PAGE1專題09角及角平分線的有關計算（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）知識清單1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的．2.平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角．3.角的表示：①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等．②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等．④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側．4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.5.角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”．把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“”．把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“”．即1°=，=.6.角的性質①角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關.②角的大小可以度量，可以比較.③角可以參與運算.7.角的平分線從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．8.余角和補角（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角．（3）性質：等角的補角相等．等角的余角相等．（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯(lián)．注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應的關系．一、單選題1．（24-25七年級上·全國·期末）有下列關于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角；②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查了角的定義，根據(jù)角的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關鍵．【詳解】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯誤，不符合題意；角的大小與開口大小有關，角的邊是射線，沒有長短之分，故②錯誤，不符合題意；角的邊是射線，不能延長，故③錯誤，不符合題意；角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，④正確，符合題意，∴只有④一個選項正確，故選：A．2．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖所示，∠1還可以表示為（

）A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠ACD【答案】B【分析】本題考查角的表示方法，根據(jù)一個角可以用三個大寫字母表示，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，∠1還可以表示為∠CAD；故選B．3．（24-25七年級上·全國·期末）若∠A=52°，則∠A的補角的度數(shù)為（

）．A．48° B．208° C．128° D．38°【答案】C【分析】此題主要考查了補角的定義，兩角相加為180°，則兩角互補．根據(jù)補角的定義進行解答即可．【詳解】解：∠A的補角的度數(shù)為180°?52°=128°．故選：C．4．（18-19七年級·吉林長春·期末）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，將射線OA繞點O逆時針旋轉80°得到射線OB，則OB的方位角是（

）A．北偏西30° B．北偏西50° C．東偏北30° D．東偏北50°【答案】B【分析】本題考查了方位角的計算，理解圖示，掌握方位角的計算是解題的關鍵．根據(jù)題意，∠AOB=80°，可得OB在北偏西50°方向即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵OA是北偏東30°方向的一條射線，∴∠AOC=30°，∵將射線OA繞點O逆時針旋轉80°得到射線OB，∴∠AOB=80°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=80°?30°=50°，∴OB的方位角是北偏西50°，故選：B．5．（2024七年級上·全國·專題練習）若∠A=32°18'，∠B=32°15'3A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠CC．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B【答案】A【分析】本題主要考查角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉化．將三個角的度數(shù)都轉化成度分秒的形式后，即可得到三個角的大小關系．【詳解】解：∵0.25°=60∴∠C=32°15∵32°18∴∠A>∠B>∠C．故選：A．6．（19-20七年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若∠AOD=160°，則∠BOC等于（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【分析】本題考查了角度的計算，如圖可知，∠BOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去∠AOD的度數(shù)，進而即可解出答案．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=160°，∴∠BOC=∠AOB+∠COD?∠AOD=90°+90°?160°=20°，故選：A．7．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，將三個同樣的正方形的一個頂點重合放置，則∠1的度數(shù)是（

）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】D【分析】本題主要考查了角度的計算，根據(jù)∠1=∠BOD+EOC?∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度數(shù)從而求解．【詳解】解：如圖，∵∠FOC=∠EOB=∠DOA=90°，∠EOF=42°,∠AOB=28°，∴∠BOD=90°?∠AOB=90°?28°=62°，∠EOC=90°?∠EOF=90°?42°=48°，∵∠1=∠BOD+∠EOC?∠BOE，∴∠1=62°+48°?90°=20°．故選D．8．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，若∠COE=2α，∠AOB=40°，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．α+20° B．α+40° C．α?20° D．α+80°【答案】B【分析】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，靈活運用角的和差計算角的度數(shù)是解題的關鍵．由角平分線的定義可求解∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=1【詳解】因為OB是∠AOC的平分線，所以∠BOC=∠AOB=40°，因為OD是∠COE的平分線，所以∠COD=1所以∠BOD=∠COD+∠BOC=α+40°．故選：B．9．（22-23七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義、角的計算、方程，根據(jù)已知條件列方程即可．【詳解】設∠AOB=x，則∠AOC=13x因為∠AOD?∠AOC=∠COD，所以12x?1所以∠AOB=120°故選：C．10．（2024七年級上·云南·專題練習）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為B'、D'，若∠B'AA．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】本題考查了角的計算，可以設∠EAD'=α，∠FAB'=β【詳解】解：設∠EAD'=α根據(jù)折疊性質可知∠DAF=∠D'AF∵∠B∴∠DAF=10°+β，∠BAE=10°+α．∵四邊形ABCD是長方形，∴∠DAB=90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α=90°，∴α+β=30°，∴∠EAF=∠B故選：A．二、填空題11．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）比較大?。?0°15'30″20.25°．（填>【答案】>【分析】本題主要考查了度、分、秒的轉化運算，注意以60為進制，比較簡單．先進行度、分、秒的轉化運算，再對比即可得出答案．【詳解】解：∵0.25°=0.25×60∴20.25°=20°15∴20°15故答案為：>．12．（2024七年級上·全國·專題練習）社會熱點情境·野生動物保護

天氣轉暖，每年的二、三月，一大批國家二級保護動物白天鵝從三門峽天鵝湖國家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時常排成人字形，這個人字形的一邊與其飛行方向夾角是54°44'8″，從空氣動力學角度看，這個角度對于白天鵝隊伍飛行最佳，所受阻力最小，則【答案】125°1【分析】本題考查了補角的定義和度、分、秒的互化，根據(jù)補角的定義列式計算即可．【詳解】解：180°?54°4=179°5=125°15故答案為：125°1513．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請寫出下列正確結論的序號．①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．【答案】①②③【分析】本題主要考查角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義、鄰補角和直角的概念求解可得．【詳解】解：∵∠AOC=50°，∴∠BOC=180°?∠AOC=130°，故①正確；∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=1∴∠BOD=180°?∠AOD=155°，故③正確；∵∠BOE=90°，∠AOC=50°，∴∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=40°，故④錯誤；故答案為：①②③．14．（2019·廣西貴港·三模）小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于．【答案】210°/210度【分析】本題考查的是三角形的外角的性質、三角形內角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．根據(jù)三角形內角和定理得到∠B=45°，∠E=60°，根據(jù)三角形的外角的性質計算即可．【詳解】解：如圖．∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∠C=∠F=90°，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=90°+30°+90°=210°．故答案為：210°．三、解答題15．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)83°46(2)96°?18°26【答案】(1)136°2(2)77°3【分析】本題考查了度分秒的加減計算，熟練掌握換算方法是解題的關鍵．（1）兩個度數(shù)相加，需要將度與度，分與分，秒與秒對應相加，分或秒的結果滿60分別化為度和分求解；（2）兩個度數(shù)相減，借1°化為60'，借1'【詳解】（1）解：83°46=135°85=136°25（2）解：96°?18°26=95°59=77°3316．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏西20°的方向上，輪船B在燈塔P的南偏東80°的方向上．(1)求從燈塔P看兩輪船的視角（即∠APB）的度數(shù)；(2)輪船C在∠APB的平分線上，則輪船C在燈塔P的什么方向上？【答案】(1)120°(2)輪船C在燈塔P的北偏東40°方向上【分析】（1）根據(jù)∠APB=∠APM+∠MPN+∠BPN即可求出；（2）根據(jù)PC平分∠APB求出∠APC，然后根據(jù)∠CPM=∠APC?∠APM即可解答．本題主要考查方向角的知識點，解答本題的關鍵是搞懂方向角的概念和利用好角平分線的知識點．【詳解】（1）解：如圖所示，因為輪船A在燈塔P的北偏西20°的方向上，輪船B在燈塔P的南偏東80°的方向上，所以∠APB=∠APM+∠MPN+∠BPN=20°+90°+90°?80°=120°．（2）解：因為PC平分∠APB，所以∠APC=1所以∠CPM=∠APC?∠APM=60°?20°=40°，所以輪船C在燈塔P的北偏東40°方向上．17．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，A、O、B三點在一條直線上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，求∠COD的度數(shù)．【答案】26°【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義以及角度的和差計算問題的，解答本題的關鍵是方程思想的運用．首先根據(jù)角平分線的概念得到∠BOE=∠DOE=77°?∠COD，然后利用平角的概念求解即可．【詳解】解：因為OE平分∠BOD，∠COE=77°，所以∠DOE=∠BOE．所以∠BOE=∠DOE=77°?∠COD．因為∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠AOC=2∠COD，所以2∠COD+∠COD+277°?∠COD所以∠COD=180°?2×77°=26°．18．（2024七年級上·全國·專題練習）線段與角的計算．(1)如圖①，已知線段AB=12cm，點C為線段AB上的一點，AC=4cm，點D，E分別是AC和BC的中點，求(2)如圖②，已知∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度數(shù)．【答案】(1)6(2)135°【分析】本題考查了線段的中點、線段的和差、角平分線的定義，熟練掌握以知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由線段的中點得出CD=2cm，CE=4cm，再由（2）設∠AOC=2x°，∠COD=3x°，∠DOB=4x°，則∠AOB=9x°，由角平分線的定義得出∠MOC=x°，【詳解】（1）解：因為D，E分別是AC和BC的中點，所以DC=12AC因為AC=4cm所以CD=2cm因為AB=12cm，AC=4所以BC=8cm所以CE=4cm所以DE=DC+CE=6cm（2）解：設∠AOC=2x°，∠COD=3x°，因為OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC=x°，∠NOD=2x所以∠MON=x°+3x因為∠MON=90°，所以6x=90，所以x=15，所以∠AOB=135°．19．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，點O在直線AB上，∠EOC與∠COF互余，射線OC平分∠AOF．(1)如圖①，若∠EOC=20°，求∠BOF的度數(shù)；(2)如圖②，若∠EOC=55°，求∠BOF的度數(shù)；(3)請你猜想∠EOC和∠BOF之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)40°(2)110°(3)∠EOC=1【分析】本題考查了與角平分線有關的計算、互余，熟練掌握互余的定義是解題關鍵．（1）先根據(jù)互余的定義可得∠COF=70°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠AOF=140°，然后根據(jù)平角的定義求解即可得；（2）先根據(jù)互余的定義可得∠COF=35°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠AOF=70°，然后根據(jù)平角的定義求解即可得；（3）先根據(jù)互余的定義可得∠COF=90°?∠EOC，再根據(jù)角平分線的定義可得∠AOF=2∠COF=180°?2∠EOC，然后根據(jù)平角的定義即可得．【詳解】（1）解：∵∠EOC與∠COF互余，∴∠COE+∠COF=90°．∵∠EOC=20°，∴∠COF=70°．∵射線OC平分∠AOF，∴∠AOF=2∠COF=140°，∴∠BOF=180°?∠AOF=40°．（2）解：∵∠EOC與∠COF互余，∴∠COE+∠COF=90°．∵∠EOC=55°，∴∠COF=35°．∵射線OC平分∠AOF，∴∠AOF=2∠COF=70°，∴∠BOF=180°?∠AOF=110°．（3）解：∠EOC=1∵∠EOC與∠COF互余，∴∠EOC+∠COF=90°，∴∠COF=90°?∠EOC．∵射線OC平分∠AOF，∴∠AOF=2∠COF=180°?2∠EOC，∴∠BOF=180°?∠AOF=2∠EOC．即∠EOC=120．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）【實踐活動】如圖1，將一副三角板的直角頂點重合擺放．（1）若∠DCE=50°，則∠ACE＝；∠ACE∠BCD（填>、<、=（2）①若∠DCE=20°，則∠ACB=；若∠ACB=150°，則∠DCE=；②∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關系是．【折展探究】（3）如圖2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE=180°，探索∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）40°，=；（2）①160°，30°；②∠ACB+∠DCE=180°；∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析【分析】本題考查了角的計算，角的大小比較，掌握角的計算，角的大小比較方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖形中角的關系即可得出∠ACE的度數(shù)．由題意，得∠ACD=90°，∠ECB=90°，進而得出∠ACE+∠DCE=90°，∠DCE+∠BCD=90°，然后根據(jù)角度運算可得出答案；（2）①根據(jù)角的運算可得出∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACB=∠ECB+∠ACE計算即可得出∠ACB的度數(shù)；先根據(jù)∠ACE=∠ACB?∠ECB計算得出∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)角的運算即可得出∠DCE的度數(shù)；②由∠ACD=90°，∠ECB=90°，可得出∠ACE+∠DCE=90°，∠DCE+∠BCD=90°，則得出∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，進而得出∠ACB+∠DCE=∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，進而得出答案；（3）根據(jù)題意，由∠ACD+∠BCE=180°得出：∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，進而得出∠ACB+∠DCE=∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，由此可得∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關系．【詳解】解：（1）由題意，得∠ACD=90°，∠ECB=90°，∠DCE=50°，∴∠ACE=∠ACD?∠DCE=90°?50°=40°，∠BCD=∠ECB?∠DCE=90°?50°=40°，∴∠ACE=∠BCD．故答案為：40°，=；（2）①∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∠DCE=20°，∴∠ACE=∠ACD?∠DCE=90°?20°=70°，∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=70°+90°=160°，∵∠ACB=150°，∴∠ACE=∠ACB?∠ECB=150°?90°=60°，∴∠DCE=∠ACD?∠ACE=90°?60°=30°．故答案為：160°，30°；②∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°．又∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，∴∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關系是∠ACB+∠DCE=180°．故答案為：∠ACB+∠DCE=180°；（3）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關系是∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACD=∠ACE+∠DCE，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∠ACD+∠BCE=180°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD=180°，即∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=∠ACE+2∠DCE+∠BCD=180°．21．（2024七年級上·全國·專題練習）已知∠AOB=50°，從頂點O引一條射線OC，若∠AOC=20°，則∠BOC是（

）A．20° B．30° C．70° D．30°或70°【答案】D【分析】本題考查了角的計算，分為兩種情況：①當OC在∠BOA內部時，②當OC在∠BOA外部時，根據(jù)角之間的關系求出即可．【詳解】解：分為兩種情況：①如圖①，當OC在∠BOA內部時，∠BOC=∠AOB?∠AOC=50°?20°=30°；②如圖②，當OC在∠BOA外部時，∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+20°=70°．故選D．22．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，若∠BOD=2∠AOB，OC是∠AOD的平分線，則①∠BOC=13∠AOB；②∠DOC=2∠BOC；③∠COB=12A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】本題主要考查角的比較與運算這一知識點，熟練掌握角平分線定義是解題關鍵．設∠AOB=α，由∠BOD=2∠AOB,OC是∠AOD的平分線，可得∠BOC=∠AOC?AOB=12α【詳解】解：設∠AOB=α，∵∠BOD=2∠AOB,OC是∠AOD的平分線，∴∠BOD=2α,∠AOC=∠COD=∴∠BOC=∠AOC?AOB=∴∠COB=1故③④正確，①②錯誤，故選B．23．（24-25七年級上·河北保定·期中）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內部一條射線，過點O作射線OA，在平面內沿箭頭方向轉動，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數(shù)為（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．無法計算【答案】C【分析】本題主要考查了有關角平分線的計算，明確題意，理清圖中各角度之間的數(shù)量關系是解答本題的關鍵．由OC是∠BOD的平分線得∠COD=∠COB=12∠BOD=60°，進而求得∠BOE=∠COB?∠COE=30°，結合∠AOB:∠BOE=3:2得∠AOB=32∠BOE=45°，再分兩種情況：當OA在【詳解】解：∵∠BOD=120°，OC是∠BOD的平分線，∴∠COD=∠COB=1又∵∠COE=30°，∴∠BOE=∠COB?∠COE=30°，而∠AOB:∠BOE=3:2，∴∠AOB=3如圖，當OA在AB下方時，此時，∠AOC=∠COB+∠AOB=60°+45°=105°；如圖，當OA在AB上方時，此時，∠AOC=∠COB?∠AOB=60°?45°=15°；即：∠AOC=15°或105°，故選：C．24．（24-25七年級上·全國·期末）已知一個角的余角比這個角的補角的13小20°，則這個角的余角的度數(shù)是，補角的度數(shù)是【答案】15°105°【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，余角和補角的知識，設這個角的度數(shù)是x，則它的余角為90°?x，補角為180°?x，根據(jù)一個角的余角比這個角的補角的13多20°，即可列方程求解，熟練掌握余角的和等于90°，互補的兩角之和為180°【詳解】設這個角的度數(shù)是x，則它的余角為90°?x，補角為180°?x，根據(jù)題意，得90°?x=1解得x=75°．∴90°?75°=15°，180°?75°=105°，即這個角的余角的度數(shù)為15°，補角的度數(shù)為105°，故答案為：15°，105°．25．（2024七年級上·云南·專題練習）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請寫出下列正確結論的序號．

①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．【答案】①②③【分析】本題主要考查角平分線、垂直、鄰補角的定義以及角的和差，熟知鄰補角的定義及角平分線的定義是解題的關鍵．根據(jù)圖形的特點及角平分線的概念依次求出各角度即可解答．【詳解】解：∵∠AOC=50°，∴∠BOC=180°?∠AOC=130°，故①正確；∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=1∴∠BOD=180°?∠AOD=155°，故③正確；∵∠BOE=90°，∠AOC=50°，∴∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=40°，故④錯誤．綜上，正確的是①②③，故答案為：①②③．26．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．給出下面四個結論：①∠AOE與∠BOC互余：②∠BOE與∠EOD互補；③∠AOD+∠BOE=∠BOD+180°；④∠AOC?∠BOC=2∠EOD．上述結論中，正確結論的序號有．【答案】①②④【分析】本題主要考查角平分線的性質、余角、補角和角度的和差關系，根據(jù)角平分線得∠BOC=∠COD和∠AOE=∠EOD，利用平角即可判定①，結合余角和補角得定義即可判斷②，利用角平分線的性質和平角即可判斷③，利用角度和差關系即可判斷④．【詳解】解：∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD∴∠BOC=∠COD，∠AOE=∠EOD，∵A，O，B三點在同一直線上，2∠BOC+2∠AOE=2∠BOC+∠AOE∴∠BOC+∠AOE=90°，即∠BOC與∠AOE互余，故①正確；∵A，O，B三點在同一直線上，∴∠BOE+∠AOE=180°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD，∴∠BOE+∠EOD=180°，即∠BOE與∠EOD互補，故②正確；∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠BOD+∠EOD=∠EOD+180°，則∠AOD+∠BOE=∠EOD+180°，不能得到∠EOD=∠BOD即∠AOD+∠BOE=∠BOD+180°，故③錯誤；∵∠BOC=∠COD，∠AOE=∠EOD，∴∠AOC?∠BOC=∠AOD+∠DOC?∠BOC=∠AOD=2∠EOD，故④正確；故答案為：①②④．27．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖①，把直角三角形MON的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．(1)若∠MOC=28°，求∠BON的度數(shù)；(2)若∠MOC=m°，則∠BON的度數(shù)為______；（用含m的代數(shù)式表示）(3)由（1）和（2）可得，∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關系是______；(4)若將直角三角形MON繞點O旋轉到如圖②所示的位置，其他條件不變，請問：∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)56°(2)2m°(3)∠BON=2∠MOC(4)不發(fā)生變化，見解析【分析】本題考查與角平分線有關的計算，根據(jù)圖形直觀得出各個角之間的關系是解決問題的關鍵，等量代換起到非常重要的作用．（1）根據(jù)角平分線和互為余角的意義，可求出∠NOC,∠AOC，再根據(jù)互為補角求出∠BON即可；（2）由（1）的計算過程，將∠MOC=m°進行計算即可得出答案；（3）根據(jù)（1）（2）的解題過程得出∠BON=2∠MOC；（4）根據(jù)角平分線和互為余角的意義可得∠AOC=∠NOC=90°?∠MOC，再根據(jù)互為補角的意義得到∠BON=180°?2∠NOC=180°?290°?∠MOC【詳解】（1）解：如圖1，∵∠MOC=28°,∠MON=90°，∴∠NOC=90°?28°=62°，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠NOC=124°，∴∠BON=180°?∠AON=180°?124°=56°．（2）解：如圖1，∵∠MOC=m°,∠MON=90°，∴∠NOC=∠MON?∠MOC=90°?m°=(90?m)°，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠NOC=2(90?m)°，∴∠BON=180°?∠AON=180°?2(90?m)°=2m°．（3）解：由（1）和（2）可得：∠BON=2∠MOC；理由：∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠NOC=2(∠MON?∠MOC)=290°?∠MOC∵∠NOC=∠MON?∠MOC，∴∠BON=180°?∠AON=180°?290°?∠MOC（4）解：∠MOC和∠BON之間的數(shù)量關系不發(fā)生變化，如圖2，∵OC平分∠AON，∴∠AOC=∠NOC，∵∠MON=90°，∴∠AOC=∠NOC=90°?∠MOC，∴∠BON=180°?2∠NOC=180°?290°?∠MOC即∠BON=2∠MOC，∴∠MOC和∠BON之間的數(shù)量關系不發(fā)生變化，28．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）探究與實踐將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知∠AOB=90°，∠COD=60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）保持三角板AOB不動，將三角板COD繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD=__________；②∠BOC?∠AOD=__________．【問題探究】（2）若三角板COD按每分鐘6°的速度繞點O逆時針方向旋轉，三角板AOB按每分鐘4°的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算∠MOC?∠AOD（用含t的代數(shù)式表示）．【問題解決】（3）保持三角板AOB不動，將三角板COD繞點O逆時針方向旋轉n°(n≤360)，若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【答案】（1）①150°；②30°；（2）∠MOC?∠AOD=(8t?60)°；（3）∠EOF=15°或165°【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態(tài)定義的理解；（1）①將∠AOC+∠BOD轉化為∠COD+∠AOB即可得；②依據(jù)∠BOC=∠AOB?∠AOC、∠AOD=∠COD?∠AOC，將原式轉化為∠AOB?∠COD計算可得；（2）設運動時間為t秒，0<t≤30,∠MOC=(6t)°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD與OA相遇時，t=30，再畫出圖形求解即可；（3）設△DOC繞點O逆時針旋轉n°，再分①①0<n°≤180°時，如圖；②180°<n°≤360°時，如圖，分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）①∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB=∠COD+∠AOB=60°+90°=150°，②∠BOC?∠AOD=(∠AOB?∠AOC)?(∠COD?∠AOC)=∠AOB?∠AOC?∠COD+∠AOC=∠AOB?∠COD=90°?60°=30°；（2）設旋轉時間為t秒，則0<t≤30，∠MOC=(6t)°，當OD與OA相遇時，6t?4t=60，解得：t=30，如圖，∠AOD=(60+4t?6t)°=(60?2t)°，∴∠MOC?∠AOD=(8t?60)°；（3）設△OCD繞點O逆時針旋轉n°，①0<n°≤180°時，如圖，∵∠AOB=90°,∠MOD=60°?n°，∴∠BOD=∠AOB+∠MOD=150?n∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∴∠BOE=(90?1∴∠EOF=∠BOE?∠BOF=15°；②180°<n°≤360°時，如圖，∵∠AOB=90°,∠MOD=n°?60°，∴∠BOD=∠MOD?∠AOB=n?150∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=∠DOF=1∵∠MOC=360°?n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∠COE=1∴∠EOF=360°?∠BOE?∠BOF=360°?90°?180°?綜上，∠EOF=15°或165°．29．（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，若∠COB=3∠AOD，OE為∠AOD的角平分線，則∠COE的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°【答案】D【分析】本題考查了三角板中的角度計算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．設∠AOD=x，則∠COB=3x，得到∠BOC=180°?x，則180°?x=3x，解得x=45°，則∠DOE=12∠AOD=22.5°【詳解】解：設∠AOD=x，則∠COB=3x，由題意可知，∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOC=∠AOB+∠COD?AOD=90°+90°?x=180°?x，∴180°?x=3x解得，x=45°，∴∠AOD=45°，∵OE為∠AOD的角平分線，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD?∠DOE=67.5°故選：D．30．（23-24七年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，射線OC,OD都在∠AOB的內部，∠AOC和∠BOD都是直角，下列說法：①∠AOD=∠BOC；②∠DOC+∠AOB=180°；③若∠AOB=5∠DOC，則∠COD=30°；④若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠MON=45°．其中結論正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，與角平分線有關的計算，找準角度之間的和差關系，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵∠AOC和∠BOD都是直角，∴∠AOD+∠COD=∠BOC+∠COD=90°，∴∠AOD=∠BOC，故①正確；∵∠AOC=90°,∠BOC=90°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD=∠DOC+∠AOB=180°，故②正確；若∠AOB=5∠DOC，則：∠DOC+5∠DOC=180°，∴∠COD=30°，故③正確；若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

則：∠BOM=12∠AOB=∴∠MON=∠BOM?∠BON=45°；故④正確；故選：D．31．（22-23七年級下·安徽淮南·開學考試）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，∠D=30°、∠BAC=45°，將三角板DBE繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且0°<∠CBE<90°，則下列結論中正確的是（）①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②∠DBC+∠ABE的角度不恒為105°；③在旋轉過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，則∠MBN=52.5°．A．① B．②③ C．③ D．①③【答案】B【分析】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉的性質，關鍵根據(jù)題意正確進行角的和差計算．①②計算旋轉角度大于45°時，∠DBC+∠ABE的大小與105°比較便可得結論；③分類討論，利用角的和差與角的平分線得∠MBN=∠DBC?1【詳解】解：①設旋轉角度為x，當x>45°時，∠DBC+∠ABE=(x+60)°+(x?45)°=(2x+15)°>105°，于是此小題結論錯誤，②正確；③當0°<∠CBE<45°時，設∠DBM=x，∵BM平分∠DBA，∴∠ABM=∠DBM=x，∴∠ABE=60°?2x，∠EBC=45°?(60°?2x)=2x?15°，∴∠EBN=x?7.5°，∠MBN=x+60°?2x+x?7.5°=52.5°，當45°<∠CBE<90°時，設∠DBM=x，∵BM平分∠DBA，∴∠ABM=∠DBM=x，∴∠ABE=60°?2x，∴∠EBC=2x?15°，∠MBE=60°?x，∴∠EBN=∠CBN=x?7.5°，∴∠MBN=60°?x+x?7.5°=52.5°，故③正確，故選：B．32．（24-25七年級上·全國·期末）已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射線OD平分∠BOC，則【答案】20°或40°【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得∠BOC的度數(shù)是關鍵，因考慮不周，容易漏掉一種情況的解．分兩種情況(OC在∠AOB內或外），分別首先求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠COD的度數(shù)．【詳解】解：當OC在∠AOB內時，如圖1，則∠BOC=∠AOB?∠AOC=60°?1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1當OC在∠AOB外時，如圖2，則∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1綜上，∠COD=20°或40°．故答案為：20°或40°．33．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，∠AOB=90°，OC是其內部一條射線，以OC為一邊作直角∠COD，點D與點A在邊OC同側，給出下列四個結論：①∠AOC只與∠BOC互余；②∠AOC與∠BOD互補；③OC平分∠AOB，則OA平分∠COD；④∠AOD的平分線與∠BOC的平分線的夾角是直角．其中正確的是（填序號）．【答案】②③④【分析】本題考查幾何圖形中角的數(shù)量關系，根據(jù)互余的概念即可判斷①；根據(jù)互補的概念即可判斷②；說明∠AOD=∠AOC，即可判斷③；說明∠AOE+∠AOC+∠COF=90°即可判斷④．解題的關鍵是掌握互余、互補、角平分線的定義．【詳解】解：①∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∴∠AOC分別與∠BOC、∠AOD互余，故結論①錯誤；②∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠AOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB=∠AOC+∠AOD+∠AOB=90°+90°=180°，∴∠AOC與∠BOD互補，故結論②正確；③∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC=1∴∠AOD=∠COD?∠AOC=90°?45°=45°，∴∠AOD=∠AOC，∴OA平分∠COD，故結論③正確；④如圖，OE為∠AOD的平分線，OF為∠BOC的平分線，∴∠AOE=12∠AOD∴∠AOE+∠AOC+∠COF=====90°，∴∠AOD的平分線與∠BOC的平分線的夾角是直角，故結論④正確；∴正確的是②③④．故答案為：②③④．34．（2024七年級上·甘肅蘭州·專題練習）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內部一條射線，過點O作射線OA，在平面內沿箭頭方向轉動，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數(shù)為．【答案】15°或105°【分析】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，由OC是∠BOD的平分線得∠COD=∠COB=12∠BOD=60°，進而求得∠BOE=∠COB?∠COE=30°，結合∠AOB:∠BOE=3:2得∠AOB=32∠BOE=45°，再分兩種情況：當OA在【詳解】解：∵∠BOD=120°，OC是∠BOD的平分線，∴∠COD=∠COB=1又∵∠COE=30°，∴∠BOE=∠COB?∠COE=30°，而∠AOB:∠BOE=3:2，∴∠AOB=3如圖，當OA在AB下方時，此時，∠AOC=∠COB+∠AOB=60°+45°=105°；如圖，當OA在AB上方時，此時，∠AOC=∠COB?∠AOB=60°?45°=15°；即∠AOC=15°或105°．故答案為：15°或105°．35．（24-25七年級上·全國·期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于(1)【知識運用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針轉動，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針轉動，當射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．②當t的值為多少時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？【答案】(1)40°,(2)①當t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②當t=907,【分析】本題主要考查了角平分線的頂用、角的計算、一元一次方程的應用等知識點，靈活利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．（1）根據(jù)伴隨線定義求解即可；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后兩種情況分別列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后，分別畫出四個圖形進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，∵射線是射線的伴隨線，∴∠AOC=1∴∠AOC=1∴同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，∴∠BON=1∵射線OC是∠AOB的平分線，∴∠BOC=1∴∠NOC=∠BOC?∠BON=1故答案為：40°,π（2）解：射線OD與OA重合時，t=180①當∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則180?5t?3t=20，解得：t=20；若在相遇之后，則5t+3t?180=20，解得：t=25．綜上所述，當t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：a．如圖1，當OC是OA的伴隨線時，則∠AOC=12∠COD，即3t=b．如圖2，當OC是OD的伴隨線時，則∠COD=12∠AOC，即180?5t?3t=相遇之后：c．如圖3，當OD是OC的伴隨線時，則∠COD=12∠AOD，即5t+3t?180=d．如圖4，當OD是OA的伴隨線時，則∠AOD=12∠COD，即180?5t=綜上所述，當t=907,36．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期中）如圖1，大課間的廣播操展示讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數(shù)學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做的更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖2，為方便研究，定義兩手手心位置分別為A、B兩點，兩腳腳跟位置分別為C、D兩點，定義A、B、C、D平面內O為定點，將手腳運動看作繞點O進行旋轉．(1)如圖2，A、O、B三點共線，點C、D重合，∠AOC=∠BOC，則∠AOC=°；(2)如圖3，A、O、B三點共線，且∠AOC:∠BOC=3:2，DO平分∠BOC，求∠AOD的大?。?3)第三節(jié)腿部運動中，如圖4，洋洋發(fā)現(xiàn)，雖然A、O、B三點共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=3:2，他經過計算發(fā)現(xiàn)，∠AOC?23∠BOD(4)第四節(jié)體側運動中，如圖5，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開，使豎直方向的射線OE平分∠COD，且∠COD=30°，開始運動前A、O、B三點在同一水平線上，OA、OB繞點O順時針旋轉，OA旋轉速度為每秒50°，OB旋轉速度為每秒25°，當OB旋轉到與OD重合時運動停止（OE是豎直方向的一條射線）①運動停止時，∠AOD=；②請幫助樂樂寫出運動過程中∠AOC與∠BOE的數(shù)量關系為．【答案】(1)90(2)144°(3)60°(4)①105°；②當0≤t≤2.1時，∠AOC+2∠BOE=255°；當2.1<t≤3時，【分析】本題考查了角的和差運算，一元一次方程的應用；（1）由A，O，B三點共線，可得出∠AOC+∠BOD=180°，再由∠AOC=∠BOD，即可求出∠AOC=90（2）由∠AOC:∠BOC=3:2，設∠AOC=3x°,∠BOC=2x°，根據(jù)A、O、B三點共線，則∠AOC+∠BOC=180°，得出x=36，再根據(jù)∠AOD=∠AOC+∠COD=4x，即可求解；（3）由∠AOD:∠BOC=3:2，設∠AOD=3α，則∠BOC=2α，分別求出∠AOC=180°?∠BOC=180°?2α，∠BOD=180°?∠AOD=180°?3α，再代入∠AOC?2（4）①算出運動停止時間，求出OA運動的角度，進而求出∠AOD度數(shù)；②由OA的運動過程可知，需要分類討論，在點C，O，A三點共線前和點C，O，A三點共線后，分別求解即可；【詳解】（1）∵A，O，B三點共線，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=1故答案為：90；（2）解：∵∠AOC:∠BOC=3:2，設∠AOC=3x°,∠BOC=2x°，∵DO平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD=x°，∵A、O、B三點共線，則∠AOC+∠BOC=180°，∴3x+2x=180，解得：x=36，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=4x=144°（3）這個定值是60°，理由，∵∠AOD:∠BOC=3:2，設∠AOD=3α，則∠BOC=2α，∴∠AOC=180°?∠BOC=180°?2α，∠BOD=180°?∠AOD=180°?3α，∴∠AOC?2∴小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個定值是6