專題25概率初步（10大類型精準練+過關檢測）

內容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練題型強知識：10大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

知識點1.概率

1.確定事件與隨機事件：

（1）確定事:事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可

能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．

（2）隨機事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件（隨機事件），那么0＜P（A）＜1．

2.可能性的大?。?/p>

隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：

3.概率的意義：

m

（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率P(A)，會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這

n

個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．

（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．

知識點2.概率的計算

求概率的常見方法有：列舉法、樹狀圖法、列表法.

1

知識點3.用頻率估計概率

（1）大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．

（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．

（3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通

過統(tǒng)計頻率來估計概率．

【類型1】事件的分類

1．（2025·湖北·中考真題）在下列事件中，不．可．能．事．件．是（）

A．投擲一枚硬幣，正面向上B．從只有紅球的袋子中摸出黃球

C．任意畫一個圓，它是軸對稱圖形D．射擊運動員射擊一次，命中靶心

2．（23-24九年級上·北京東城·期末）在下列事件中，隨機事件是（）

A．投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)為2

B．從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球

C．通常情況下，自來水在10C結冰

2

D．投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)不超過6

3．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）文化體驗

一休得罪了幕府將軍，將軍決定處罰一休，幸得安國寺長老和百姓們的求情，將軍同意讓一休自己來決定

自己的命運．方法是：將軍寫下兩張簽，一張罰，一張免，讓一休抽簽，抽中罰則罰，抽中免則免．將軍

一心想處罰一休，在兩張簽上都寫上“罰”.一休早就料到了這一點，抽中之后將手中之簽銷毀，讓眾人看另

一張簽，另一張是“罰”，一休手中自然是“免”．請你分析以上內容中的必然事件、隨機事件和不可能事件．

4．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）世界杯小組賽分成八個小組，每小組4個隊，小組進行單循環(huán)（每個

隊都與該小組的其他隊比賽一場）比賽，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，積分最高的2個

隊進入16強，請問：

(1)每小組共比賽多少場？

(2)在小組比賽中，現(xiàn)有一隊得到6分，該隊出線是確定性事件還是隨機事件？

【類型2】概率的認識

5．（24-25九年級上·甘肅慶陽·期末）下列說法中，錯誤的是（）

A．如果某彩票的中獎概率是1%，那么一次購買100張這種彩票一定會中獎

B．“經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈”是隨機事件

C．“平面內不共線的三點確定一個圓”是必然事件

D．“任意畫一個三角形，其內角和是540”是不可能事件

3

6．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）某事件A發(fā)生的概率是，則下列推斷正確的是（）

100

A．做100次這種實驗，事件A必發(fā)生3次

B．做100次這種實驗，事件A不可能發(fā)生4次

C．做1000次這種實驗，事件A必發(fā)生30次

D．大量重復做這種實驗，事件A平均每100次發(fā)生3次

1

7．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）如果買1張彩票中獎的概率是，那么買1張彩票一定不會中獎

1000

嗎？買1000張彩票一定能中獎嗎？

【類型3】概率公式

8．（2023·浙江溫州·一模）把一枚質地均勻的骰子（各個面上的點數(shù)為1~6）拋擲一次，落地后，朝上面

的點數(shù)是奇數(shù)的概率為（）．

1112

A．B．C．D．

6323

9．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在絕對值小于3的非零整數(shù)中，隨機取出一個數(shù)，其倒數(shù)等于本身的

概率是．

10．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）一個不透明的袋子中裝有9個紅球和2個白球，這些球除顏色外其

余都相同，從中任意摸出一個球．

3

(1)“摸到紅球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“隨機”）

2

(2)如果要使摸到白球的概率為，需要往盒子里再放入多少個白球？

5

11．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）在一個不透明的袋子里裝有2個白球，3個黃球，每個球除顏色外

均相同，現(xiàn)將同樣除顏色外都相同的黃球和白球若干個（白球個數(shù)是黃球個數(shù)的2倍）放入袋中，攪勻后，

若從袋中摸出一個球是白球的概率是1，求后放入袋中的黃球的個數(shù)．

2

【類型4】幾何概率

12．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣．假設飛鏢擊中

任何一個位置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區(qū)域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），

則飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是（）

1452

A．B．C．D．

3993

13．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上（小正六邊形的邊長是大正

六邊形邊長的1），若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

2

1111

A．B．C．D．

2346

14．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，分別以A、C為圓心，正方形的

邊長為半徑畫弧，在正方形ABCD中隨機拋擲一粒豆子，則豆子落在陰影區(qū)域內的概率為（）

π2π2π1π1

A．B．C．D．

2424

15．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知矩形ABCD,AB2,BC3，在矩形ABCD內任取一點O，連接

4

OA,OB，如果矩形ABCD內每一點被取到的可能性都相同，則△OAB是銳角三角形的概率為（結

果保留π）．

【類型5】列舉法求概率

16．（2017·廣西南寧·一模）連續(xù)拋擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚正面朝上”的概率是（）

113

A．B．C．D．1

424

17．（2022·安徽馬鞍山·一模）如圖，在1×3的正方形網(wǎng)格上確定了兩個格點（網(wǎng)格線的交點），從其余

的格點中隨機選取第三個格點，與這兩個格點組成的三角形是等腰三角形的概率是（）

1235

A．B．C．D．

2346

18．（21-22九年級下·貴州黔南·階段練習）若標有A，B，C的三只燈籠按圖示懸掛，每次摘取一只（摘B

先摘C），直到摘完，則最后一只摘到B的概率是（）

1121

A．B．C．D．

3234

19．（2024·江蘇南京·一模）如圖，某商場制作了一個抽獎轉盤，分設一、二等獎，其中一等獎的扇形圓心

角為120．小麗在商場先后消費兩次，獲得兩次轉動轉盤機會（指針指向分界處時重轉一次）．

(1)小麗第一次轉到一等獎的概率是；

(2)求小麗兩次都轉到一等獎的概率．

【類型6】樹狀圖法求概率

20．（21-22九年級上·江西吉安·期末）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，能讓燈

5

泡L2發(fā)光的概率是（）

1112

A．B．C．D．

4323

21．（2024·湖北武漢·模擬預測）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個小球，這些球除標號外都相

同，從中隨機摸出兩個小球，則摸出的小球標號之和不小于5的概率為（）

1234

A．B．C．D．

5555

22．（2023·陜西西安·模擬預測）某班四個數(shù)學小組，準備研讀四部古代數(shù)學著作．現(xiàn)制作背面完全相同的

4張卡片，正面分別寫有《九章算術》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術》《數(shù)術記遺》，將4張卡片混合后正面朝

下放置在桌面上，每個小組選一代表從中依次抽取一張卡片．

(1)第一學習小組抽到《五經(jīng)算術》的概率是__________________________．

(2)若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正面寫

的是《九章算術》和《周髀算經(jīng)》的概率．

23．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）3張相同的卡片上分別寫有中國二十四節(jié)氣中的“小滿”、“芒種”、“夏至”

的字樣，將卡片的背面朝上．

(1)洗勻后，從中任意抽取1張卡片，抽到寫有“小滿”的卡片的概率等于__________；

(2)洗勻后，從中任意抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到一張寫有“芒種”，一張寫有“夏至”

的卡片的概率．

【類型7】列表法法求概率

24．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，這兩個小球除顏色外都相

同．將球搖勻后從中隨機摸出一個小球，然后放回袋中并搖勻，再從中隨機摸出一個小球．用畫樹狀圖或

列表的方法，求第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率．

25．（19-20九年級上·全國·單元測試）一個不透明的口袋里裝有分別標著漢字“魅”“力”“平”“涼”的四個小球，

除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸前先攪拌均勻．

(1)若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為______；

(2)先從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個球上的漢

字能組成“平?jīng)觥钡母怕剩?/p>

26．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）一個不透明的布袋里裝有2個白球、1個黑球和1個紅球，這些球除

顏色外都相同．從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出兩次摸出

的球都是白球的概率．

6

【類型8】用頻率估計概率

27．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某射擊運動員在同一條件下進行練習，結果如下表所示：

射擊次數(shù)n10205010020050010002000

擊中10環(huán)次數(shù)m81944931784538991802

m

擊中10環(huán)頻率

n

(1)計算表中擊中10環(huán)的各個頻率；

(2)這名運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為多少？

28．（19-20九年級上·全國·課后作業(yè)）王老師將1個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋并攪勻，讓

若干學生進行摸球試驗，每次摸出一個球（有放回），下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)．

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到黑球的次數(shù)m233160130203251

m

摸到黑球的頻率0.2300.2310.3000.2600.254

n

(1)補全表中的有關數(shù)據(jù)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計從袋中摸出一個球是黑球的概率是；

(2)估計袋中白球的個數(shù)；

(3)在（2）的條件下，若小強同學有放回地連續(xù)兩次摸球，用畫樹狀圖或列表的方法計算他兩次都摸出白球

的概率．

29．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，這些球除

顏色外其余完全相同．小穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一個球記下顏色后，再把球放回盒

子中，不斷重復上述過程，表格是實驗中的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)n1020501002004005001000

摸到白球的次數(shù)m4710284597127252

摸到白球的頻率m0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

(1)請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近（精確到0.01）；

(2)試估算盒子里白球有個；

(3)某小組進行“用頻率估計概率”的試驗，符合（1）中結果的試驗最有可能的是

（填寫所有正確結論的序號）．

①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上．

②擲一個質地均勻的正方體骰子（面的點數(shù)分別為1到6），落地時面朝上點數(shù)“大于4”．

③從一副不含大小王的撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅桃”．

7

④在一道單選題A、B、C、D四個選項任選一個，正好選中正確選項．

【類型9】游戲的公平性

30．（2024九年級下·上?！ｎ}練習）有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A、B分別被分成4等份、3等份，

并在每份內均標有數(shù)字，如圖所示．王揚和劉菲同學用這兩個轉盤做游戲，游戲規(guī)則如下：

①分別轉動轉盤A與B．

②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指份內的數(shù)字相加（如果指針恰好停在等分線上，那么重轉一次，直到

指針指向某一份為止）．

③如果和為0，王揚獲勝；否則劉非獲勝．

(1)用列表法（或樹狀圖）求王揚獲勝的概率；

(2)你認為這個游戲對雙方公平嗎？若不公平，請制定一個新的游戲規(guī)則．

31．（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，現(xiàn)有一轉盤被平均分成八等份，分別標有1，2，3，4，5，6，

7，8這八個數(shù)字，轉動轉盤，當轉盤停止時，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．

(1)轉動轉盤，轉出的數(shù)字不大于4的概率是_______；

(2)小明和小強玩轉盤游戲，轉出的數(shù)字為2的倍數(shù)小明勝，為3的倍數(shù)小強勝，這個游戲公平嗎？請說明

理由；若不公平，請你設計出公平的游戲規(guī)則．

32．（23-24九年級下·云南·階段練習）甲、乙兩名同學玩一個游戲：將正面分別寫著數(shù)字1，0，1，2的

四張卡片（注：這四張卡片的形狀、大小質地、顏色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，這四

張卡片看上去無任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，甲從中先隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)

字為x；再把剩下的三張卡片洗勻后，背面向上放在桌面上，乙從這三張卡片中隨機抽取一張卡片，記該卡

片上的數(shù)字為y，若xy，則甲獲勝；否則乙獲勝．

(1)請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求x,y所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)；

(2)你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．

【類型10】概率與方程、函數(shù)問題

33．（四川雅安·一模）大課間活動時，有兩個同學做了一個數(shù)字游戲：有三張正面寫有數(shù)字1，0，1的

卡片，它們背面完全相同，將這三張卡片背面朝上洗勻后，其中一個同學隨機抽取一張，將其正面的數(shù)字

8

作為p的值，然后將卡片放回并洗勻，另一個同學再從這三張卡片中隨機抽取一張，將其正面的數(shù)字作為q

值，兩次結果記為p,q．

(1)請你幫他們用樹狀圖或列表法表示p,q所有可能出現(xiàn)的結果；

(2)求滿足關于x的方程x2pxq0沒有實數(shù)解的概率．

34．（2024·云南·模擬預測）愛好數(shù)學的甲、乙兩個同學做了一個數(shù)字游戲：拿出三張正面寫有數(shù)字1，0，

1且背面完全相同的卡片，將這三張卡片背面朝上洗勻后，甲先隨機抽取一張，將所得數(shù)字作為p的值，然

后將卡片放回并洗勻，乙再從這三張卡片中隨機抽取一張，將所得數(shù)字作為q值，兩次結果記為p,q．請

用樹狀圖或列表法求一次函數(shù)ypxq沒有經(jīng)過一、二、三象限的概率．

一、單選題

1．（23-24九年級上·河北廊坊·期末）某路口紅綠燈的時間設置如下：紅燈30秒，綠燈50秒，黃燈3秒．當

出租車經(jīng)過該路口，遇到哪一種燈的可能性最大（）

A．紅燈B．綠燈C．黃燈D．不能確定

2．（21-22九年級下·北京·單元測試）一個袋中裝有20個球，其中有5個黑球和15個白球，每個球除顏色

9

外都相同，從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是（）

113

A．B．C．D．1

434

3．（22-23九年級上·遼寧錦州·期中）在一個不透明的布袋中裝有70個白球和若干個黑球，除顏色外其他

都相同，小強每次摸出一個球記錄下顏色后并放回，通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.125左

右，則布袋中黑球的個數(shù)可能有（）

A．9B．10C．18D．20

4．（24-25九年級上·河南鶴壁·階段練習）下列各事件中，是隨機事件的是（）

A．若a是實數(shù)，則a0

B．從裝有2個白球、3個紅球的箱子里取出3個白球

C．某運動員跳高的最好成績是10.9米

D．從車間剛生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽一個，恰好是次品

5．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）筆筒中有9支型號、顏色完全相同的鉛筆，將它們逐一標上19的號

碼，若從筆筒中任意抽出一支鉛筆，則抽到的鉛筆編號是3的倍數(shù)的概率是（）

1212

A．B．C．D．

9933

6．（24-25九年級上·陜西榆林·期中）用如圖所示的兩個可以自由轉動的轉盤進行“配紫色”游戲：游戲者同

時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么他就贏了．根據(jù)游戲規(guī)則，

游戲者獲勝的概率為（）

1131

A．B．C．D．

2344

7．（24-25九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在三條橫線和三條豎線組成的圖形中，任選兩條橫線和兩條

豎線都可以構成一個矩形，從這些矩形中任選一個，則所選矩形含點P的概率是（）

1134

A．B．C．D．

4389

8．（24-25九年級上·廣東惠州·期末）如圖1所示，有一個不規(guī)則的圖案（圖中畫圖部分），小帆想估算該

圖案的面積.他采取了以下的辦法：用一個長為3m，寬為2m的矩形，將不規(guī)則圖案圍起來，再在適當位置

10

隨機地向矩形區(qū)域扔小球，并記錄小球在不規(guī)則圖案內的頻率，如圖2（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計

入試驗結果），則不規(guī)則圖案的面積大約為（）

A．3m2B．2.4m2C．1.8m2D．1.2m2

二、填空題

9．（23-24九年級上·廣西河池·期末）一個不透明布袋里有3個紅球，4個白球和m個黃球，這些球除顏色

外其余都相同．若從中隨機摸出1個球是紅球的概率為0.25，則m的值為．

10．（24-25九年級上·福建福州·期中）在一個不透明的袋子里裝有黑、白兩種顏色的球共10只，這些球除

顏色外都相同．某數(shù)學小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不

斷重復．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：則從袋子中隨機摸出一球，這只球是白球的概率

是．（精確到0.1）

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球次數(shù)m5896116295484598

摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.598

11．（22-23七年級下·安徽宿州·期末）中國古代數(shù)學有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》《算學啟蒙》《測圓

海鏡》《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學的重要文獻，某中學擬從這4部數(shù)學名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)

學文化”的學習內容，選擇方案包含《算學啟蒙》的概率是．

12．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）下列事件中是確定事件的是（填序號）：

①擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數(shù)是奇數(shù)；

②對于實數(shù)a、b，有a2b20；

③車輛隨機經(jīng)過一個路口，遇到紅燈；

④14人中至少有2人在同一個月過生日．

13．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖，正方形邊長為1個單位長度，將一枚棋子按順時針方向依次

沿正方形ABCD的四個頂點移動．每次開始時，棋子都位于點A處；然后，擲兩枚質地均勻的骰子，擲得

的點數(shù)之和是幾就移動棋子幾個單位，如擲得的點數(shù)之和為3就移動3步落在點D處，擲得的點數(shù)之和為6

就移動6步落在點C處，…；棋子落在點B處的概率是．

11

14．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖所示兩個矩形A和B，若矩形B的周長是矩形A的周長的k倍，

矩形B的面積也是矩形A的面積的k倍，則稱k