專題06有理數(shù)的乘法和除法

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的乘法法則

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇

數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．

倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù).

【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.

知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

（1）乘法交換律：abba；（2）乘法結(jié)合律：(ab)ca(bc)；（3）乘法分配律：a(bc)abac．

知識(shí)點(diǎn)03確定乘積符號(hào)

（1）若a＜0，b＞0，則ab<0；（2）若a＜0，b＜0，則ab>0；（3）若ab＞0，則a、b同號(hào)；

（4）若ab＜0，則a、b異號(hào)；（5）若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)數(shù)為0.

知識(shí)點(diǎn)04有理數(shù)除法法則

◆除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.

【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

【題型1兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算】

例題：（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：

1

32

(1)；

23

25

(2)24；

8

56

(3)27；

3

38

(4)．

47

【答案】(1)1

(2)75

(3)504

6

(4)

7

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．

32

【詳解】（1）解：原式

23

1；

25

（2）解：原式24

8

75；

56

（3）解：原式27

3

504；

38

（4）解：原式

47

6

．

7

【變式訓(xùn)練】

1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)73

(2)32

2

21

(3)8

4

(4)1.50.631.8

【答案】(1)4

(2)6

(3)42

(4)1.08

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算：

（1）根據(jù)加法法則，進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）先算括號(hào)，再根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：73734；

（2）解：32326．

21

（3）解：842；

4

（4）解：原式0.91.21.08．

2．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：

7

(1)12；

4

(2)81.25；

73

(3)；

1014

38

(4)；

169

【答案】(1)21

(2)10

3

(3)

20

1

(4)

6

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

3

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．

7

【詳解】（1）解：原式12

4

21；

（2）解：原式81.25

10；

73

（3）解：原式

1014

3

；

20

38

（4）解：原式

169

1

．

6

3．（2024六年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）計(jì)算

(1)02012；

(2)81.25；

73

(3)()；

1014

38

(4)()()；

169

(5)7.5(8.2)0(19.1)；

145

(6)()；

37

1

(7)(0.12)(100)；

12

3

(8)7(1)．

14

【答案】(1)0；

(2)10；

3

(3)；

20

1

(4)；

6

(5)0；

10

(6)；

3

4

(7)1；

11

(8)

2

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，正確運(yùn)用有理數(shù)的乘法法則，尤其是符號(hào)法則，是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計(jì)算；

（2）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)進(jìn)行計(jì)算；

（3）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)進(jìn)行計(jì)算；

（4）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正進(jìn)行計(jì)算；

（5）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計(jì)算；

（6）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)進(jìn)行計(jì)算；

（7）先利用乘法交換律，再根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正進(jìn)行計(jì)算；

（8）先計(jì)算括號(hào)中的式子，再根據(jù)兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)進(jìn)行計(jì)算．

【詳解】（1）解：020210；

（2）解：81.2581.2510；

73733

（3）解：；

1014101420

38381

（4）解：；

1691696

（5）解：7.58.2019.10；

14514510

（6）解：；

37373

111

（7）解：0.121000.12100121；

121212

3111111

（8）解：7177．

1414142

【題型2多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算】

例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

592

(1)(2)；

4103

5412

(2)(3)11．

6547

3

【答案】(1)

2

5

81

(2)

56

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則．

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．

592

【詳解】（1）解：(2)

4103

592

2

4103

3

；

2

5412

（2）(3)11

6547

5919

(3)

6547

5919

3

6547

81

．

56

【變式訓(xùn)練】

1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)5632；

592

(2)2．

4103

【答案】(1)180

3

(2)

2

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算等，掌握多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)規(guī)律為解題的關(guān)鍵．

（1）先確定積的負(fù)號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）先確定積的負(fù)號(hào)，然后進(jìn)行約分計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：5632

5632

180．

592

（2）解：2

4103

6

592

2

4103

3

．

2

2．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)4512；

1

(2)31；

3

(3)1.2534．

【答案】(1)40

(2)1

(3)72

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查多個(gè)有理數(shù)相乘，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)多個(gè)有理數(shù)乘法法則計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)多個(gè)有理數(shù)乘法法則計(jì)算即可求解；

（3）根據(jù)多個(gè)有理數(shù)相乘法則計(jì)算即可求解；

【詳解】（1）解：4512；

4512

40

1

（2）解：31

3

1

31

3

1

（3）解：1.2534

1.2534

72

3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)100.225；

347

(2)；

7512

37

(3)50325；

3230

666

(4)785．

555

7

【答案】(1)20

1

(2)

5

(3)0

(4)24

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．

（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：100.225

347

（2）解：

7512

37

（3）解：50325

3230

666

（4）解：785

555

【題型3倒數(shù)】

1

例題：（2025·江蘇南京·二模）的倒數(shù)是．

3

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題主要考查倒數(shù)，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積為1，這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可．

1

【詳解】解：∵31，

3

1

∴的倒數(shù)是3，

3

故答案為：3．

【變式訓(xùn)練】

4

1．（24-25六年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）2的倒數(shù)是．

7

7

【答案】

18

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是知道乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)

8

數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)．根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可．

4187

【詳解】解：2的倒數(shù)是，

7718

7

故答案為：．

18

1

2．（24-25六年級(jí)上·上海閔行·階段練習(xí)）2的倒數(shù)是．

2

2

【答案】/0.4

5

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，掌握“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”是解題關(guān)鍵．將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再

求倒數(shù)即可．

15

【詳解】解：2，

22

52

的倒數(shù)是，

25

12

即2的倒數(shù)是，

25

2

故答案為：．

5

3

3．（24-25七年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）的相反數(shù)是，5的倒數(shù)為．

2

31

【答案】

25

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)、相反數(shù)的定義

【分析】本題屬于較為基礎(chǔ)的相反數(shù)與倒數(shù)的概念填空題，主要考查了相反數(shù)與倒數(shù)的判斷，考生做此類

題時(shí)一定要認(rèn)真，細(xì)心，抓住細(xì)節(jié)，防止出錯(cuò)．

根據(jù)題意，相反數(shù)為相加為0的兩個(gè)數(shù)，倒數(shù)為乘積為1的兩個(gè)數(shù)．據(jù)此即可求解．

331

【詳解】解：的相反數(shù)是，5的倒數(shù)為；

225

31

故答案為：，．

25

【題型4有理數(shù)乘法運(yùn)算律】

375

例題：（24-25七年級(jí)上·吉林四平·期末）計(jì)算：24

4128

【答案】47

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法分配律，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．

9

利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可．

375

【詳解】24

4128

375

242424

4128

181415

47．

【變式訓(xùn)練】

753

1．（24-25九年級(jí)下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）計(jì)算：136．

964

【答案】11

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可．

753

【詳解】解：136

964

7113

363636

964

286627

11．

2．（24-25七年級(jí)上·廣東河源·期中）下面是樂樂同學(xué)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．

213

解：12

364

213

121212第一步

364

829第二步

109第三步

19．第四步

任務(wù)：

(1)填空：

①以上運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是；

②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是．

(2)請(qǐng)直接寫出正確的計(jì)算結(jié)果．

【答案】(1)①乘法分配律；②二，計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤

(2)15

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律簡(jiǎn)便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．

10

（1）①利用乘法分配律可得答案；②根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則判斷即可；

（2）根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的乘法和加減運(yùn)算法則求解即可．

【詳解】（1）解：①在所給運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；

②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤，

故答案為：①乘法分配律；②二，計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤；

213

（2）解：12

364

213

121212

364

829

69

15．

3．（24-25七年級(jí)上·廣東江門·期中）計(jì)算：能用簡(jiǎn)算的用簡(jiǎn)算

155115

(1)12；

277227

23

(2)9918．

24

5

【答案】(1)

2

1

(2)1799

4

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查乘法分配律，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

（1）利用乘法分分配律的逆運(yùn)算進(jìn)先計(jì)算解答即可；

1

（2）把原式化為10018，然后運(yùn)用乘法分配律解題即可．

24

155115

【詳解】（1）解：12

277227

151515

12

272727

1115

12

2227

75

27

5

；

2

23

（2）解：9918

24

11

1

10018

24

1

1001818

24

3

1800

4

1

1799．

4

【題型5有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】

例題：（24-25七年級(jí)上·廣東梅州·期中）某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)點(diǎn)在東西方向運(yùn)營(yíng)，向東走為

正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：9，3，5，4，8，6，3，6，4，10．

(1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在鼓樓的什么方向？

(2)若每千米的價(jià)格為2元，司機(jī)一個(gè)下午的營(yíng)業(yè)額是多少？

【答案】(1)離鼓樓出發(fā)點(diǎn)0米，出租車在鼓樓

(2)116元

【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值的應(yīng)用，有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”

的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量，比較簡(jiǎn)單．

（1）把記錄的數(shù)字加起來，看結(jié)果是正還是負(fù)，就可確定是向東還是西；

（2）求出記錄數(shù)字的絕對(duì)值的和，再乘以2即可．

【詳解】（1）解：935486364100，

故出租車離鼓樓出發(fā)點(diǎn)0米，出租車在鼓樓；

（2）解：935486364102582116元，

故司機(jī)一個(gè)下午的營(yíng)業(yè)額是116元．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)上·福建漳州·期中）海洋科考隊(duì)于某天早晨乘船從海島M出發(fā)，在南北走向的海岸線上

進(jìn)行科考活動(dòng)．規(guī)定向北行進(jìn)為正，向南行進(jìn)為負(fù)．從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動(dòng)時(shí)，他們的行進(jìn)里程（單

位：海里）記錄如下：50,120,60,150,80,140,130,120．

(1)結(jié)束當(dāng)天的科考活動(dòng)時(shí)，科考隊(duì)是在海島M的北邊還是南邊？距離海島M有多遠(yuǎn)？

(2)從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動(dòng)，科考隊(duì)的船只總共行駛了多少海里？

(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個(gè)科考活動(dòng)過程中，船只共耗油多少升？

【答案】(1)科考隊(duì)是在海島M的北邊，距離海島M有190海里；

(2)科考隊(duì)的船只總共行駛了850海里；

(3)船只共耗油3400升．

12

【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、絕對(duì)值的幾何意義、有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法和乘法，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)

鍵．

（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算，再由結(jié)果即可得出答案；

（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可；

（3）根據(jù)單位耗油量乘以行駛里程即可求解．

【詳解】（1）解：501206015080140130120190（海里），

∴科考隊(duì)是在海島M的北邊，距離海島M有190海里；

（2）解：由題意可得：

501206015080140130120850（海里），

∴科考隊(duì)的船只總共行駛了850海里；

（3）解：48503400（升），

∴船只共耗油3400升．

2．（24-25七年級(jí)上·湖南永州·期中）道州臍橙“橙紅鮮美、香甜多汁”，因出產(chǎn)于永州市道縣而得名．現(xiàn)有

20筐道州臍橙，以每筐25千克的質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）321.5012.5

筐數(shù)142328

(1)這20筐道州臍橙中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？

(2)若道州臍橙每千克售價(jià)6元，則這20筐道州臍橙可賣多少元？

【答案】(1)最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克

(2)這20筐道州臍橙可賣2032元

【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用

【分析】本題考查有理數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分別列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算的

順序計(jì)算即可．

（1）利用超出最多的重量減去不足最多的重量，即可解題；

（2）用總質(zhì)量成單價(jià)即可．

【詳解】（1）解：由題知，2.535.5（千克），

答：最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克；

（2）解：由題知，

總質(zhì)量為202534221.5032182.5

5008

508（千克），

50842032（元），

13

答：這20筐道州臍橙可賣2032元．

3．（24-25六年級(jí)上·上?！て谥校┩赓u送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣小哥一

周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單（送一次外賣為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，

下表是該外賣小哥一周的送餐量：

星期一二三四五六日

送餐量/單536129814

(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單．

(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的

部分，每單補(bǔ)貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補(bǔ)貼6元：超過50單的部分，每單補(bǔ)貼8元．求

外賣小哥這一周工資收入多少元．

【答案】(1)45

(2)1574元

【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用

536129814

【分析】（1）根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：4045，解答

7

即可．

（2）先計(jì)算正常產(chǎn)量的工資，加上超產(chǎn)的獎(jiǎng)勵(lì)工資即可．

本題考查的是正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，平均數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的加法與乘法的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確的列

代數(shù)式計(jì)算計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．

536129814

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：4045（單）．

7

答：外賣小哥這一周平均每天送餐45單．

（2）解：∵外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超

過40單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補(bǔ)貼6元：超過50單的部分，每

單補(bǔ)貼8元．

∴本周工資為：

30735440436344

40410628404964048640410648

210140178136236214208252

1574（元）．

答：外賣小哥這一周工資收入1574元．

【題型6有理數(shù)的除法運(yùn)算】

例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

14

(1)6012；

1

(2)36；

3

(3)0.750.25；

1

(4)6．

6

【答案】(1)5

(2)108

(3)3

(4)36

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法計(jì)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；

（2）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即可解答；

（3）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；

（4）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即可解答；

【詳解】（1）解：原式6012

5；

（2）解：原式363

108；

（3）解：原式0.750.25

3；

（4）解：原式66

36．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：

(1)0(2)；

(2)(315)(7)；

33

(3)11；

5

(4)(0.75)(0.25)．

【答案】(1)0

(2)45

3

(3)-

5

15

(4)3

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的除法運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則，先確定結(jié)果符號(hào)，再計(jì)算數(shù)值．

【詳解】（1）解：0(2)0；

（2）解：(315)(7)(3157)45；

333313

（3）解：11；

55115

（4）解：(0.75)(0.25)(0.750.25)3．

2．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：

(1)123

11

(2)21

36

1

(3)011

12

1

(4)12100

12

【答案】(1)4

(2)2

(3)0

(4)1.44

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．

本題主要考查了有理數(shù)除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．

【詳解】（1）解：1231234．

1176

（2）解：212．

3637

1

（3）解：0110．

12

1

（4）解：12100

12

1212100

144100

16

1.44．

3．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：

2

(1)5(1)；

3

33

(2)3()()；

44

331

(3)()()(1)；

476

3

(4)9(0.1)(3)．

5

【答案】(1)3

16

(2)

3

3

(3)

2

(4)25

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

（1）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

（2）直接進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

（3）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

（4）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可．

2

【詳解】（1）解：5(1)

3

5

5

3

3

5

5

3；

33

（2）解：3()()

44

44

3

33

16

；

3

331

（3）解：()()(1)

476

377

436

17

376

437

3

；

2

3

（4）解：9(0.1)(3)

5

118

9

105

5

910

18

25．

【題型7有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算】

例題：（24-25六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）計(jì)算：

338

(1)；

10511

555

(2)6；

123618

819

(3)23；

172317

111

(4)24．

3412

4

【答案】(1)

11

(2)3

1

(3)

23

(4)12

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，乘法分配律，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．

（1）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法，加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（3）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法分配律的逆運(yùn)算計(jì)算即可；

（4）運(yùn)用乘法分配律計(jì)算即可．

338

【詳解】（1）解：

10511

358

10311

4

；

11

18

555

（2）解：6

123618

5518

6

12365

51

22

3；

819

（3）解：23

172317

8119

17232317

891

171723

1

1

23

1

；

23

111

（4）解：24

3412

111

242424

3412

862

12．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江·期中）計(jì)算：

385

(1)；

598

7135

(2)；

9236

514

(3)28；

1425

315

(4)12．

426

64

【答案】(1)；

75

8

(2)；

5

1

(3)10；

5

(4)13．

19

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)的除法運(yùn)算、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】（1）利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則即可求解；

（2）利用有理數(shù)的除法法則即可求解；

（3）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；

（4）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；

本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．

388

【詳解】（1）解：原式

595

64

；

75

736

（2）解：原式2

935

8

；

5

5145

（3）解：原式28

142514

1

10

5

1

10；

5

315

（4）解：原式121212

426

9610

13．

2．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

311

(1)313；

524

241

(2)5127；

754

1

(3)6.525．

3

14

【答案】(1)

25

(2)1

39

(3)

5

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．

20

（1）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（3）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．

311

【詳解】（1）解：313

524

3741

5253

14

．

25

241

（2）解：5127

754

7491

5

9547

4791

5

5947

1．

1

（3）解：6.525

3

1

133

5

39

．

5

3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算．

851

(1)；

389

14

(2)8128．

49

【答案】(1)15

(2)2

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法法則．

（1）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計(jì)算即可．

（2）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計(jì)算即可．

851

【詳解】（1）解：

389

85

9

38

21

85

9

38

15

14

（2）解：8128

49

941

81

498

441

81

998

2

【題型8有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算之新定義型問題】

1b

例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）中考新趨勢(shì)?新定義若規(guī)定：ab，例如：

a2

131

2△3，試求(27)4的值．

223

7

【答案】

2

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算和新定義運(yùn)算，理解題意，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題中給出的信息，利用已知的新定義運(yùn)算法則和有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可．

1b

【詳解】解：∵ab，

a2

171

∴2△7()，

227

1147

(2△7)△4()△4()

∴1．

722

7

【變式訓(xùn)練】

1b

1．（24-25七年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于有理數(shù)a，b（a，b都不為0），a※b()．例

a2

1312

如：4※3()．求(※9)※2的值．

4263

【答案】3．

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算，有理數(shù)的除法運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題

2

的關(guān)鍵．先根據(jù)定義計(jì)算括號(hào)內(nèi)的※9，再根據(jù)定義進(jìn)行下一步的計(jì)算，從而可得答案．

3

22

1b

【詳解】解：∵a※b()，

a2

2

∴(※9)※2

3

39

()※2

22

1

※2

3

2

3()

2

3．

2．（24-25七年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）“”表示一種新的運(yùn)算，它是這樣定義的：ab2a3b．例

如：1221324

(1)求34的值；

(2)求543的值．

【答案】(1)6

(2)7

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】此題考查了有理數(shù)的加法和乘法混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．

（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；

（2）利用題中的新定義先計(jì)算43，進(jìn)一步計(jì)算即可求出值．

【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：

34

2334

612

6；

（2）解：根據(jù)題中的新定義得：

543

52433

589

51

2531

103

7．

23

3．（24-25七年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個(gè)數(shù)之間的新運(yùn)算“”，

abcabc

abc，

2

123123

例如1235．

2

(1)計(jì)算：428；

11

(2)計(jì)算：37；

3

523

(3)計(jì)算：．

234

【答案】(1)10

(2)3

5

(3)

2

【知識(shí)點(diǎn)】帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問題、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，將新定義的運(yùn)用化成有理數(shù)的運(yùn)算成為解

題的關(guān)鍵．

（1）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對(duì)值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對(duì)值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（3）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對(duì)值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．

428428614614

【詳解】（1）解：42810．

222

1111191191

3737

（2）解：11333333．

373

3222

312352331293129

（3）解：5231234234121212125．

2342222

【題型9有理數(shù)的除法中絕對(duì)值之分類討論問題】

例題：（24-25七年級(jí)上·浙江金華·期中）分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡(jiǎn)a時(shí)，可以這樣分類：

當(dāng)a0時(shí)，aa；當(dāng)a=0時(shí)，a0；當(dāng)a0時(shí)，aa．用這種方法解決下列問題：

a

(1)當(dāng)a5時(shí)，求的值．

a

a

(2)當(dāng)a0時(shí)，求的值．

a

24

ab

(3)已知a,b是有理數(shù)，當(dāng)ab0時(shí)，試求的值．

ab

【答案】(1)1

(2)1

(3)2或2

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、絕對(duì)值的幾何意義

【分析】本題主要考查絕對(duì)值的意義及有理數(shù)的除法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算及絕對(duì)值的意義是

解題的關(guān)鍵；

（1）把a(bǔ)5直接代入進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義及有理數(shù)的除法運(yùn)算可進(jìn)行求解；

（3）由題意可分當(dāng)a0,b0和a0,b0進(jìn)行分類求解即可．

a55

【詳解】（1）解：把a(bǔ)5代入得：1；

a55

（2）解：∵a0，

aa

∴1；

aa

（3）解：由ab0可分：

abab

當(dāng)a0,b0時(shí)，則有112；

abab

abab

當(dāng)a0,b0時(shí)，則有112；

abab

ab

綜上所述，的值為2或2．

ab

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．

(1)ac______0；（填“”或“”）

abc

(2)化簡(jiǎn)：．

abc

【答案】(1)

(2)1

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、有理數(shù)的減法運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問題、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的

大小

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，有理數(shù)的比較大小，有理數(shù)的除法運(yùn)算．

（1）根據(jù)數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大，有理數(shù)的減法法則判斷即可；

（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)即可．

25

【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸得：ba0c，bac，

∴ac0；

（2）解：∵ba0c，

abcabc

∴1111；

abcabc

xx0

2．（24-25七年級(jí)上·山東聊城·期中）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道x0x0，所以當(dāng)x0

xx0

xxxx

時(shí)，1；當(dāng)x0時(shí)，1，現(xiàn)在我們可以用這個(gè)結(jié)論來解決下面問題：

xxxx

ab

(1)已