以參與運算.7.角的平分線從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．8.余角和補角（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角．（3）性質：等角的補角相等．等角的余角相等．（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯．注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系．不論這兩個角在哪兒，只要度數之和滿足了定義，則它們就具備相應的關系．一、單選題1．（24-25七年級上·全國·期末）有下列關于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角；②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖所示，∠1還可以表示為（

）A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠ACD3．（24-25七年級上·全國·期末）若∠A=52°，則∠A的補角的度數為（

）．A．48° B．208° C．128° D．38°4．（18-19七年級·吉林長春·期末）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，將射線OA繞點O逆時針旋轉80°得到射線OB，則OB的方位角是（

）A．北偏西30° B．北偏西50° C．東偏北30° D．東偏北50°5．（2024七年級上·全國·專題練習）若∠A=32°18'，∠B=32°15'3A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠CC．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B6．（19-20七年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若∠AOD=160°，則∠BOC等于（

）A．20° B．30° C．40° D．50°7．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，將三個同樣的正方形的一個頂點重合放置，則∠1的度數是（

）A．35° B．30° C．25° D．20°8．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，若∠COE=2α，∠AOB=40°，則∠BOD的度數為（

）A．α+20° B．α+40° C．α?20° D．α+80°9．（22-23七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°10．（2024七年級上·云南·專題練習）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為B'、D'，若∠B'AA．40° B．45° C．50° D．55°二、填空題11．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）比較大?。?0°15'30″20.25°．（填>12．（2024七年級上·全國·專題練習）社會熱點情境·野生動物保護

天氣轉暖，每年的二、三月，一大批國家二級保護動物白天鵝從三門峽天鵝湖國家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時常排成人字形，這個人字形的一邊與其飛行方向夾角是54°44'8″，從空氣動力學角度看，這個角度對于白天鵝隊伍飛行最佳，所受阻力最小，則13．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請寫出下列正確結論的序號．①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．14．（2019·廣西貴港·三模）小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于．三、解答題15．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)83°46(2)96°?18°2616．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏西20°的方向上，輪船B在燈塔P的南偏東80°的方向上．(1)求從燈塔P看兩輪船的視角（即∠APB）的度數；(2)輪船C在∠APB的平分線上，則輪船C在燈塔P的什么方向上？17．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，A、O、B三點在一條直線上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，求∠COD的度數．18．（2024七年級上·全國·專題練習）線段與角的計算．(1)如圖①，已知線段AB=12cm，點C為線段AB上的一點，AC=4cm，點D，E分別是AC和BC的中點，求(2)如圖②，已知∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度數．19．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，點O在直線AB上，∠EOC與∠COF互余，射線OC平分∠AOF．(1)如圖①，若∠EOC=20°，求∠BOF的度數；(2)如圖②，若∠EOC=55°，求∠BOF的度數；(3)請你猜想∠EOC和∠BOF之間的數量關系，并說明理由．20．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）【實踐活動】如圖1，將一副三角板的直角頂點重合擺放．（1）若∠DCE=50°，則∠ACE＝；∠ACE∠BCD（填>、<、=（2）①若∠DCE=20°，則∠ACB=；若∠ACB=150°，則∠DCE=；②∠ACB與∠DCE之間的數量關系是．【折展探究】（3）如圖2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE=180°，探索∠ACB與∠DCE之間的數量關系，并說明理由．21．（2024七年級上·全國·專題練習）已知∠AOB=50°，從頂點O引一條射線OC，若∠AOC=20°，則∠BOC是（

）A．20° B．30° C．70° D．30°或70°22．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，若∠BOD=2∠AOB，OC是∠AOD的平分線，則①∠BOC=13∠AOB；②∠DOC=2∠BOC；③∠COB=12A．①② B．③④ C．②③ D．①④23．（24-25七年級上·河北保定·期中）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內部一條射線，過點O作射線OA，在平面內沿箭頭方向轉動，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數為（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．無法計算24．（24-25七年級上·全國·期末）已知一個角的余角比這個角的補角的13小20°，則這個角的余角的度數是，補角的度數是25．（2024七年級上·云南·專題練習）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請寫出下列正確結論的序號．

①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．26．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．給出下面四個結論：①∠AOE與∠BOC互余：②∠BOE與∠EOD互補；③∠AOD+∠BOE=∠BOD+180°；④∠AOC?∠BOC=2∠EOD．上述結論中，正確結論的序號有．27．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖①，把直角三角形MON的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．(1)若∠MOC=28°，求∠BON的度數；(2)若∠MOC=m°，則∠BON的度數為______；（用含m的代數式表示）(3)由（1）和（2）可得，∠BON和∠MOC之間的數量關系是______；(4)若將直角三角形MON繞點O旋轉到如圖②所示的位置，其他條件不變，請問：∠BON和∠MOC之間的數量關系是否發(fā)生變化？請說明理由．28．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）探究與實踐將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知∠AOB=90°，∠COD=60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側：【問題發(fā)現】（1）保持三角板AOB不動，將三角板COD繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD=__________；②∠BOC?∠AOD=__________．【問題探究】（2）若三角板COD按每分鐘6°的速度繞點O逆時針方向旋轉，三角板AOB按每分鐘4°的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算∠MOC?∠AOD（用含t的代數式表示）．【問題解決】（3）保持三角板AOB不動，將三角板COD繞點O逆時針方向旋轉n°(n≤360)，若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。?9．（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，若∠COB=3∠AOD，OE為∠AOD的角平分線，則∠COE的度數是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°30．（23-24七年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，射線OC,OD都在∠AOB的內部，∠AOC和∠BOD都是直角，下列說法：①∠AOD=∠BOC；②∠DOC+∠AOB=180°；③若∠AOB=5∠DOC，則∠COD=30°；④若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠MON=45°．其中結論正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個31．（22-23七年級下·安徽淮南·開學考試）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，∠D=30°、∠BAC=45°，將三角板DBE繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且0°<∠CBE<90°，則下列結論中正確的是（）①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②∠DBC+∠ABE的角度不恒為105°；③在旋轉過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，則∠MBN=52.5°．A．① B．②③ C．③ D．①③32．（24-25七年級上·全國·期末）已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射線OD平分∠BOC，則33．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，∠AOB=90°，OC是其內部一條射線，以OC為一邊作直角∠COD，點D與點A在邊OC同側，給出下列四個結論：①∠AOC只與∠BOC互余；②∠AOC與∠BOD互補；③OC平分∠AOB，則OA平分∠COD；④∠AOD的平分線與∠BOC的平分線的夾角是直角．其中正確的是（填序號）．34．（2024七年級上·甘肅蘭州·專題練習）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內部一條射線，過點O作射線OA，在平面內沿箭頭方向轉動，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數為．35．（24-25七年級上·全國·期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于(1)【知識運用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數是________．（用含α的代數式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針轉動，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針轉動，當射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒）使得∠COD的度數是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．②當t的值為多少時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？36．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期中）如圖1，大課間的廣播操展示讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做的更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖2，為方便研究，定義兩手手心位置分別為A、B兩點，兩腳腳跟位置分別為C、D兩點，定義A、B、C、D平面內O為定點，將手腳運動看作繞點O進行旋轉．(1)如圖2，A、O、B三點共線，點C、D重合，∠AOC=∠BOC，則∠AOC=°；(2)如圖3，A、O、B三點共線，且∠AOC:∠BOC=3:2，DO平分∠BOC，求∠AOD的大?。?3)第三節(jié)腿部運動中，如圖4，洋洋發(fā)現，雖然A、O、B三點共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=3:2，他經過計算發(fā)現，∠AOC?23∠BOD(4)第四節(jié)體側運動中，如圖5，樂樂發(fā)現，兩腿左右等距張開，使豎直方向的射線OE平分∠COD，且∠COD=30°，開始運動前A、O、B三點在同一水平線上，OA、OB繞點O順時針旋轉，OA旋轉速度為每秒50°，OB旋轉速度為每秒25°，當OB旋轉到與OD重合時運動停止（OE是豎直方向的一條射