專題02有理數(shù)的運(yùn)算

（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練7題+拓展突破練8題+中考真題練8題）

知識(shí)清單

一、有理數(shù)的加法

（1）有理數(shù)加法法則：

①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．

②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)

的兩個(gè)數(shù)相加得0．

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．

（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法

則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．）

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

（1）加法交換律：a+b=b+a；

（2）加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

二、有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a-b=a+（-b）

方法指引：

①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減

數(shù)變相反數(shù)）；

【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．

（2）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．

方法指引：

①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的

形式．

②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．

三、有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法法則

法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；

1

法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；

法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.

2.倒數(shù)

1

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和

a

111

互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)．

aaa

3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

（1）乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等．即ab=ba；

（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即(ab)c=a(bc)；

（3）乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即

a(b+c)=ab+ac．

四、有理數(shù)的除法法則

（1）除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．

5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

（1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果；

（2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行．

五、有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．

2.乘方的性質(zhì)

（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)；

（2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0．

3.有理數(shù)的混合運(yùn)算

做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：

（1）先乘方，再乘除，最后加減；

（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

（3）如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行．

4.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a10n的形式（其中1a10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法．

2

1．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期中）今年的“十一”假期，預(yù)計(jì)全社會(huì)跨區(qū)域人員流動(dòng)量約19.4億人次，將

19.4億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．B．C．D．

81098

2．（241-.9245×七1年0級(jí)上·廣東清0.1遠(yuǎn)94·期×中10）按照有理數(shù)1加.9法4×則1，0計(jì)算19.4的×正10確過程是（）

A．B．C．?8D+．+7

3．（24+-258七?年7級(jí)上·河北保+定8·+期7中）如圖，點(diǎn)和?點(diǎn)8?表7示的數(shù)分別為?和8．+下7列式子中，錯(cuò)誤的是（）

????

A．B．C．D．

22

4．（24?-2<5七1年級(jí)上·江蘇無?+錫?·期<中0）定義一種新?的?運(yùn)<算?：1，如??<0，則

?2

的值是（）???=??4?2=?4=16?1?2

A．B．2C．D．1

5．（24?-25七年級(jí)上·浙江杭州·期中）下列運(yùn)算正?確1的是（）

A．B．C．D．

3233

6．（24?-225七=年8級(jí)上·全國·?期3中）=?下9列各式中，計(jì)2算結(jié)=果6為負(fù)數(shù)的是（）?3=?9

A．B．

C．?3×4÷(?5)D．4÷?5×3

2

7．（23?-244七÷年3×級(jí)0上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知(?4，)÷(?5)，×且(?3)，則的值為（）

A．2B．C．?=2?=4?D?．?或=????÷?

1111

8．（24-25七年級(jí)上·浙江·?期2中）一條數(shù)軸上有兩2點(diǎn)與，已知點(diǎn)到原?點(diǎn)2的距2離為3個(gè)單位，點(diǎn)在點(diǎn)

的右側(cè)且到點(diǎn)的距離為5個(gè)單位，則點(diǎn)所表示的數(shù)?可?能是（）????

A．8?B．2?C．或2D．8或2

9．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）今年暑假，臺(tái)風(fēng)?“利8奇馬”帶來的狂風(fēng)暴雨，導(dǎo)致浙江、江蘇多地水產(chǎn)養(yǎng)殖

損失慘重！其中寧波市水產(chǎn)養(yǎng)殖，受災(zāi)面積達(dá)10.9萬畝，漁業(yè)直接經(jīng)濟(jì)損失4.1億元．其中近似數(shù)4.1億元

精確到位．

10．（24-25七年級(jí)上·湖北黃石·期中）近似數(shù)精確到位．

3

11．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）若與6.01×1互0為相反數(shù)，則的值是．

2?

12．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）?下+面2計(jì)算?程?序3中輸入的數(shù)值為?．

13．（24-25七年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，小天有5張寫著不同數(shù)的卡片，從中抽出2張卡片，使

卡片上的數(shù)相除，所得到的商最小，最小的商是．

3

14．（24-25六年級(jí)上·山東泰安·期中）去掉絕對(duì)值符號(hào)．

1111

計(jì)算．得9?8=8?9

1111111

15．（2?241-25+七3年?級(jí)2上+·湖4?南3永+州??·?期+中20）24計(jì)?算202題3：

(1)；

17331

(2)2?15+4?5÷?60；

49441

?3÷4×9+?2×2?1

(3)．

3

4332

16．?（22?4-215?七0年.5級(jí)×上·廣?2西南×寧·?期4中?）閱?2讀下面的解題過程：

13

?10÷??3×6

解：原式32（第一步）

7

=?10÷（?第6?二3步×）6

25

=?10÷?6（×第6三步）

=?（10第÷四步?2）5

2

=回?答5：

(1)解題過程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第______步，錯(cuò)誤原因是______；第二處是第______步，錯(cuò)誤的原因

是______．

(2)請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．

17．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）定義新運(yùn)算“”與“”：，計(jì)算

?+????

的值．⊕??⊕?=2,???=23⊕?22?

|18?．2（?24-?251七|年級(jí)上·福建福州·期中）有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各問

題：

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是_______；

(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是______；

(3)從中取出4張卡片，使這4個(gè)數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24，如：_________________________．

19．（24-25七年級(jí)上·河北保定·期中）嘉琪家的獼猴桃成熟了．嘉琪的爸爸將自家獼猴桃掛在網(wǎng)上銷售，

原計(jì)劃是每天賣，但是實(shí)際銷售受到各方面因素的影響，與原計(jì)劃有出入．下表是嘉琪記錄的某周銷

售情況（超出計(jì)劃20記0k為g正，不足記為負(fù)）．

星期一二三四五六日

與原計(jì)劃的差值/kg

+8+7?4?6+1+3?3

4

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，這周獼猴桃一共賣了多少？

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，這周獼猴桃銷售最多的一天kg比銷售最少的一天多銷售了多少？

(3)若嘉琪家的獼猴桃以5元的價(jià)格出售，嘉琪的爸爸通過計(jì)算，得出獼猴桃的k成g本為2元，則這一

周嘉琪家賣出的獼猴桃能賺多/k少g元？/kg

20．（24-25七年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，將一根木棒（陰影部分）放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上

的點(diǎn)重合，右端與點(diǎn)重合．

??

(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，它的右端在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為8；若將木棒

沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，它的左?端在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，由此可得到圖中點(diǎn)

表示的數(shù)是___________，點(diǎn)表示的數(shù)是____?_______；?

(2)體會(huì)（1）的探究過程，借?助數(shù)軸這個(gè)工具，解決下面的問題：一天，瀚瀚問媽媽，爺爺?shù)哪挲g是多少，

媽媽說：“爺爺若是你現(xiàn)在這么大，你還要45年才出生；你若到了爺爺現(xiàn)在的年齡，爺爺就是120歲的老

壽星了，哈哈！”求瀚瀚現(xiàn)在的年齡．

21．（24-25七年級(jí)上·河北保定·期中）若，，且為負(fù)有理數(shù)，則（）

?

A．B．3??C1．=2或3?+1=5D．?或3?+?=

1

22．（2?4-325六年級(jí)上·山東淄博·期中）若“!”是一種?3運(yùn)算符號(hào)，并且3，，，...

則的值為（）1!=12!=2×13!=3×2×1

2024!

202A3．!2023B．2024C．1D．

2024

23．（24-25七年級(jí)上·四川眉山·期中）已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如20圖23所示，滿足，則

下列各式：①；②；③；④若b比a小2?，<則?<?，

????

其中正確的個(gè)數(shù)?有?>（??>）?個(gè)?．?????=0?+?=????+?=2

A．4B．3C．2D．1

24．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）代數(shù)式的最小值為．

25．（24-25七年級(jí)上·安徽阜陽·期中）進(jìn)位?制?是1人+們?為?了4記+數(shù)|?和+運(yùn)5|算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定逢十進(jìn)

一就是十進(jìn)制，逢二進(jìn)一就是二進(jìn)制．也就是說“逢幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾．如將二進(jìn)制

數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)為．

321

（11）0將11二2進(jìn)制數(shù)化1為01十1進(jìn)2制=數(shù)1為×2+0×．2+1×2+1=11

11012

5

（2）現(xiàn)有三進(jìn)制數(shù)為，二進(jìn)制數(shù)b為，比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保?/p>

26．（24-25七年級(jí)?上·貴2州21貴3陽·期中）以下是小10麗11和1小2陳同學(xué)解兩道?計(jì)算題的?過程><=

問題1：

414

問題：

小麗的解法?：3+8?6÷32

441

小陳的解3法：36

解：原式÷?+8?

41

解：原式

=?3+8?6×

431

3

=3×?4+8?6

4

43414

4331=×?+×+

=?×+8×?34383

3446×?6

3

×1

4=?1+?8

16

=?1+6?

853

=?

396

=

(1)這8兩名同學(xué)解法有誤的是：________（填“小麗”、“小陳”或“都不對(duì)”）

(2)請(qǐng)幫助解法有誤的同學(xué)寫出正確的解法．

27．（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·期中）外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣

小哥一周的送餐情況，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)送餐量為單，送餐量超過單（送一次外賣稱為一單）的部分記為“”，

低于單的部分記為“”，如表是該外賣5小0哥一周的送餐量：50+

星期50?一二三四五六日

送餐量（單位：單）

(1)該外賣小哥這一周?送3餐量+最4多?的5一天+1送4了_?_8____+_7單；+最12少的一天送了_______單；

①求該外賣小哥這一周平均每天送餐多少單？

②(2)外賣小哥每天的工資由底薪元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過單的

部分，每單補(bǔ)貼元；超過6單0的部分，每單補(bǔ)貼元．求該外賣小哥這一周工資收入多少元？50

2505

28．（24-25六年級(jí)上·山東淄博·期中）有一張厚度為毫米的紙片，對(duì)折1次后的厚度為毫米，

繼續(xù)對(duì)折2次、3次、4次，…假設(shè)這張紙對(duì)折了20次，0.1則此時(shí)的厚度相當(dāng)于每層高3米的樓2房×層0數(shù).1約（）

（參考數(shù)據(jù)：，）

1020

A．35層2=102B4．3250層=1048576C．32層D．320層

29．（24-25七年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，這是一種轉(zhuǎn)盤型密碼鎖，每次開鎖時(shí)需要先把表示“0”的刻度

線與固定盤上的標(biāo)記線對(duì)齊，再按順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)帶有刻度的轉(zhuǎn)盤三次．例如，按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)5個(gè)小格記為“”，此時(shí)標(biāo)記線對(duì)準(zhǔn)的數(shù)是5，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2個(gè)小格記為“”，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3個(gè)小

+5?2

6

格記為“”，鎖可以打開，那么開鎖密碼就可以記為“，，”．如果一組開鎖密碼為“，，”，

那么打開+鎖3時(shí)計(jì)算結(jié)果表示的數(shù)是（）+5?2+3?10+5?7

A．B．C．D．12

30．（2?4-1205七年級(jí)上·湖南?長12沙·期中）進(jìn)制也就是?1進(jìn)5位計(jì)數(shù)制，是人為定義的帶進(jìn)位的計(jì)數(shù)方法我們常用

的十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，如4652可以寫作，數(shù)要用10個(gè)數(shù)字組成：0、

3210

1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型機(jī)中4×引1入0了+八6進(jìn)×制10，只+要5×八1個(gè)0數(shù)+字2：×01、01、2、3、4、5、6、7，如八

進(jìn)制中174可以寫作等于十進(jìn)制的數(shù)124．將八進(jìn)制中的數(shù)1234等于十進(jìn)制中的

210

數(shù)應(yīng)為（）1×8+7×8+4×8

A．668B．667C．666D．665

31．（24-25七年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)流程圖，若輸入x的值為，則輸出y的值為．

?1

32．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知，則的值為．

????

33．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·期中）點(diǎn)M、?N?、≠P0和原點(diǎn)?O+在?數(shù)+軸??上的位置如圖所示，有理數(shù)a、b、c

各自對(duì)應(yīng)著M、N、P三個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，且，，，那么表示數(shù)b的點(diǎn)為．

??<0?+?>0?>??>0

34．（24-25七年級(jí)上·山西朔州·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)出如下的運(yùn)算程序：任給一個(gè)正整數(shù)n，若n是偶

數(shù)，則將n除以2；若n是奇數(shù)，則將n乘以3再加1．重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限次后，得到結(jié)果為1并

輸出．

根據(jù)運(yùn)算程序，解答下列問題：

(1)小組同學(xué)輸入7，求運(yùn)算一次后的結(jié)果；

(2)小組同學(xué)輸入一個(gè)數(shù)，在沒有輸出前，每次運(yùn)算的結(jié)果都是偶數(shù)，經(jīng)過4次運(yùn)算輸出1，請(qǐng)直接寫出同學(xué)

們輸入的數(shù)．

35．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·期中）【閱讀材料】進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，可以用有限的數(shù)字符號(hào)代表

7

所有的數(shù)值．

生活中常用的十進(jìn)制是用這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一．例如，十進(jìn)制數(shù)表示為：

0~9（規(guī)定當(dāng)，）；計(jì)算機(jī)常用二進(jìn)制來3表72示1字符代碼3，7它21是=用3×

32100

1和0+兩7個(gè)×數(shù)10來表+示2×數(shù)1，0滿+二1進(jìn)×一1．0例如，二進(jìn)?制≠數(shù)0?=1轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為：0

432

1．100001×2+0×2+0×2+0×

10

2+0×2=16

(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成為十進(jìn)制數(shù)為______；

其他進(jìn)制也有類似的算法10111

(2)【應(yīng)用】在我國遠(yuǎn)古時(shí)?期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從

右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿進(jìn)，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖知，他所放牧的羊的只數(shù)是

多少？41

(3)【拓展】除了以上例子，日常生活中還有哪些進(jìn)制？請(qǐng)舉例說明．（舉個(gè)例子即可）

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36．（2024·山東日照·中考真題）交通運(yùn)輸部2024年4月發(fā)布的全