PAGE1銜接點(diǎn)03列方程解決實(shí)際問題小學(xué)階段初中階段【方程類型】主要學(xué)習(xí)簡單的一元一次方程，如

x+5=10

或3x?8=16.【解題步驟】掌握列方程解決實(shí)際問題的一般步驟，包括設(shè)未知數(shù)、找出等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)和寫答語.【應(yīng)用題類型】涉及簡單的實(shí)際問題，如購物問題、行程問題等，通常只有一個(gè)未知數(shù)，且方程的解法較為直接.【方程類型】從一元一次方程擴(kuò)展到二元一次方程組、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加復(fù)雜.【解題步驟】學(xué)習(xí)多種解方程的方法，如代入消元法、加減消元法、公式法等，要求學(xué)生能夠根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的解法.【應(yīng)用題類型】涉及更復(fù)雜的實(shí)際問題，如工程問題、利潤問題、幾何問題等，可能需要多個(gè)方程聯(lián)立求解.銜接指引【小學(xué)階段基礎(chǔ)回顧】理解方程的概念：方程是含有未知數(shù)的等式，如

x+2=5x+2=5.解簡單的一元一次方程：如

x+3=7x+3=7

，

2x=102x=10.列方程解決實(shí)際問題：如“小明有5個(gè)蘋果，小紅比小明多3個(gè)蘋果，小紅有多少個(gè)蘋果？”.【初中階段的變化與提升】更復(fù)雜的方程類型：一元二次方程、分式方程等.多步驟的問題解決：需要多個(gè)方程或多個(gè)步驟才能解決的問題.抽象思維和邏輯推理：要求更高的抽象思維和邏輯推理能力.【銜接策略】鞏固基礎(chǔ)：確保熟練掌握一元一次方程的解法和應(yīng)用.理解方程的本質(zhì)：方程是描述數(shù)量關(guān)系的工具，理解等式的基本性質(zhì).逐步增加難度：從簡單的問題開始，逐步過渡到更復(fù)雜的問題.培養(yǎng)邏輯思維：通過邏輯推理和問題解決，提高抽象思維能力.多做練習(xí)：通過大量的練習(xí)，鞏固知識(shí)和提高解題技巧.1．列方程解應(yīng)用題（1）列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)。先用一個(gè)字母代替未知數(shù)，再把它看作已知數(shù)參與列式和運(yùn)算，便于把題中的數(shù)量關(guān)系直接反映出來，使問題簡單化。（2）列方程解應(yīng)用題一般步驟。列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的關(guān)系，找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．2．常見的數(shù)量關(guān)系1）公式形數(shù)量關(guān)系生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時(shí)，必須通過情景中的信息，準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。長方形面積=長×寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長×邊長正方形周長=4邊長2）約定型數(shù)量關(guān)系利息問題、利潤問題、質(zhì)量分?jǐn)?shù)問題、比例尺問題、折扣等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。3）基本數(shù)量關(guān)系在簡單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)速度×?xí)r間=路程工作效率×?xí)r間=總工作量現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)＝折數(shù)3．分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。2）列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會(huì)題意。在行程問題中，我們常常用此類方法?？键c(diǎn)一：找等量關(guān)系與列方程1．（23-24五年級上·青海海南·期末）根據(jù)“18比x的3倍少6”，下面三位同學(xué)都列出了方程，正確的有（

）個(gè)。A．1 B．2 C．3【答案】B【分析】根據(jù)題干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每個(gè)選項(xiàng)列式的實(shí)際含義，與題干對比即可?！驹斀狻緼．18－3x＝6表示“18比3x多6”，與題干不符；B．3x－6＝18表示“3x減去6就是18”，即“3x比18多6”，與題干相符合；C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，與題干相符；正確的有2個(gè)故答案為：B2．（2024·河南安陽·小升初真題）根據(jù)所給信息，如圖圖形可以用方程“x＋x＝60”來表示的有（

）個(gè)。A．3 B．2 C．1【答案】B【分析】圖形1：圓柱和圓錐等底等高，所以圓錐的體積＝圓柱的體積，圓柱的體積是x立方厘米，圓柱體積＋圓錐體積＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以圖形可以用方程“”來表示；圖形2：根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，所以高＝三角形面積×2÷底，已知三角形面積是xcm2，底邊長是15cm，則高為：2x÷15＝（cm），可得陰影三角形的面積：5×÷2，兩個(gè)三角形面積相加等于梯形面積60cm2，x＋5×÷2＝60，化簡得：x＋x＝60，所以圖形可以用方程“”來表示；圖形3：根據(jù)圖示可知土地面積是60cm2，種牡丹的面積為土地面積的為xcm2，沒種牡丹的面積為xcm2。根據(jù)總面積加起來是60平方厘米，列方程為x＋x＝60（cm2），所以圖形不可以用方程“”來表示；據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：圖形1：等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，列式為：；圖形2：兩個(gè)三角形面積相加等于梯形面積60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，x＋x＝60，列式為：；圖形3：種蔬菜的面積是xcm2，空白地方的面積是xcm2，列式為：。前兩幅圖圖形可以用方程“”來表示。即只有2個(gè)圖形滿足題意。故答案為：B3．（2022·北京朝陽·小升初真題）如果用“x”表示這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量，那么解決“這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量”這個(gè)問題，下面所列方程中不正確的是（

）。A．1.5x＋2＝20 B．20－1.5x＝2 C．1.5x＝20＋2 D．1.5x＝20－2【答案】C【分析】根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系：這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量×1.5＋2＝上一周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量，假設(shè)這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是x千克，上一周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是20千克，代入列出方程，求解即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是x千克。x×1.5＋2＝201.5x＋2＝201.5x＝20－21.5x＝18x＝18÷1.5x＝12即這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是12千克。方程1.5x＋2＝20可變換成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。故答案為：C【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是弄清題意，把這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量設(shè)為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關(guān)系，列出包含x的等式，得到最終的結(jié)果。4．（2024·江蘇揚(yáng)州·小升初真題）數(shù)量間的相等關(guān)系是列方程的根據(jù)，請先填寫數(shù)量關(guān)系式，再列出方程。兩艘輪船同時(shí)從南京出發(fā)，沿長江航道開往武漢?！罢衽d”號的速度是千米/時(shí)，“豐春”號的速度更快，是32千米/時(shí)，7.5小時(shí)后兩船相距30千米。()＝根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系式列出方程：。【答案】“豐春”號的速度×?xí)r間－“振興”號的速度×?xí)r間兩船相距的路程32×7.5－7.5＝30【分析】根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”可得出：“豐春”號7.5小時(shí)行駛了7.5千米，“振興”號7.5小時(shí)行駛了（32×7.5）千米，再用“豐春”號行駛的路程減去“振興”號行駛的路程，即是7.5小時(shí)后兩船相距30千米，據(jù)此先寫出數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程?！驹斀狻繑?shù)量關(guān)系式：“豐春”號的速度×?xí)r間－“振興”號的速度×?xí)r間＝兩船相距的路程根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。5．（2024·遼寧沈陽·小升初真題）鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，如果用a表示厘米數(shù)，鞋子的碼數(shù)比厘米數(shù)的2倍少10厘米，那么表示碼數(shù)的式子是，小明穿38碼的鞋子，他的鞋子厘米數(shù)是厘米?！敬鸢浮?a－1024【分析】根據(jù)題意可得出數(shù)量關(guān)系：鞋子的厘米數(shù)×2－a＝鞋子的碼數(shù)，據(jù)此用含字母的式子表示碼數(shù)；已知小明穿38碼的鞋子，即上一問的式子的值等于38，據(jù)此列出方程，根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解?！驹斀狻咳绻胊表示厘米數(shù)，鞋子的碼數(shù)比厘米數(shù)的2倍少10厘米，那么表示碼數(shù)的式子是（2a－10）；2a－10＝38解：2a－10＋10＝38＋102a＝482a÷2＝48÷2a＝24小明穿38碼的鞋子，他的鞋子厘米數(shù)是24厘米。6．（2024六年級下·江蘇·專題練習(xí)）下面等量關(guān)系中，可以用3－6＝30表示的是（

）。A．小芳買了只水筆，每支3元，付給營業(yè)員30元，找回6元B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只C．故事書有本，科技書有30本，科技書比故事書多6本D．書法小組有人，舞蹈小組有30人，舞蹈小組的人數(shù)比書法小組人數(shù)的3倍少6人【答案】D【分析】A．等量關(guān)系：買水筆應(yīng)付的錢數(shù)＋找回的錢數(shù)＝付給營業(yè)員的錢數(shù)，由此列出方程；B．等量關(guān)系：黑兔的只數(shù)－6＝白兔的只數(shù)×3，由此列出方程；C．等量關(guān)系：科技書的本數(shù)－故事書的本數(shù)＝科技書比故事書多的本數(shù)，由此列出方程；D．等量關(guān)系：書法小組人數(shù)×3－6＝舞蹈小組的人數(shù)，由此列出方程?！驹斀狻緼．列方程為：3＋6＝30，不符合題意；B．列方程為：－6＝30×3，不符合題意；C．列方程為：30－＝6，不符合題意；D．列方程為：3－6＝30，符合題意。故答案為：D【找等量關(guān)系的方法】1.從事情變化的結(jié)果找等量關(guān)系.（分析事情變化的原因與結(jié)果，找出其中的相等關(guān)系）2.從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系.（抓住題目中的關(guān)鍵句，理解其中的數(shù)量關(guān)系）3.從常見的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系.（利用常見的數(shù)量關(guān)系，如工作效率×工作時(shí)間=工作總量，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)等）4.從公式中找等量關(guān)系.（利用幾何圖形的面積、周長公式等作為等量關(guān)系）5.從隱蔽條件中找等量關(guān)系.（注意題目中隱藏的條件，如雞有2條腿，兔有4條腿等）【總結(jié)】1.找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，需要仔細(xì)分析題目中的信息，理解數(shù)量關(guān)系.2.列方程是將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式的過程，需要注意未知數(shù)的設(shè)定和方程的正確性.3.通過多練習(xí)，可以提高找等量關(guān)系和列方程的能力，從而更好地解決實(shí)際問題.1．（2024·福建莆田·小升初真題）數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。如圖中，圖（

）能正確地表示出“2a＋6”的數(shù)量關(guān)系。A．B．C． D．【答案】B【分析】A．根據(jù)加法的意義，表示的是2＋a＋6＝a＋8；B．根據(jù)加法的意義，表示的是a＋a＋6＝2a＋6；C．根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，列式是（6＋a）×2＝2a＋12；D．大長方形的面積＝2個(gè)小長方形的面積之和，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，列式即可。大長方形的面積＝2a＋6a＝8a。據(jù)此解答?！驹斀狻緼．表示的是2＋a＋6＝a＋8；B．表示的是a＋a＋6＝2a＋6；C．表示的是（6＋a）×2＝2a＋12；D．表示的是2a＋6a＝8a。圖B能正確地表示出“2a＋6”的數(shù)量關(guān)系。故答案為：B。2．（2020·浙江·小升初真題）合唱團(tuán)有男生47人，比女生人數(shù)的3倍多2人，合唱團(tuán)的女生有多少人？設(shè)合唱團(tuán)的女生有人，則下面方程中，正確的是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意，男生47人，比女生人數(shù)的3倍多2人，以女生數(shù)為基準(zhǔn)量（一倍），女生人數(shù)的3倍加2人就等于男生47人?！驹斀狻拷猓涸O(shè)女生有人。故答案為：D【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)男生、女生人數(shù)的等量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵。本題的等量關(guān)系式：女生人數(shù)的3倍＋2＝男生的47人。3．（23-24六年級下·河北滄州·期末）下面圖中的數(shù)量關(guān)系，能用方程＋x＝60的有（

）個(gè)。A．3 B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】把60分成4份，其中1份表示x，白色部分占3份，表示為3x，深色部分占1份表示x，據(jù)此列出方程為：3x＋x＝60；設(shè)梨樹有x棵，把梨樹看作單位“1”，已知楊樹比梨樹多，則梨樹的（1＋）＝楊樹的棵樹，據(jù)此列出方程為：（1＋）x＝60，即x＋x＝60；把60分成8份，其中2份表示x，剩下6份表示3x，據(jù)此列出方程為：x＋3x＝60；等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，將圓柱體積設(shè)為xcm3，則圓錐體積為xcm3，兩者體積和是60cm3，據(jù)此列出方程為：x＋x＝60；據(jù)此選擇?！驹斀狻坑煞治隹傻茫簣D中的數(shù)量關(guān)系，能用方程＋x＝60的有2個(gè)。故答案為：B4．（23-24六年級下·遼寧·課后作業(yè)）全民閱讀，學(xué)習(xí)強(qiáng)國。周日，笑笑上午在圖書館閱讀1.2小時(shí)，下午在圖書館閱讀1.5小時(shí)。如果笑笑平均每小時(shí)閱讀m個(gè)字，一天一共閱讀了4050個(gè)字，列出方程是()?！敬鸢浮浚?.2＋1.5）m＝4050【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：（笑笑上午的閱讀時(shí)間＋笑笑下午的閱讀時(shí)間）×笑笑平均每小時(shí)閱讀的字?jǐn)?shù)＝笑笑一天閱讀的總字?jǐn)?shù)，據(jù)此列出方程即可。【詳解】（1.2＋1.5）m＝4050解：2.7m＝4050m＝4050÷2.7m＝1500列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一）5．（24-25六年級上·北京海淀·期末）星光小學(xué)籃球隊(duì)、足球隊(duì)和田徑隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之間的關(guān)系，如下圖所示。根據(jù)圖中信息，同學(xué)們列出了四個(gè)等量關(guān)系，其中正確的（

）。①足球隊(duì)人數(shù)籃球隊(duì)人數(shù)②足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)③籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)④籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④【答案】C【分析】看圖可知，將籃球隊(duì)人數(shù)看作單位“1”，足球隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)的；將足球隊(duì)人數(shù)看作單位“1”，田徑隊(duì)人數(shù)是足球隊(duì)的，田徑隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)人數(shù)的，根據(jù)整體數(shù)量×部分對應(yīng)分率＝部分?jǐn)?shù)量，逐個(gè)進(jìn)行分析?！驹斀狻竣伲?，田徑隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)人數(shù)的，足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，原等量關(guān)系錯(cuò)誤；②足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確；③籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確；④籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確。其中正確的只有②③④。故答案為：C考點(diǎn)二：數(shù)學(xué)文化問題1．（2024·湖南岳陽·小升初真題）雞兔同籠是中國古代數(shù)學(xué)名題之一，在《孫子算經(jīng)》中有記載。如果雞兔同籠，上有35個(gè)頭，下有94只腳，那么雞有()只，兔有()只?！敬鸢浮?312【分析】設(shè)雞有x只，則兔有只，則雞有2x只腳，兔有4只腳，再根據(jù)雞腳＋兔腳＝94只，列出方程解答即可。【詳解】解：設(shè)雞有x只，則兔有只，兔：（只）所以雞有23只，兔有12只。2．（2025六年級下·全國·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代一部偉大的數(shù)學(xué)名著，其中描述了這樣一道題：一個(gè)人用車裝米，從甲地運(yùn)往乙地，裝米的車日行25千米，不裝米的空車日行35千米，5日往返三次。兩地相距千米?！敬鸢浮?【分析】5日往返三次，則往返一次需要5÷3＝（日）。設(shè)往返一次裝米的車行了x日，則不裝米的車行駛了（－x）日。根據(jù)題意可得：往返一次裝米的車的速度×所用時(shí)間＝不裝米的車的速度×所用時(shí)間，據(jù)此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次裝米的車所用的時(shí)間后，再根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，用25乘所用的時(shí)間，即可求出兩地相距的路程。【詳解】5÷3＝（日）解：設(shè)往返一次裝米的車行了x日。25x＝35×（－x）25x＝－35x25x＋35x＝60x＝60x×＝×x＝25×＝（千米）則兩地相距千米?！军c(diǎn)睛】列方程解答本題比較簡單。先求出往返一次所需的時(shí)間，再分別用含有字母的式子表示裝米和不裝米的車所行的路程，從而列方程求出所用時(shí)間是解題的關(guān)鍵。3．（2024六年級下·陜西西安·學(xué)業(yè)考試）《張丘建算經(jīng)》卷上第31問中有如下問題：“今有七百人造浮橋，九日成，今增五百人，問日幾何？”意思是現(xiàn)在有700人造浮橋，9天能完成，如果增加500人，那么幾天能完成？（假設(shè)每人每天的工作效率相等）【答案】5.25天【分析】假設(shè)每人每天的工作效率是1，設(shè)x天能完成，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，工作總量相等，列出方程解答即可?！驹斀狻拷猓杭僭O(shè)每人每天的工作效率是1，設(shè)x天能完成。答：5.25天能完成。4．（23-24六年級下·遼寧·課后作業(yè)）我國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書中有這樣一道題目：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”譯文：“快馬每天走240里，慢馬每天走150里。慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”【答案】20天【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：（快馬的速度－慢馬的速度）×快馬行走的天數(shù)＝慢馬先行的路程，據(jù)此列出方程，并求解。【詳解】解：設(shè)快馬天可以追上慢馬。（240－150）＝150×1290＝1800＝1800÷90＝20答：快馬20天可以追上慢馬。5．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）《算法統(tǒng)宗》中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都來寺，在這座寺廟里，3個(gè)和尚合吃一碗飯，4個(gè)和尚合分一碗湯，一共用了364只碗。請問都來寺里有多少個(gè)和尚。利用方程知識(shí)可以解決這個(gè)有趣的問題，我們試一下吧！以碗知僧魏巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧，三百六十四只碗，恰合用盡不差爭，三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹，請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧。——摘自（明）程大位著《算法統(tǒng)宗》【答案】624個(gè)【分析】根據(jù)題意，設(shè)都來寺里有個(gè)和尚；由“3個(gè)和尚合吃一碗飯”可知，一個(gè)和尚吃碗飯，則吃飯共用了只碗；由“4個(gè)和尚合分一碗湯”可知，一個(gè)和尚喝碗湯，則喝湯共用了只碗；根據(jù)“一共用了364只碗”可得出等量關(guān)系：吃飯用碗的數(shù)量＋喝湯用碗的數(shù)量＝碗的總數(shù)，據(jù)此列出方程，并求解。【詳解】解：設(shè)都來寺里有個(gè)和尚。＋＝364＋＝364＝364＝364÷＝364×＝624答：都來寺里有624個(gè)和尚?！军c(diǎn)睛】本題考查列方程解決問題，理解“3個(gè)和尚合吃一碗飯，4個(gè)和尚合分一碗湯”的含義，從題目中找出等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程解答。數(shù)學(xué)文化類問題主要根據(jù)題干中找到等量關(guān)系解題即可。（1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量－降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．1．（24-25六年級上·山西長治·期中）某調(diào)查組仿照《曹沖稱象》的故事中所用的方法，稱出一頭大象重2.53t。在稱的過程中，石頭不夠、又選了一些單人平均體重約為每筐石頭的的志愿者上船，一筐石頭大約重()千克?！敬鸢浮?72.5【分析】2.53噸＝2530千克；設(shè)一筐石頭大約重x千克，12筐石頭是12x千克；單人平均體重約為每筐石頭的，單人平均體重為x千克，8人體重約為（8×x）千克；12筐石頭的重量＋8人的重量＝大象的重量，列方程：12x＋8×x＝2530，解方程，即可解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)一筐石頭的大約重是x千克。12x＋8×x＝253012x＋x＝2530x＝2530x＝2530÷x＝2530×x＝172.5一筐石頭大約重172.5千克。2．（22-23五年級下·遼寧·課后作業(yè)）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托。如果1托為5尺，那么設(shè)竿子長為x尺，依據(jù)題意，可列出方程得?！敬鸢浮浚▁＋5）÷2＝x－5【分析】根據(jù)題意可知，索比竿子長一托，也就是長5尺，設(shè)竿子長為x尺，則索長（x＋5）尺；對折索子來量竿，卻比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，據(jù)此可知，（x＋5）÷2＝x－5，據(jù)此解出方程即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，設(shè)竿子長為x尺，依據(jù)題意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了列方程解決問題，找到相應(yīng)的關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。3．（2020·北京房山·小升初真題）根據(jù)題意列方程，不解答。我國明代著名數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》一書中，記載了一些詩歌形式的算題，其中有一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾?。恳馑际牵河?00個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完。試問大、小和尚各多少人？【答案】解：設(shè)大和尚有x人，根據(jù)題意可列方程：【分析】首先找到題中的等量關(guān)系，為大和尚吃饅頭數(shù)量＋小和尚吃饅頭數(shù)量＝100。再設(shè)大和尚為x人，并用含有x的式子結(jié)合題意表示大小和尚分別吃掉的饅頭數(shù)量，代入等式即可?！驹斀狻康攘筷P(guān)系：大和尚吃饅頭數(shù)量＋小和尚吃饅頭數(shù)量＝100。因?yàn)樵O(shè)大和尚人數(shù)為x人，則小和尚人數(shù)為（100－x）人。再依據(jù)題中“大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)”，則大和尚吃饅頭總數(shù)為3x個(gè)，小和尚吃饅頭總數(shù)為，故列式為。【點(diǎn)睛】雞兔同籠問題，既可用假設(shè)法來解，也可用方程。用方程來解時(shí)，是順向思維占主導(dǎo)作用。4．（2024六年級下·全國·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》第七章“盈不足”：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問：人數(shù)、雞價(jià)各幾何？譯釋：幾人湊錢買雞，每人出9元，則多11元；每人出6元，則差16元。有幾人？雞的價(jià)格是多少元？【答案】9人；70元【分析】根據(jù)題意可知，雞的總價(jià)、總?cè)藬?shù)是不變的，總?cè)藬?shù)×9元－11元＝總?cè)藬?shù)×6元＋16元，設(shè)一共有x人，列方程為9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)一共有x人。9x－11＝6x＋169x－11＋11＝6x＋16＋119x＝6x＋279x－6x＝6x＋27－6x3x＝273x÷3＝27÷3x＝99×9－11＝81－11＝70（元）答：有9人；雞的價(jià)格是70元?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了盈虧問題，可用列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。5．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)?！贝笠馐牵河幸粋€(gè)人走了378里路，第一天健步行走，第二天因腳疼，每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地。請計(jì)算此人第二天走的路程。(注：里，古代長度單位)【答案】96里【分析】根據(jù)題意每天行走的路程為前一天的，所以可以設(shè)第一天走的路程為，那么第二天走的路程為，第三天走的路程為的是，以此類推，六天行走的路程是378里，根據(jù)這一等量關(guān)系列方程解答即可?！驹斀狻?÷2＝

×＝×＝×＝×＝解：設(shè)此人第一天走了里路，則第二天走了里路。192×＝96（里）答：此人第二天走了96里。考點(diǎn)三：行程問題1．（2024·四川綿陽·小升初真題）一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地。兩車行駛的時(shí)間為xh，兩車之間的距離為ykm，圖中的折線表示y與x之間的關(guān)系，根據(jù)圖象解決以下問題：（1）慢車的速度為（

）km/h，快車的速度為（

）km/h。（2）求當(dāng)x為多少時(shí)，兩車之間的距離為500km？【答案】（1）80；120；（2）當(dāng)x為1.1或6.25時(shí)，兩車之間的距離為500km?！痉治觥浚?）設(shè)慢車的速度為akm/h，快車的速度為bkm/h，根據(jù)，結(jié)合題意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。（2）兩車行駛過程中有2次兩車之間的距離是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：點(diǎn)C（6，480），慢車再行駛20km兩車之間的距離為500km，計(jì)算慢車行駛20km需要的時(shí)間，再加上6即可得解?！驹斀狻浚?）解：設(shè)慢車的速度為akm/h，快車的速度為bkm/h。（9－3.6）×a＝3.6×b把代入關(guān)系式3.6×（a＋b）＝720慢車的速度為80km/h，快車的速度為120km/h。（2）相遇前：（80＋120）x＝720－500解：相遇后：因?yàn)辄c(diǎn)C（6，480），慢車再行駛20千米兩車之間的距離為500千米。20÷80＝0.25（時(shí)）x＝6＋0.25＝6.25（時(shí)）答：當(dāng)x為1.1或6.25時(shí)，兩車之間的距離為500km?！军c(diǎn)睛】根據(jù)題意找出關(guān)系式，有兩個(gè)未知數(shù)的，要先替換為一個(gè)未知數(shù)，解方程；相遇前兩車有一次距離500km；相遇后兩車又有一次距離500km；還要注意，快車已到乙地，兩車距離不到500km，慢車還得再行20km。2．（24-25五年級上·山東濟(jì)南·期末）甲、乙兩地相距540千米，一輛貨車和一輛客車同時(shí)從兩地相對開出，3小時(shí)后兩車還相距135千米（未相遇）。已知客車每小時(shí)行駛72千米，貨車每小時(shí)行駛多少千米？（用方程解答）【答案】63千米【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)貨車每時(shí)行千米，則貨車速度×?xí)r間＋客車速度×?xí)r間＋135＝540，據(jù)此列出方程求解即可。【詳解】解：設(shè)貨車每小時(shí)行駛x千米。3×72＋3x＋135＝540216＋3x＋135＝540351＋3x＝5403x＝540－3513x＝189x＝189÷3x＝63答：貨車每小時(shí)行駛63千米。3．（2024·河南鄭州·小升初真題）如圖，甲、乙兩人沿著邊長為70米的正方形，按逆時(shí)針的方向行走，甲從A以65米/分的速度行走，乙從B以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，是在正方形的邊（AB、BC、CD或DA）上?！敬鸢浮緿A【分析】設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘，則有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根據(jù)其相等關(guān)系列方程得72x＝65x＋70×3，根據(jù)，再用甲行走的總路程除以正方形的周長，所得的余數(shù)再與AB，AB與BC的和，AB、BC與CD的和比較即可得解。【詳解】解：設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘。72x＝65x＋70×372x－65x＝65x＋210－65x7x＝2107x÷7＝210÷7x＝3065×30＝1950（米）（米）1950÷280＝6（圈）……270（米）AB的距離是70米，AB與BC的和是（米），AB、BC與CD的和是（米）所以，乙第一次追上甲是在DA邊上。【點(diǎn)睛】根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，求出乙第一次追上甲兩人所用的時(shí)間，因?yàn)閮扇藝@正方形走了多圈，再按照周期問題找到兩人相遇的位置即可。4．（2024六年級下·四川·專題練習(xí)）明明家和學(xué)校相距2300米，每天步行上學(xué)，有一天他正以每分鐘80米的速度前進(jìn)著，一抬頭看見路邊的鐘表發(fā)現(xiàn)要遲到，他馬上改用每分鐘150米的速度跑步前進(jìn)，途中共用20分鐘，準(zhǔn)時(shí)到達(dá)了學(xué)校。明明在離學(xué)校多遠(yuǎn)的地方開始跑步？【答案】1500米【分析】設(shè)明明以每分鐘80米的速度行了x分鐘，則以每分鐘150米的速度行了（20－x）分鐘。根據(jù)每分鐘80米的速度所行的路程每分鐘150米的速度所行的路程明明家到學(xué)校的路程，列方程解答。【詳解】解：設(shè)明明以每分鐘80米的速度行了x分鐘。7x＝3000－230070x÷70＝700÷70（米答：明明在離學(xué)校1500米遠(yuǎn)的地方開始跑步?！窘忸}技巧】行程問題總公式：路程=速度×?xí)r間。不同類型問題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．1．（2024·山西運(yùn)城·小升初真題）甲、乙兩地相距840千米，一輛貨車和一輛客車分別從甲乙兩地同時(shí)相向開出，經(jīng)過6小時(shí)相遇?？蛙嚸啃r(shí)比貨車快14千米，兩車的速度各是多少？（用方程解）【答案】貨車的速度是63千米/時(shí)；客車的速度是77千米/時(shí)【分析】已知路程和相遇時(shí)間，以及兩車速度差，通過設(shè)貨車速度為x千米/時(shí)，利用客車與貨車速度關(guān)系表示出客車速度；再依據(jù)相遇問題“路程＝速度和×相遇時(shí)間”這一公式列出方程求解。【詳解】解：設(shè)貨車速度為x千米/時(shí)，則客車速度為（x＋14）千米/時(shí)。（x＋x＋14）×6＝840（2x＋14）×6＝840（2x＋14）×6÷6＝840÷62x＋14＝1402x＋14－14＝140－142x＝1262x÷2＝126÷2x＝63x＋14＝63＋14＝77答：貨車的速度是63千米/時(shí)，客車的速度是77千米/時(shí)。2．（23-24五年級下·遼寧·課后作業(yè)）帶著小狗的小明和小兵同時(shí)從相距1200米的兩地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到小明后再向小兵那邊跑……當(dāng)小明和小兵相遇時(shí)，小狗一共跑了多少米？【答案】2400米【分析】根據(jù)題意可知，先設(shè)小明、小兵x分相遇，結(jié)合相遇公式：速度和×相遇時(shí)間＝全長，算出他們的相遇時(shí)間，再根據(jù)速度×?xí)r間＝路程這一公式，用相遇時(shí)間乘上小狗的速度即可算出答案。【詳解】解：設(shè)小明和小兵x分相遇。（55＋65）x＝1200120x＝1200120x÷120＝1200÷120x＝10240×10＝2400（米）答：小狗一共跑了2400米。3．（2024·四川綿陽·小升初真題）A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導(dǎo)致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)接到指令，要求于早上7點(diǎn)，分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)趕往滑坡地點(diǎn)疏通公路。甲隊(duì)于9點(diǎn)趕到并立即開工半小時(shí)后，乙隊(duì)也趕到，并立即投入搶修工作，此時(shí)甲隊(duì)已完成了全部任務(wù)的（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊(duì)行進(jìn)的速度是乙隊(duì)的倍多5千米，求甲、乙兩隊(duì)的行進(jìn)的速度各是多少？（2）如果下午3點(diǎn)兩隊(duì)就完成公路疏通任務(wù)，勝利會(huì)師，那么若由乙隊(duì)單獨(dú)疏通這段公路時(shí)，需要多少時(shí)間才能完成任務(wù)？【答案】（1）甲隊(duì)：50千米/小時(shí)，乙隊(duì)：30千米/小時(shí)（2）11小時(shí)【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)的行進(jìn)速度是x千米/小時(shí)，則甲隊(duì)的行進(jìn)速度是（x＋5）千米/小時(shí)。從早上7點(diǎn)到9點(diǎn)，經(jīng)歷了2小時(shí)，甲開工半小時(shí)后乙才到，說明乙走了2.5小時(shí)，由于受損公路長1千米，用甲、乙走的路程和＝兩市相距的距離再減去受損公路長，據(jù)此即可列出方程，再求解即可。（2）由于從上午9點(diǎn)到下午3點(diǎn)總共經(jīng)歷了6小時(shí)，最開始甲隊(duì)工作0.5小時(shí)，完成了總量的，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，用÷0.5求出甲的效率。設(shè)乙的效率為y，由于甲隊(duì)工作了6小時(shí)，乙隊(duì)工作的時(shí)間是：6－0.5＝5.5（小時(shí)），根據(jù)工作效率×工作時(shí)間＝工作總量，甲隊(duì)工作量＋乙隊(duì)工作量＝1，據(jù)此列方程即可求出乙隊(duì)的效率，再用1除以乙隊(duì)的效率即可求出時(shí)間?！驹斀狻浚?）解：設(shè)乙隊(duì)的行進(jìn)速度是x千米/小時(shí)，則甲隊(duì)的行進(jìn)速度是（x＋5）千米/小時(shí)。9：00－7：00＝2（小時(shí)）2小時(shí)＋0.5小時(shí)＝2.5小時(shí)2×（x＋5）＋2.5x＝176－12×x＋2×5＋2.5x＝1753x＋10＋2.5x＝1755.5x＝175－105.5x＝165x＝165÷5.5x＝3030×＋5＝45＋5＝50（千米/小時(shí)）答：甲隊(duì)的行進(jìn)速度是50千米/小時(shí)，乙隊(duì)的行進(jìn)速度是30千米/小時(shí)。（1）÷0.5＝÷＝×2＝解：設(shè)乙的工作效率為y。×6＋（6－0.5）y＝10.5＋5.5y＝15.5y＝1－0.55.5y＝0.5y＝0.5÷5.5y＝1÷＝11（小時(shí)）答：乙隊(duì)單獨(dú)疏通這條公路的效率是11小時(shí)。【點(diǎn)睛】本題主要考查工程問題，關(guān)鍵是掌握工程問題的公式以及找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。4．（2022·重慶沙坪壩·小升初真題）一輛汽車在A，B兩地之間不停地往返行駛，小剛從A去B，每小時(shí)4千米，汽車從B去A，途中相遇，30分鐘后汽車由A返B追上小剛；再過70分鐘后汽車由B返A(chǔ)的途中又與小剛相遇，再過50分鐘后汽車由A返B又追上小剛。（1）求汽車的速度；（2）求A、B兩地之間的路程；（3）在前面的條件下，若人、車分別從A、B同時(shí)出發(fā)，同向行駛，汽車從B到C處后立即返回，回到B后繼續(xù)朝A行駛，直至與小剛相遇，共用了5小時(shí)，求BC之間的路程?！敬鸢浮浚?）44千米/小時(shí)；（2）40千米；（3）100千米【分析】（1）通過題意可知，從第①次相遇到第②次相遇，小剛和汽車經(jīng)過的路程和相當(dāng)于兩個(gè)A、B兩地的距離，從第①次追及到第②次追及，汽車和小剛經(jīng)過的路程差也相當(dāng)于兩個(gè)兩個(gè)A、B兩地的距離，已知第①次相遇到第②次相遇經(jīng)過了（30＋70）分鐘，也就是小時(shí)，第①次追及到第②次追及經(jīng)過了（70＋50）分鐘，也就是2小時(shí)，根據(jù)速度和×相遇時(shí)間＝路程和，速度差×追及時(shí)間＝路程差；所以設(shè)汽車的速度是x千米/小時(shí)，列方程為（x－4）×2＝（x＋4）×，然后解出方程即可求出汽車的速度。（2）從第①次相遇到第②次相遇，小剛和汽車經(jīng)過的路程和相當(dāng)于兩個(gè)A、B兩地的距離，根據(jù)速度和×相遇時(shí)間＝路程和，用汽車的速度加上小剛的速度的和乘2小時(shí)，再除以2即可求出A、B兩地之間的路程。（3）根據(jù)題意可知，從出發(fā)到相遇小剛和汽車經(jīng)過的路程和相當(dāng)于1個(gè)AB之間的距離加上2個(gè)BC之間的距離，根據(jù)速度和×相遇時(shí)間＝路程和，用（44＋4）×5即可求出從出發(fā)到相遇小剛和汽車經(jīng)過的路程和，再減去AB之間的距離，即可求出2個(gè)BC之間的距離，最后除以2，即可求出BC之間的距離?！驹斀狻浚?）30＋70＝100（分鐘）100分鐘＝小時(shí)70＋50＝120（分鐘）120分鐘＝2小時(shí)解：設(shè)汽車的速度是x千米/小時(shí)。（x－4）×2＝（x＋4）×2x－8＝x＋2x＝x＋＋82x＝x＋2x－x＝x＝x＝÷x＝×3x＝44答：汽車的速度是44千米/小時(shí)。（2）（44－4）×2÷2＝40×2÷2＝40（千米）答：A、B兩地之間相距40千米。（3）[（44＋4）×5－40]÷2＝[48×5－40]÷2＝[240－40]÷2＝200÷2＝100（千米）答：BC之間的路程為100千米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜的相遇問題和追及問題，明確相鄰兩次的相遇路程和相差了2個(gè)全程，相鄰兩次的追及路程差相差了2個(gè)全程?？键c(diǎn)四：工程問題1．（2024·河南周口·小升初真題）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天，乙單獨(dú)做要15天，丙單獨(dú)做要20天，三人合做期間，甲因故請假，工程6天完工，則甲請了（

）天假。A．1 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】分析題目，把這項(xiàng)工程看作單位“1”，用工作總量除以工作天數(shù)分別求出甲、乙、丙單獨(dú)工作一天可以完成幾分之幾，再用加法求出乙、丙合做一天可以完成幾分之幾，再乘6即可求出乙、丙6天一共可以完成幾分之幾，再用1減去乙、丙6天一共完成了幾分之幾即可得到甲一共做了幾分之幾，再用甲完成的除以甲一天完成了幾分之幾即可得到甲的工作天數(shù)，最后用6減去甲的工作天數(shù)即可得到甲的請假天數(shù)?！驹斀狻?÷10＝1÷15＝1÷20＝1－（＋）×6＝1－×6＝1－＝6－÷＝6－×10＝6－3＝3（天）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天，乙單獨(dú)做要15天，丙單獨(dú)做要20天，三人合做期間，甲因故請假，工程6天完工，則甲請了3天假。故答案為：B2．（2024·江蘇常州·小升初真題）為進(jìn)一步發(fā)揮生態(tài)優(yōu)勢、建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，溧陽某網(wǎng)紅村要修繕一條廊橋，全長360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完這條廊橋的？【答案】126米【分析】先算出第一天修的長度，用廊橋全長乘第一天修的比例25%，再算出這條廊橋的長度，最后用廊橋的的長度減去第一天修的長度，得到還需修的長度?！驹斀狻?60×－360×25%＝216－360×0.25＝216－90＝126（米）答：再修126米可以修完這條廊橋的。3．（2024·湖南衡陽·小升初真題）在“我是城市小主人”公益墻繪活動(dòng)中，陽光小學(xué)承擔(dān)了400平方米的繪畫任務(wù)。六（1）班單獨(dú)完成需要20天，六（2）班單獨(dú)完成需要25天，兩個(gè)班一起畫，多少天可以完成？【答案】天【分析】把這項(xiàng)繪畫任務(wù)看作單位“1”，根據(jù)工作量÷工作時(shí)間＝工作效率，六（1）班每天完成1÷20＝，六（2）班每天完成1÷25＝，根據(jù)工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間，用1除以兩個(gè)班的工作效率和可求出兩個(gè)班一起畫需要的天數(shù)?！驹斀狻?÷20＝，1÷25＝1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝（天）答：兩個(gè)班一起畫，天可以完成。我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個(gè)關(guān)系來列寫等式方程。工程問題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時(shí)間的倒數(shù)來表示。復(fù)雜的工程問題，往往需要設(shè)多個(gè)未知數(shù)，不要擔(dān)心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。1．（2024·河南鄭州·小升初真題）修一條路，甲、乙兩隊(duì)合作12天可以完成。如果甲隊(duì)單獨(dú)做8天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)做3天，這時(shí)甲、乙兩隊(duì)共同完成了全部工程的。如果這條路由乙隊(duì)單獨(dú)修，那么乙隊(duì)多少天可以修完這條路？【答案】20天【分析】甲、乙兩隊(duì)合作12天可以完成這條路，把工作總量看作單位“1”，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，可得甲、乙兩隊(duì)合作的工作效率為1÷12＝，設(shè)甲隊(duì)的工作效率為x，乙隊(duì)的工作效率為－x，根據(jù)工作量＝工作效率×工作時(shí)間，甲隊(duì)單獨(dú)做8天完成的工作量為8x，乙隊(duì)單獨(dú)做3天的工作量為（－x）×3，根據(jù)等量關(guān)系：“甲隊(duì)單獨(dú)做8天完成的工作量＋乙隊(duì)單獨(dú)做3天的工作量＝”列方程求出甲隊(duì)的工作效率，再用減去甲隊(duì)的工作效率求出乙隊(duì)的工作效率，再用總工作量除以乙隊(duì)的工作效率?！驹斀狻考?、乙兩隊(duì)合作的工作效率為：1÷12＝解：設(shè)甲隊(duì)的工作效率為x，乙隊(duì)的工作效率為－x。8x＋（－x）×3＝8x＋－3x＝5x＋＝5x＋－＝－5x＝－5x＝×5x＝×x＝1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1×20＝20（天）答：乙隊(duì)20天可以修完這條路。2．（2024·河北石家莊·小升初真題）一條路長360千米，若甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；若乙隊(duì)單獨(dú)修，18天修完。若兩隊(duì)合修，9天能修完嗎？解決這個(gè)問題，三位同學(xué)想到了不同的解法。能，因?yàn)椋?60÷（360÷12＋360÷18）算出7.2天就能完成。小麗能，因?yàn)椋?÷（＋）算出天就能完成。小梅能，因?yàn)椋?2÷2等于6天，18÷2等于9天，合作時(shí)間應(yīng)該大于6天，小于9天。小強(qiáng)下面說法正確的是（

）。A．小麗、小梅、小強(qiáng)的解法都正確。B．只有小麗和小梅的解法正確。C．只有小梅和小強(qiáng)的解法正確。D．只有小麗和小強(qiáng)的解法正確?！敬鸢浮緼【分析】小麗的做法：先用這條路的全長分別除以甲隊(duì)、乙隊(duì)單獨(dú)修的天數(shù)，求出甲隊(duì)、乙隊(duì)每天修的長度；再用這條路的全長除以兩隊(duì)每天合修的長度，即是修完這條路需要的天數(shù)，最后與9天進(jìn)行比較。小梅的做法：先把修路的工作總量看作單位“1”，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，可知單獨(dú)修，甲隊(duì)12天修完，即甲隊(duì)的工作效率是；乙隊(duì)18天修完，則乙隊(duì)的工作效率是；若兩隊(duì)合修，根據(jù)合作工時(shí)＝工作總量÷工作效率和，計(jì)算出兩隊(duì)合修的天數(shù)，再與9天比較即可。小強(qiáng)的做法：分別用甲隊(duì)、乙隊(duì)單獨(dú)修的天數(shù)除以2，那么兩隊(duì)合修的天數(shù)要在這兩個(gè)天數(shù)之間，再與9天比較即可。【詳解】小麗的做法：360÷（360÷12＋360÷18）＝360÷（30＋20）＝360÷50＝7.2（天）7.2＜9所以若兩隊(duì)合修，9天能修完。小梅：1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝（天）＜9所以若兩隊(duì)合修，9天能修完。小強(qiáng)：12÷2＝6（天）18÷2＝9（天）合作時(shí)間應(yīng)該大于6天，小于9天。所以若兩隊(duì)合修，9天能修完。綜上所述，小麗、小梅和小強(qiáng)的解法都正確。故答案為：A3．（2024·湖南岳陽·小升初真題）一件工程，乙隊(duì)先做4天，繼而甲、丙兩隊(duì)合作6天，剩下的工程甲隊(duì)獨(dú)做9天完成，已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍，甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做各需要多少天？【答案】30天；24天；18天【分析】工程問題蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間。把甲隊(duì)完成的工作量看作單位“1”，根據(jù)題意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即這項(xiàng)工程就是＋＋1＝2。列式：1÷2，求出甲完成這項(xiàng)工程的幾分之幾，甲工作的天數(shù)÷甲完成工作量占工程總量的分率＝甲完成單獨(dú)工作所需的總天數(shù)；同理，據(jù)此再分別求出乙和丙單獨(dú)完成所需天數(shù)。【詳解】甲工作天數(shù)：6＋9＝15（天）乙工作天數(shù)：4天丙工作天數(shù)：6天將甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作??，丙完成的量看作??，即這項(xiàng)工程就是??＋??＋1＝2甲完成這項(xiàng)工程的1÷2＝那么甲單獨(dú)完成需要15÷＝30（天）乙完成這項(xiàng)工程的÷2＝那么乙單獨(dú)完成需要4÷＝24（天）丙完成這項(xiàng)工程的÷2＝那么丙單獨(dú)完成需要6÷＝18（天）答：甲、乙、丙獨(dú)做各需30天、24天、18天。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是要找到每人完成天數(shù)占工作總量的幾分之幾?？键c(diǎn)五：年齡問題1．（2024·浙江杭州·小升初真題）可可6歲時(shí)，妹妹年齡是可可的，當(dāng)可可n歲時(shí)，妹妹()歲。【答案】n－3【分析】可可6歲時(shí)，根據(jù)妹妹年齡是可可的，用乘法計(jì)算出妹妹的年齡，據(jù)此求出可可和妹妹的年齡差；兩人的年齡差是不變的，當(dāng)可可n歲時(shí)，妹妹的年齡等于可可的年齡減去兩人的年齡差，據(jù)此解答?！驹斀狻靠煽?歲時(shí)，妹妹的年齡：（歲）兩人年齡差：6－3＝3（歲）當(dāng)可可n歲時(shí)，妹妹（n－3）歲。因此當(dāng)可可n歲時(shí)，妹妹（n－3）歲。2．（2024·四川綿陽·小升初真題）爸爸對兒子說：“我像你這么大時(shí)，你才4歲。當(dāng)你像我這么大時(shí)，我就79歲了?，F(xiàn)在爸爸()歲，兒子()歲？”【答案】5429【分析】根據(jù)年齡差不會(huì)變這一特性，從年齡差入手，年齡差＋4＝兒子現(xiàn)在的年齡，年齡差＋爸爸現(xiàn)在的年齡＝79，所以爸爸＋兒子的年齡＝79＋4＝83，設(shè)爸爸今年歲數(shù)為x歲，則兒子的歲數(shù)是（83－x）歲，再根據(jù)年齡差＋爸爸現(xiàn)在的年齡＝79，列出方程解決問題?！驹斀狻拷猓涸O(shè)爸爸今年歲數(shù)為x歲，則兒子的歲數(shù)是79＋4－x＝（83－x）歲，根據(jù)題意可得方程：x－（83－x）＋x＝79x－83＋x＋x＝793x－83＋83＝79＋833x＝1623x÷3＝162÷3x＝5483－54＝29（歲）現(xiàn)在爸爸54歲，兒子29歲?！军c(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是明確年齡差不變，再列方程解答。3．（2023·四川·小升初真題）父親和女兒現(xiàn)在年齡之和是91，當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍的時(shí)候，女兒年齡是父親現(xiàn)在年齡的，女兒現(xiàn)在年齡是()歲。【答案】28【分析】設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡為x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是（91－x）歲。當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍的時(shí)候也就是父親的年齡是2x歲。兩個(gè)人跨越的年齡是一樣的，當(dāng)父親2x歲時(shí)，和現(xiàn)在相比少了（91－x－2x）歲，則女兒也跨越了（91－x－2x）歲，則女兒這時(shí)候的年齡是[x－（91－x－2x）]也是父親現(xiàn)在年齡的，也就是，列出方程求出方程的解?！驹斀狻吭O(shè)女兒現(xiàn)在的年齡為x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是（91－x）歲。則女兒現(xiàn)在的年齡是28歲。“年齡差不變”是隱藏在年齡問題中的已知條件，每個(gè)年齡問題都是與年齡差發(fā)生關(guān)系，找出年齡差是解題的關(guān)鍵。1．（2023·四川成都·小升初真題）爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和70歲，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲，當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，現(xiàn)在三人的年齡各是多少歲？【答案】妹妹12歲、哥哥16歲、爸爸42歲【分析】三人增長的歲數(shù)一樣。也就是爸爸增長的歲數(shù)＝哥哥的增長歲數(shù)＝妹妹增長的歲數(shù)。當(dāng)妹妹9歲時(shí)，設(shè)哥哥的年齡是x歲，爸爸的年齡是3x歲。當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲時(shí)，爸爸是增長了（34－3x）歲，妹妹和哥哥也都增長了（34－3x）歲。這時(shí)候妹妹的年齡是（9＋34－3x）歲，哥哥的年齡是（x＋34－3x）歲，根據(jù)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍列出數(shù)量關(guān)系式：哥哥的年齡＝妹妹的年齡×2。解方程得出哥哥的年齡為13歲，這時(shí)候爸爸的年齡39歲，妹妹的年齡是9歲，三個(gè)人這時(shí)候的年齡總和是61歲，現(xiàn)在三個(gè)人的年齡和是70歲，相差9歲，這個(gè)相差的9歲是三個(gè)人一起增長的年齡，所以每個(gè)人增長了3歲?！驹斀狻拷猓涸O(shè)當(dāng)妹妹9歲時(shí)，哥哥x歲，爸爸3x歲。3×13＝39（歲）9＋13＋39＝61（歲）（70－61）÷3＝9÷3＝3（歲）妹妹：9＋3＝12（歲）哥哥：13＋3＝16（歲）爸爸：39＋3＝42（歲）答：現(xiàn)在妹妹12歲，哥哥16歲，爸爸42歲。2．（2021·四川綿陽·小升初真題）有一個(gè)四口之家，成員為父親、母親、女兒和兒子，今年他們的年齡加在一起為75歲，其中父親比母親大1歲，女兒比兒子大2歲。已知4年前，家里所有人的年齡之和是60歲，則母親今年()歲?！敬鸢浮?3【分析】根據(jù)題意，4年前家里所有人的年齡之和是60歲，那么4年后，每人都長了4歲，所以4年后他們?nèi)业哪挲g和是60＋4×4＝76（歲），但今年他們的年齡加在一起為75歲，說明最小的兒子4年前還沒有出生，據(jù)此可以求出兒子今年的年齡，女兒今年的年齡；用今年全家的年齡和減去今年兒子、女兒的年齡，就是父親和母親今年的年齡之和，已知父親比母親大1歲，用他倆的年齡之和減1，就是今年母親年齡的2倍，再除以2，即可求出今年母親的年齡?！驹斀狻?0＋4×4＝60＋16＝76（歲）75＜76，說明兒子4年前還沒有出生；今年兒子的年齡：4－（76－75）＝4－1＝3（歲）今年女兒的年齡：3＋2＝5（歲）今年母親的年齡：（75－3－5－1）÷2＝66÷2＝33（歲）【點(diǎn)睛】本題考查年齡問題，理解兒子4年前沒有出生，求出兒子今年的年齡是解題的關(guān)鍵；再利用和差問題的解題方法，求出今年母親的年齡。3．（2021·河南信陽·小升初真題）王老師有個(gè)學(xué)生，當(dāng)王老師像學(xué)生那么大時(shí)，學(xué)生才1歲；當(dāng)學(xué)生像王老師那么大時(shí)，王老師37歲。王老師和學(xué)生現(xiàn)在各多少歲？【答案】王老師現(xiàn)在25歲，學(xué)生現(xiàn)在13歲【分析】將學(xué)生現(xiàn)在的年齡設(shè)為x歲，據(jù)題意當(dāng)王老師像學(xué)生那么大時(shí)，學(xué)生才1歲，那么二人的年齡差是（x－1）歲，那么王老師現(xiàn)在的年齡是（2x－1）歲。又根據(jù)題意當(dāng)學(xué)生像王老師那么大時(shí)，王老師37歲，可知此時(shí)王老師年齡－（2x－1）＝年齡差。據(jù)此列方程解方程即可。【詳解】解：設(shè)學(xué)生現(xiàn)在的年齡是x歲。37－（x＋x－1）＝x－137－2x＋1＝x－13x＝39x＝39÷3x＝1313＋13－1＝25（歲）答：王老師現(xiàn)在25歲，學(xué)生現(xiàn)在13歲?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了年齡問題，關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)到兩人的年齡差始終不變?？键c(diǎn)六：數(shù)字與日歷問題1．（2024·河北石家莊·小升初真題）一個(gè)三位數(shù)，它的個(gè)位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，百位上的數(shù)字是c。這個(gè)三位數(shù)是（

）。A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．a(chǎn)bc【答案】B【分析】百位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)百，十位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)十，個(gè)位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)一。這個(gè)百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，那么它有a個(gè)百，b個(gè)十，c個(gè)一，據(jù)此解答?！驹斀狻縜個(gè)百是100a，b個(gè)十是10b，c個(gè)一是c所以這個(gè)三位數(shù)是100c＋10b＋a。故答案為：B2．（2024·四川宜賓·小升初真題）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的，把十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字調(diào)換后，新數(shù)比原數(shù)大18，則原數(shù)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字之和是（

）。A．10 B．12 C．18 D．21【答案】A【分析】根據(jù)“十位上的數(shù)字是個(gè)位上的”，可以設(shè)原來數(shù)字個(gè)位上的數(shù)是，那么十位上數(shù)字是；把十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字調(diào)換后，則新數(shù)個(gè)位上數(shù)字是，十位上的數(shù)字是；根據(jù)“新數(shù)比原數(shù)大18”可得出等量關(guān)系：新數(shù)－原數(shù)＝新數(shù)比原數(shù)大的數(shù)，據(jù)此列出方程，并求解；求出原來個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之后，再相和即可求出它們的和?！驹斀狻拷猓涸O(shè)原來兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是，那么十位上的數(shù)字是。（10＋）－（×10＋）＝18－＝183＝18＝18÷3＝6原來十位是：6×＝4和是：6＋4＝10則原來這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位與十位上數(shù)字的和是10。故答案為：A【點(diǎn)睛】明白兩位數(shù)是“十位上的數(shù)字×10＋個(gè)位上的數(shù)字”組成，關(guān)鍵是得出原來兩位數(shù)與新兩位數(shù)的組成，再根據(jù)題意找出等量關(guān)系，按等量關(guān)系列出方程求解。3．（2023·山西·小升初模擬）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上的數(shù)字的和是9。如果這個(gè)兩位數(shù)減去27，那么得到的差正好是原來的數(shù)個(gè)位與十位數(shù)字交換。求原來的數(shù)？【答案】63【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為x和9﹣x，得：10x＋9﹣x﹣27＝10×（9﹣x）＋x9x﹣18＝90﹣9x18x＝108x＝69﹣6＝3這個(gè)兩位數(shù)就是63。4．（2023六年級下·浙江嘉興·專題練習(xí)）觀察日歷找規(guī)律。（1）觀察日歷中加框的4個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）觀察日歷中加陰影的9個(gè)數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（3）你還能在日歷中找到什么規(guī)律？【答案】（1）如果左上的數(shù)字為x，則右上為x＋1，左下為：x＋7，右下為：x＋8。（2）方框中9個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍。（3）表格每一列的數(shù)字從上到下依次增加7；每行中相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1?！痉治觥浚?）根據(jù)所給日歷，利用日歷中各數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果左上的數(shù)字為x，則右上為x＋1，左下為：x＋7，右下為：x＋8。（2）根據(jù)所給日歷，利用日歷中的各數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：中間的數(shù)為y，左面的數(shù)是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，據(jù)此解答。（3）根據(jù)表格找出正確的規(guī)律即可。每一列的數(shù)字從上到下依次增加7；每行中相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1?！驹斀狻浚?）利用日歷中各數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果左上的數(shù)字為x，則右上為x＋1，左下為：x＋7，右下為：x＋8。（2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26＝33＋54＋75＝162＝18×9答：方框中9個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍。（3）我發(fā)現(xiàn)：表格每一列的數(shù)字從上到下依次增加7；每行中相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1。【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)表中的規(guī)律，月歷卡中不同的和的情況要一行一行的找，再相加進(jìn)行解答。1）已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．2）日歷表中的日期左右相差1，上下相差7.1．（24-25六年級上·全國·課后作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，已知它的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的。如果把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是154，求這個(gè)兩位數(shù)是多少?！敬鸢浮?6【分析】可設(shè)十位上的數(shù)字為未知數(shù)x，則個(gè)位上的數(shù)是，此時(shí)這個(gè)數(shù)是：；兩給數(shù)位調(diào)換后，即十位上是，個(gè)位上是x，則此時(shí)的數(shù)是：。將兩個(gè)數(shù)相加等于154，運(yùn)用等式基本性質(zhì)可得出答案?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是x。則可列出方程：則這個(gè)兩位數(shù)是：答：這個(gè)兩位數(shù)是86。2．（2023四年級上·全國·專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的2倍，如果把這兩個(gè)數(shù)字對調(diào)位置，組成一個(gè)新的兩位數(shù)，所得新數(shù)與原數(shù)的和是132，原來的兩位數(shù)是多少？【答案】84【分析】設(shè)原來兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是x，那么十位上的數(shù)字就是2x，這個(gè)兩位數(shù)可以表示2x×10＋x，當(dāng)個(gè)位和十位數(shù)字對調(diào)，這時(shí)兩位數(shù)可以表示為10x＋2x，再根據(jù)兩個(gè)兩位數(shù)的和是132；列出方程求解。【詳解】解：設(shè)原來個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為2x。2x×10＋x＋10x＋2x＝132（20＋1＋10＋2）x＝13233x＝13233x÷33＝132÷33x＝44×2＝8答：原來的兩位數(shù)是84?！军c(diǎn)睛】解決本題先設(shè)出數(shù)據(jù)，分別表示出兩位數(shù)的個(gè)位和十位上的數(shù)字，再分別表示出原來兩位數(shù)和對調(diào)后的兩位數(shù)，然后找出等量關(guān)系列出方程求解。3．（24-25六年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在日歷上任意框出6個(gè)數(shù)。如果框出的6個(gè)數(shù)的和是75，框出的6個(gè)數(shù)分別是多少？【答案】8，9，10，15，16，17【分析】從圖中框出的6個(gè)數(shù)發(fā)現(xiàn)：12是這6個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，其它5個(gè)數(shù)分別與12的關(guān)系分別是：12＋1＝13，12＋2＝14，12＋7＝19，12＋8＝20，12＋9＝21；據(jù)此設(shè)框出的6個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是，那么其它5個(gè)數(shù)分別是＋1，＋2，＋7，＋8，＋9，它們的和等于75，據(jù)此列出方程，并求解。【詳解】解：設(shè)這6個(gè)數(shù)分別是，＋1，＋2，＋7，＋8，＋9。＋＋1＋＋2＋＋7＋＋8＋＋9＝756＋27＝756＋27－27＝75－276＝486÷6＝48÷6＝8其它5個(gè)數(shù)是：8＋1＝9，8＋2＝10，8＋7＝15，8＋8＝16，8＋9＝17答：框出的6個(gè)數(shù)分別是8，9，10，15，16，17?？键c(diǎn)七：銷售問題1．（2024·重慶涪陵·小升初真題）某平臺(tái)通過直播帶貨幫助農(nóng)戶線上銷售農(nóng)副產(chǎn)品。張伯伯通過此平臺(tái)銷售自家種植的桃子。第一次銷售出了桃子總量的15%，第一次銷售的量與第二次銷售的量的比是3∶5，這時(shí)還有36噸沒有賣出。張伯伯家今年共收桃子多少噸？【答案】60噸【分析】設(shè)張伯伯家今年共收桃子x噸，第一次銷售出了桃子總量的15%，即第一天銷售15x噸桃子；第一次銷售的量與第二次銷售的量的比是3∶5，即第二天銷售桃子重量是第一天的，用第一天銷售桃子的重量×，即15%x×，求出第二天銷售桃子的重量，用桃子的總重量－第一天銷售桃子的重量－第二天銷售桃子的重量＝剩下桃子的重量，列方程：x－15%x－15%x×＝36，解方程，即可解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)張伯伯家今年共收桃子x噸。x－15%x－15%x×＝36x－15%x－0.25x＝360.85x－0.25x＝360.6x＝36x＝36÷0.6x＝60答：張伯伯家今年共收桃子60噸。2．（2024·河南駐馬店·小升初真題）一種空調(diào)，商場將進(jìn)價(jià)加35%定價(jià)，然后按定價(jià)打九折出售，商場承諾交易成功的話每臺(tái)空調(diào)送“出租車”費(fèi)用50元，即使這樣每臺(tái)空調(diào)仍可獲利208元，這種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是多少元？【答案】1200元【分析】設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)“將進(jìn)價(jià)加35%定價(jià)”，知道定價(jià)為（1＋35%）x元，按定價(jià)打九折出售，意思是按定價(jià)的90%出售，賣價(jià)為即（1＋35%）x×90%元，由數(shù)量關(guān)系：賣價(jià)－進(jìn)價(jià)－50＝208，即可列出方程解決問題?！驹斀狻拷猓涸O(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元。（1＋35%）x×90%－x－50＝2081.35x×0.9－x＝2581.215x－x＝2580.215x＝258x＝258÷0.215x＝1200答：每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)是1200元。3．（2024·河北邯鄲·小升初真題）微山島上一大型超市在“五一”期間為了回饋新老用戶，決定實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng)。優(yōu)惠方案一：非會(huì)員購物所有商品價(jià)格可獲得九折優(yōu)惠。優(yōu)惠方案二：交納200元會(huì)費(fèi)可成為該超市會(huì)員，所有商品價(jià)格可獲得八折優(yōu)惠。若用x（元）表示商品價(jià)格，請你用含有x的式子表示兩種購物優(yōu)惠后所花的錢數(shù)。（1）方案一購物優(yōu)惠后所花的錢數(shù)是（

），方案二購物優(yōu)惠后所花的錢數(shù)是（

）。（2）當(dāng)商品價(jià)格為多少元時(shí)，兩種優(yōu)惠所花的錢數(shù)相同？（3）若某人計(jì)劃在該超市購買價(jià)格為2700元的一部手機(jī)，請你列式分析一下選擇哪種優(yōu)惠更省錢？可節(jié)省多少元？【答案】（1）0.9x元；（200＋0.8x）元；（2）2000元；（3）方案二更省錢，可節(jié)省70元【分析】（1）方案一，九折優(yōu)惠，即現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的90%，把原價(jià)看作單位“1”，單位“1”已知，用原價(jià)乘90%，即是現(xiàn)價(jià)；方案二，交納200元會(huì)費(fèi)，商品八折優(yōu)惠，即現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的80%，把原價(jià)看作單位“1”，單位“1”已知，用原價(jià)乘80%，求出商品的現(xiàn)價(jià)，再加上會(huì)費(fèi)，即是實(shí)際需付的錢數(shù)。（2）求當(dāng)商品價(jià)格為多少元時(shí)，兩種優(yōu)惠所花的錢數(shù)相同，即上一題兩種方案用字母表示的式子相等，據(jù)此列出方程，并求解。（3）已知購買2700元的一部手機(jī)，把2700它代入第（1）題兩種方案用字母表示的式子中，計(jì)算出得數(shù)，再比較，得出哪種方案更省錢，再用減法求出節(jié)省的錢數(shù)?！驹斀狻浚?）x×90%＝0.9x（元）200＋80%x＝（200＋0.8x）（元）所以方案一購物優(yōu)惠后所花的錢數(shù)是0.9x元，方案二購物優(yōu)惠后所花的錢數(shù)是（200＋0.8x）元。（2）0.9x＝200＋0.8x解：0.9x－0.8x＝200＋0.8x－0.8x0.1x＝2000.1x÷0.1＝200÷0.1x＝2000答：當(dāng)商品價(jià)格為2000元時(shí)，兩種優(yōu)惠所花的錢數(shù)相同。（3）方案一：2700×0.9＝2430（元）方案二：200＋2700×0.8＝200＋2160＝2360（元）2430＞2360，即方案二更省錢。2430－2360＝70（元），即可節(jié)省70元。答：若某人計(jì)劃在該超市購買價(jià)格為2700元的一部手機(jī)，方案二更省錢，可節(jié)省70元。此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關(guān)系來列寫等式方程。實(shí)際售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率利潤＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×利潤率標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋利潤率)注意：“商品利潤＝售價(jià)－成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售．1．（2024·河北邢臺(tái)·小升初真題）王阿姨自主創(chuàng)業(yè)開了一家服裝店，因?yàn)檫M(jìn)貨時(shí)沒有進(jìn)行市場調(diào)查，在換季時(shí)積壓了一批服裝，為了緩解壓力，王阿姨決定打折促銷。若每件服裝按標(biāo)價(jià)的五折出售將虧20元，而按標(biāo)價(jià)的八折出售將賺40元，每件衣服的標(biāo)價(jià)是多少元？要保證不虧，最多能打幾折？【答案】標(biāo)價(jià)200元；六折【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)每件衣服的標(biāo)價(jià)是元；根據(jù)“若每件服裝按標(biāo)價(jià)的五折出售將虧20元”，即此時(shí)的售價(jià)是標(biāo)價(jià)的50%，會(huì)虧20元，根據(jù)“進(jìn)價(jià)＝售價(jià)＋虧損”，可得出進(jìn)價(jià)是（50%＋20）元；根據(jù)“按標(biāo)價(jià)的八折出售將賺40元”，即此時(shí)的售價(jià)是標(biāo)價(jià)的80%，會(huì)賺40元，根據(jù)“進(jìn)價(jià)＝售價(jià)－盈利”，可得出進(jìn)價(jià)是（80%－40）元；因?yàn)檫M(jìn)價(jià)不變，據(jù)此列出方程，并求解。（2）由上一問可知每件衣服的標(biāo)價(jià)是200元，把標(biāo)價(jià)看作單位“1”，若每件服裝按標(biāo)價(jià)的五折出售將虧20元，根據(jù)百分?jǐn)?shù)乘法的意義，用標(biāo)價(jià)乘50%，再加上20元，即是每件衣服的進(jìn)價(jià)；然后用進(jìn)價(jià)除以標(biāo)價(jià)，求出售價(jià)是標(biāo)價(jià)的百分之幾，再根據(jù)折扣的意義，將百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成折扣即可。【詳解】（1）解：設(shè)每件衣服的標(biāo)價(jià)是元。50%＋20＝80%－4080%－50%＝20＋400.3＝60＝60÷0.3＝200（2）200×50%＋20＝200×0.5＋20＝100＋20＝120（元）120÷200×100%＝0.6×100%＝60%60%＝六折答：每件衣服的標(biāo)價(jià)是200元，要保證不虧，最多能打六折?！军c(diǎn)睛】本題考查百分?jǐn)?shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用，理解并靈活運(yùn)用標(biāo)價(jià)、售價(jià)、進(jìn)價(jià)、虧損、盈利之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2．（2024·山東德州·小升初真題）銀座商場將運(yùn)動(dòng)衣按進(jìn)價(jià)的50%加價(jià)后，寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每件運(yùn)動(dòng)衣仍獲利40元，運(yùn)動(dòng)衣的進(jìn)價(jià)是多少元？【答案】200元【分析】根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)動(dòng)衣的進(jìn)價(jià)是元；已知運(yùn)動(dòng)衣按進(jìn)價(jià)的50%加價(jià)，把進(jìn)價(jià)看作單位“1”，則加價(jià)后的價(jià)格是進(jìn)價(jià)的（1＋50%），即（1＋50%）元；再打八折，把加價(jià)后的價(jià)格看作單位“1”，打折后的價(jià)格是加價(jià)后的80%，即售價(jià)是（1＋50%）×80%元；根據(jù)“結(jié)果每件運(yùn)動(dòng)衣仍獲利40元”，可得出等量關(guān)系：售價(jià)－進(jìn)價(jià)＝獲利，據(jù)此列出方程，并求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)運(yùn)動(dòng)衣的進(jìn)價(jià)是元。（1＋50%）×80%－＝401.5×0.8－＝401.2－＝400.2＝40＝40÷0.2＝200答：運(yùn)動(dòng)衣的進(jìn)價(jià)是200元。3．（2022·陜西西安·小升初真題）甲、乙、丙三位志愿者在一次救災(zāi)募捐中積極捐款，乙的捐款數(shù)比甲的2倍少100元，丙的捐款數(shù)比甲、乙兩人的捐款數(shù)的和少300元，甲的捐款數(shù)是丙的，那么甲捐款多少元？【答案】800元【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲捐款元，則乙捐款元，丙捐款元。則根據(jù)甲的捐款數(shù)是丙的，列出方程解方程即可解答?！驹斀狻吭O(shè)甲捐款元，則乙捐款元，丙捐款元。答：甲捐款800元?！军c(diǎn)睛】本題考查了列方程解決問題的方法，找到等量關(guān)系解方程是解題關(guān)鍵。考點(diǎn)八：分段計(jì)費(fèi)問題1．（2022·河北滄州·小升初真題）為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，自來水公司規(guī)定：每戶每月用水15噸以內(nèi)（含15噸）按5.2元一噸收費(fèi)；超過15噸，其超出的噸數(shù)按7元一噸收費(fèi)。（1）文文家上月共交水費(fèi)92元，他家上月用水多少噸？（2）紅紅家上月共用水23噸，應(yīng)交水費(fèi)多少元？【答案】（1）17噸；（2）134元【分析】（1）根據(jù)題意可知，水費(fèi)分兩部分，一部分是15噸（含15噸）水費(fèi)是5.2元一噸，一部分是超過15噸，一噸是7元，設(shè)：文文家上月用水x噸，去掉15噸，15噸水費(fèi)15×5.2元，剩下的水是x－15噸，就是1噸7元的水，剩下的水費(fèi)是（x－15）×7元，一共是92元，列方程：15×5.2＋（x－15）×7＝92，解方程，即可解答。（2）紅紅家上月共用水23噸，其中有15噸是5.2元一噸水費(fèi)，15噸是15×5.2元，剩下的用水是23－15＝8噸水，每噸是7元，8噸是8×7元，再把15噸水費(fèi)錢數(shù)和8噸水費(fèi)錢數(shù)相加，就是紅紅家應(yīng)繳的水費(fèi)，即可解答。【詳解】（1）解：設(shè)文文家上月用水x噸15×5.2＋（x－15）×7＝9278＋（x－15）×7＝92（x－15）×7＝92－78（x－15）×7＝14x－15＝14÷7x－15＝2x＝2＋15x＝17答：他家上個(gè)月用水17噸。（2）15×5.2＋（23－15）×7＝78＋8×7＝78＋56＝134（元）答：應(yīng)交水費(fèi)134元。【點(diǎn)睛】解答本題需要兩部分，一部分是15噸的價(jià)錢，一部分是超過15以后的價(jià)錢，根據(jù)題意找出相關(guān)管的量，列方程，解方程。2．（2023·四川成都·小升初真題）某市居民生活用電基本價(jià)格為每度0.40元，若每月用電量超過a（）度，超過部分按基本價(jià)格的70%收費(fèi)。（1）某戶一月份用電84度，其交電費(fèi)30.72元，求a的值。（2）該戶二月份的電費(fèi)平均為每度0.36元，求該戶二月份用電多少度？應(yīng)交電費(fèi)多少元？【答案】（1）a＝60；（2）90度；32.4元。【分析】根據(jù)題意可知每月用電量超過a度為m度時(shí)，電費(fèi)的計(jì)算方法為：0.40a＋（m－a）×0.40×70%，利用這個(gè)關(guān)系式可把電費(fèi)作為等量關(guān)系求未知的量?！驹斀狻浚?）當(dāng)m＝84時(shí)，則有：0.40a＋（84－a）×0.40×70%＝30.720.40a＋84×0.40×70%－a×0.40×70%＝30.720.40a＋23.52－0.28a＝30.720.12a＋23.52－23.52＝30.72－23.520.12a＝7.20.12a÷0.12＝7.2÷0.12a＝60（2）設(shè)該戶六月份共用電x度，則：0.40×60＋（x－60）×0.40×70%＝0.36x0.40×60＋0.40×70%×x－60×0.40×70%＝0.36x24＋0.28x－16.8＝0.36x24＋0.28x－16.8－0.28x＝0.36x－0.28x0.08x＝7.20.08x÷0.08＝7.2÷0.08x＝900.36x＝0.36×90＝32.40答：二月份用電90度，應(yīng)該交電費(fèi)32.40元。【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列出方程，再求解。此題的關(guān)鍵是要知道每月用電量超過a度為m度時(shí)，電費(fèi)的計(jì)算方法。本題主要考查了水電費(fèi)問題，這類問題中易錯(cuò)的是費(fèi)用受到水電量的影響套用不同的公式，解此類題要分析清題意再作答。3．（2024·山東德州·小升初真題）滴滴網(wǎng)約車是通過網(wǎng)絡(luò)預(yù)約的出租車，下表是滴滴網(wǎng)約車各費(fèi)用項(xiàng)計(jì)價(jià)方式?！酒鸩絻r(jià)】包含一定里程和時(shí)長普通時(shí)段5.00元/含2.3千米；含7分鐘00：00～09：0017：00～00：006.00元/含2.3千米；含7分鐘【里程費(fèi)】超出起步里程后計(jì)算【時(shí)長費(fèi)】超出起步時(shí)長后計(jì)算普通時(shí)段1.55元/千米普通時(shí)段0.30元/分鐘00：00～06：0023：00～00：002.40元/千米00：00～06：0023：00～00：000.60元/分鐘說明：包含里程或包含時(shí)長任意一項(xiàng)超出，將在起步價(jià)基礎(chǔ)上累加計(jì)費(fèi)；超出部分計(jì)數(shù)單位以整數(shù)計(jì)，例如0.1千米為1千米，0.1分鐘為1分鐘。（1）李叔叔6月3日晚上9時(shí)在滴滴出行平臺(tái)預(yù)約了一輛車，里程和時(shí)長如圖，李叔叔需要支付多少元？（2）6月14日早上5：30李叔