PAGE1專題18圓的基本概念及垂徑定理（9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1.圓(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．方法提示：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.方法提示：①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；②圓指的是圓周，而不是圓面；③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.知識(shí)點(diǎn)2.圓的有關(guān)概念1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.方法提示：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.3.弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.注意：弦和孤的關(guān)系：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段，孤是圓上任意兩點(diǎn)之間的部分，是曲線，每條孤對(duì)應(yīng)一條弦，而每條弦對(duì)應(yīng)的孤有兩條。4.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.5.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.知識(shí)點(diǎn)3.垂直于弦的直徑【類型】一、圓的基本概念1．（24-25九年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）下列語句中正確的是（）A．直徑是經(jīng)過圓心的直線 B．經(jīng)過圓心的線段是半徑C．半圓是弧 D．以直徑為弦的弓形是半圓【答案】C【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，掌握直徑、半徑、半圓和弧、弓形的定義是解題關(guān)鍵．由直徑是線段不是直線，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)經(jīng)過圓心的線段兩個(gè)端點(diǎn)不一定在圓和圓心上，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)半圓是直徑所對(duì)的弧，弓形是由弦及其所對(duì)的弧組成，可判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】解：A、直徑是經(jīng)過圓心的弦，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、經(jīng)過圓心的線段不一定是半徑，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、半圓是弧，選項(xiàng)正確；D、以直徑為弦的弓形不是半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·寧夏石嘴山·期中）如圖，下列說法正確的是（）A．線段，，都是的弦B．線段經(jīng)過圓心O，線段是直徑C．D．弦把圓分成兩條弧，其中是劣弧【答案】B【分析】本題考查圓的相關(guān)定義，根據(jù)弦的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)直徑的定義對(duì)B進(jìn)行判斷；不能確定，則可對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．線段，都是的弦，不是，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．線段經(jīng)過圓心O，線段是直徑，所以B選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．為優(yōu)弧，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3．（24-25九年級(jí)上·河南商丘·期中）早在兩千多年前的戰(zhàn)國時(shí)期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描述性定義：“圜（這里讀yuan），一中同長(zhǎng)也”，這就是說，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．其中“定長(zhǎng)”指的是．【答案】半徑【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)．根據(jù)圓的集合定義直接回答即可．【詳解】解：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．其中，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑．故答案為：半徑．4．（2025九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，（1）半徑有：．（2）直徑有：．【答案】，/【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)定義，正確識(shí)別半徑和直徑成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)半徑的定義即可解答；（2）根據(jù)直徑的定義即可解答．【詳解】解：（1）如圖，在中，半徑有，．（2）如圖，在中，直徑有．故答案為：；．【類型2】直徑與弦長(zhǎng)問題5．（24-25九年級(jí)上·河南周口·期末）若，是半徑為4的上的兩個(gè)點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)不可能是（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】此題考查了圓的弦的性質(zhì)：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，求出圓的直徑，根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦判斷即可．【詳解】解：∵圓的半徑為4，∴圓的直徑為8，∵是半徑為4的圓的一條弦，∴，∴弦的長(zhǎng)不可能是10．故選：D．6．（23-24九年級(jí)上·陜西渭南·期中）已知、為上的兩點(diǎn)，若的半徑為，則的長(zhǎng)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，根據(jù)題意，可得圓的直徑為，直徑是圓上最長(zhǎng)的弦，即，即可得到答案．【詳解】解：∵、為上的兩點(diǎn)，若的半徑為，∴，∴D不符合題意．故選：D．7．（2024九年級(jí)上·安徽·專題練習(xí)）已知的半徑是3，A、B是圓周上的兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最長(zhǎng)距離是（

）A．3 B．6 C．12 D．不能確定【答案】B【分析】本題主要查了圓的基本性質(zhì)．根據(jù)圓的基本性質(zhì)解答，即可求解．【詳解】解：經(jīng)過圓心的弦最長(zhǎng)，即直徑是最長(zhǎng)的弦，∵的半徑是3，∴兩點(diǎn)間的最長(zhǎng)距離是6．故選：B．8．（24-25九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知的半徑為5，是的弦，則的長(zhǎng)度a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，明確圓中最長(zhǎng)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．利用直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦即可求解．【詳解】解：的半徑為5，的弦的長(zhǎng)度的取值范圍為：，故答案為：．【類型3】圓有關(guān)周長(zhǎng)與面積的計(jì)算9．（24-25九年級(jí)上·云南玉溪·期中）如圖，在中，，弦的長(zhǎng)為3，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓的面積公式，證明為等邊三角形得出，再由圓的面積公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，，∴為等邊三角形，∴，∴的面積為，故選：D．10．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）平面內(nèi)，長(zhǎng)為的線段繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，線段的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為【答案】【分析】先分析出M的路徑是圓，根據(jù)題意求出圓M的周長(zhǎng)即可．本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，得到M的軌跡是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻拷猓河深}意得P的路徑是O為圓心，5為半徑的圓，則中點(diǎn)M的路徑是O為圓心，為半徑的圓，所以圓M的周長(zhǎng)為，故答案為：．11．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半徑為的沿著邊長(zhǎng)為的正方形的邊作無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周回到原來的位置，自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）【答案】/【分析】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可得正方形的周長(zhǎng)，結(jié)合圓的周長(zhǎng)計(jì)算，即可求解，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：的周長(zhǎng)為：，正方形的周長(zhǎng)為：，∴自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是，故答案為：．【類型4】垂徑定理的認(rèn)識(shí)12．（24-25九年級(jí)上·山東德州·期中）以下命題正確的是（

）A．任何一條直徑都是圓的對(duì)稱軸 B．周長(zhǎng)相等的圓是等圓C．平分弦的直徑垂直于弦 D．直徑是圓上任意兩點(diǎn)所連的線段【答案】B【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，垂徑定理等相關(guān)知識(shí)；需要特別注意的是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條直線．根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、圓的直徑是一條線段，而圓的對(duì)稱軸是一條直線，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、周長(zhǎng)相等的圓的半徑也相等，故是等圓，故此選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、通過圓心并且兩端都在圓周上的線段叫做圓的直徑，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．13．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，是的直徑，是弦，，垂足為M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的兩條弧，根據(jù)垂徑定理即可進(jìn)行判斷，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，是弦，，垂足為M，∴，，，無法判斷，故選：C14．（21-22九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．【詳解】解：是的直徑，弦于點(diǎn)，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【類型5】垂徑定理的計(jì)算15．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，垂直平分于點(diǎn)．現(xiàn)測(cè)得，則圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理和垂徑定理，關(guān)鍵是利用垂徑定理解答．連接，利用垂徑定理解答即可．【詳解】連結(jié)，如圖，設(shè)半徑為，∵垂直平分于點(diǎn)，∴，，∴，∴點(diǎn)O，D，C三點(diǎn)共線，，，在中，，即解得：，則圓的半徑為．故答案為：A．16．（2025·貴州遵義·二模）如圖，的半徑為10，，P是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），符合條件的的值不可能是（

）A．7.5 B．6.5 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，垂線段最短等知識(shí)．取的中點(diǎn)C，分別連接、，由垂徑定理及勾股定理可求得的長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短，則的值介于與之間，由此可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)C，分別連接、，則，且，在中，，∴，點(diǎn)P線段上（不與重合），則，即，∵，∴選項(xiàng)D符合題意；故選：D．17．（2025·河北唐山·二模）如圖，將一把寬為的刻度尺（單位：）放在一個(gè)圓形茶杯的杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿相交的兩個(gè)交點(diǎn)的讀數(shù)恰好是2和10，則茶杯的杯口外沿半徑為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．作于C，的延長(zhǎng)線交圓于D，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，，；設(shè)茶杯的杯口外沿半徑為，在中，由勾股定理知，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：作于C，的延長(zhǎng)線交圓于D，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，由題意可知，；∵∴，設(shè)茶杯的杯口外沿半徑為則在中，由勾股定理知解得故答案為：．18．（24-25九年級(jí)上·重慶永川·期中）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，若，．(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的長(zhǎng)度．【答案】(1)4(2)5【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到；由勾股定理求出長(zhǎng)．（1）由垂徑定理得到；（2）設(shè)，得，由勾股定理可得,求出的值即可．【詳解】（1）解：∵直徑，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，∵,∴，在中，，∴，解得，∴．【類型5】垂徑定理與同心圓問題19．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．20．（24-25九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，兩個(gè)圓都是以為圓心，大圓的弦交小圓于兩點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，小圓的半徑為5，求大圓的半徑的值．【答案】(1)見解析(2)大圓的半徑為【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；（1）作于E，根據(jù)垂徑定理得到即可得到；（2）連接，在和中根據(jù)勾股定理得到，代入求值計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖：作于E，由垂徑定理，得：即；（2）解：如圖，連接，，，在和中，由勾股定理，得：，，即，解得：大圓的半徑為．【類型6】平行弦問題21．（11-12九年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知的半徑為，弦，，，則，之間的距離為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】此題考查了垂徑定理，勾股定理．過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，由得到，利用垂徑定理得到，，利用勾股定理求出，再分當(dāng)在圓心同側(cè)時(shí)，當(dāng)在圓心兩側(cè)時(shí)求出答案．【詳解】解；如圖所示，當(dāng)平行弦，在圓心的同側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，則，．在中，．在中，．故EF．如圖所示，當(dāng)平行弦，在圓心的異側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，則，．在中，．在中，．故．綜上，，之間的距離為或，故選：D．22．（22-23九年級(jí)上·天津和平·期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．23．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，的兩條弦（不是直徑），點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：直線；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）依據(jù)垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結(jié)論；（2）證明，由垂徑定理可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

過點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（2）證明：延長(zhǎng)交于．

，，．過點(diǎn)，，垂直平分，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．24．（2023·河南駐馬店·二模）如圖，在中，是直徑，弦．(1)在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧的中點(diǎn)P；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖2，在（1）的條件下連接、，若交弦于點(diǎn)Q，的面積6，且，求的半徑；【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）由圓的對(duì)稱性，連接、交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)即可；（2）連接，如圖，根據(jù)垂徑定理得到，，再利用三角形面積公式計(jì)算出，設(shè)的半徑，則，，利用勾股定理得到，解方程即可．【詳解】（1）解：連接、，它們相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)為所作；（2）連接，如圖2，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，，，的面積為6，，解得，設(shè)的半徑，則，，在中，，解得，即的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，涉及垂徑定理和勾股定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【類型7】垂徑定理的推論25．（2025·廣東湛江·二模）如圖，，，在上，，交于點(diǎn)．若，，則半徑的長(zhǎng)為（

）A． B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理的推論以及勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理的推論得到，再對(duì)運(yùn)用勾股定理即可求解半徑．【詳解】解：∵為半徑，，∴，∵，∴，故選：D．26．（2025·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖，、在上，連接，，．的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】該題考查了垂徑定理，根據(jù)垂徑定理解答即可．【詳解】解：∵的平分線交于點(diǎn)，是半徑，∴，，，，故A、B、D正確；選項(xiàng)C不能證明，故選：C．27．（21-22九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，是的弦，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，若，，求的半徑．【答案】的半徑為．【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理及推論的應(yīng)用，連接，由為的中點(diǎn)，則，故有，然后由勾股定理即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，∵為的中點(diǎn)，∴，，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴的半徑為．28．（2025·安徽滁州·三模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，點(diǎn)B是劣弧的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，的半徑為1，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出．（1）根據(jù)垂徑定理可得答案；（2）先求出，再求出，最后根據(jù)勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B是劣弧的中點(diǎn)，是的直徑，∴，，∴．（2）解：如圖，連接，∵，，，，∵，∴，∴，，，．【類型8】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用29．（2025·陜西漢中·二模）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積，如圖，排污管道的橫截面是直徑為的，測(cè)得淤泥（陰影部分）橫截面的最大寬度為，則淤泥的最大深度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，掌握垂徑定理，勾股定理是解答本題的關(guān)鍵；連接，可得，，，在中，通過勾股定理求得，然后即可求解；【詳解】解：連接，如圖：由題可得：，，，∴，在中，，∴，∴，故選：D．30．（2025·陜西榆林·三模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖是某地的石拱橋局部，其跨度為24米，所在圓的半徑為米，則這個(gè)弧形石拱橋的拱高（的中點(diǎn)C到弦的距離）為（

）A．8米 B．6米 C．4米 D．2米【答案】C【分析】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，正確應(yīng)用垂徑定理是解題關(guān)鍵．點(diǎn)O為所在圓的圓心，連接，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求出答案．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O為所在圓的圓心，連接，由題意得：，，，設(shè)，則，根據(jù)題意可得：，即，解得：，（舍去），即米．故選：C．31．（2025·廣東中山·一模）如圖1，平底燒瓶是實(shí)驗(yàn)室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物質(zhì)，它的截面圖可以近似看作是由去掉兩個(gè)弓形后與矩形組合而成的圖形，其中，若的半徑為，，，，求該平底燒瓶的高度．【答案】該燒瓶的高度為．【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用．連接，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由垂徑定理得出，的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出，的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，平分，，，，，，的半徑為，，在和中，，由勾股定理得，，該燒瓶的高度為．32．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為，拱門最下端．(1)求拱門最高點(diǎn)到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個(gè)直徑為的圓桌面（桌面的厚度忽略不計(jì)），已知搬桌面的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計(jì)算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過拱門．【答案】(1)拱門最高點(diǎn)到地面的距離為(2)工人將桌面抬高就可以使該圓桌面通過拱門【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)拱門所在圓的圓心為O，，作于C，延長(zhǎng)交圓于D，連接，由垂徑定理可得，則由勾股定理可得的長(zhǎng)，據(jù)此求出的長(zhǎng)即可得到答案；（2）設(shè)弦，且，連接，同理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖②中，設(shè)拱門所在圓的圓心為O，，作于C，延長(zhǎng)交圓于D，連接，∵，經(jīng)過圓心O，∴，∴，∴，∴拱門最高點(diǎn)到地面的距離為；（2）解：如圖，設(shè)弦，且，連接．∵，經(jīng)過圓心O，∴，∴，∴，答：工人將桌面抬高就可以使該圓桌面通過拱門．一、單選題1．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四條弧線，點(diǎn)在其中一條弧線所在的圓上，則點(diǎn)在（

）

A．所在的圓上 B．所在的圓上 C．所在的圓上 D．所在的圓上【答案】A【分析】本題考查了圓的特征，把各弧延長(zhǎng)即可判斷．【詳解】解：如圖，

故選A．2．（24-25九年級(jí)下·湖北孝感·期中）如圖，為上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①連接，②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；③在射線上截??；④連接．則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意得是等邊三角形，則，進(jìn)而可得．【詳解】解：如圖所示，連接∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴．故選：B．3．（2025·河北邢臺(tái)·三模）下列圖形分別為正方形、圓、扇形、等邊三角形（相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示），長(zhǎng)度為1的線段可以在圖形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)），自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，且圖形面積最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了對(duì)正方形、圓、扇形、等邊三角形的理解和面積計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知C選項(xiàng)長(zhǎng)度為1的線段不可以在圖形內(nèi)豎放，然后再分別計(jì)算A、B、D選項(xiàng)圖形的面積比較即可．【詳解】解：A、邊長(zhǎng)為1，所以長(zhǎng)度為1的線段可在圖形內(nèi)自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其面積為1；B、其直徑為1，所以長(zhǎng)度為1的線段可在圖形內(nèi)自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其面積為；C、長(zhǎng)度為1的線段不可以在圖形內(nèi)豎放；D、長(zhǎng)度為1的線段可先旋轉(zhuǎn)到邊上，再通過平移和旋轉(zhuǎn)即可在圖形內(nèi)從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其邊長(zhǎng)為，所以面積為；故選：D．4．（2025·四川南充·一模）如圖，零件輪廓由一個(gè)半圓和一段拋物線圍成．若，則（

）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出．得到，代入得到，則，即可求出答案．【詳解】解：由題意可得，．∴,將代入拋物線，，解得，∴,∴．故選：C5．（2025·山東威?！ひ荒＃┤鐖D1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示意圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，對(duì)角線長(zhǎng)的一半為半徑在正方形內(nèi)畫弧，四條弧相交于點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之間的關(guān)系．由題意得半徑為，陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，代入計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為，半徑的長(zhǎng)為，∵陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，∴陰影部分面積，故選：A．6．（2025·云南西雙版納·一模）如圖，是的直徑，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明，則，結(jié)合是的直徑，列式計(jì)算，得，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵是的直徑，∴，故選：C．7．（2025·山東菏澤·三模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造輔助線利用垂徑定理是解題的關(guān)鍵；作于H，連接，；在中，由含30度直角三角形的性質(zhì)，可求得，在中，由勾股定理求得，從而可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：作于H，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴．故選：B．8．（24-25九年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶?jī)?nèi)液體已經(jīng)過半，最大深度，則截面圓中弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，再由勾股定理得，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：連接，由題意得：，∴，，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故選：C．二、填空題9．（24-25九年級(jí)上·河南南陽·期末）的最長(zhǎng)弦為，則的半徑長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題考查了圓的基本知識(shí)；根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即可求得結(jié)果．【詳解】解：中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為，的直徑的長(zhǎng)為，的半徑為．故答案為：4．10．（24-25九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）早在多年前的戰(zhàn)國時(shí)期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描述性定義：“圜（這里讀），一中同長(zhǎng)也”這就是說，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．其中定點(diǎn)是．【答案】圓心【分析】考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的集合定義．根據(jù)圓的集合定義直接回答即可．【詳解】解：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．其中，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑．故答案為：圓心．11．（2025·甘肅隴南·三模）已知矩形的頂點(diǎn)B，C在半徑為5的半圓O上，頂點(diǎn)A，D在直徑上．若，則矩形的面積為．【答案】24【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)概念，掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接，可由勾股定理求得，再證明，則，那么，即可求解矩形面積．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∵矩形，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴矩形的面積為，故答案為：24．12．（23-24九年級(jí)上·四川南充·期中）如圖所示，為的直徑，是的弦，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知，，則．【答案】【分析】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，連接，可證明，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，再由得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B分別與數(shù)軸上表示數(shù)0，2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C在上，則與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)E表示的數(shù)為．【答案】【分析】本題主要查了圓的基本性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸．連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵正方形的頂點(diǎn)A，B分別與數(shù)軸上表示數(shù)0，2的點(diǎn)重合，∴，，∴，∵點(diǎn)C在上，∴的半徑為，∴與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)E表示的數(shù)為．故答案為：14．（2025·廣西南寧·三模）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問：徑幾何？”大意是：如圖，為的直徑，弦，垂足為E，寸，寸，則的直徑為寸．【答案】26【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，先根據(jù)垂徑定理，由垂直得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由寸可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為寸，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵為的直徑，，且寸，∴寸，設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為寸，則寸，∵寸，∴寸，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：∴，解得，∴寸，故答案為：26．15．（2025·湖南懷化·三模）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，，，那么該圓的半徑為.【答案】13【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)．連接，首先根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”可得，再在中，利用勾股定理列式計(jì)算，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，連接，設(shè)該圓的半徑為，∵，，∴，∵，∴，∴在中，，即，解得∴該圓的半徑為，，故答案為：13．16．（22-23九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為．【答案】或/7或1【分析】如圖，，，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，根據(jù)垂徑定理得，由于，，則，根據(jù)垂徑定理得，然后利用勾股定理可計(jì)算出，再進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：如圖，，，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，∴，∵，，∴，∴，在中，，同理可得，當(dāng)圓心在與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心不在與之間時(shí)，與的距離．故答案為7或1．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（24-25九年級(jí)上·遼寧撫順·期末）如圖，為的直徑，，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，．(1)求