PAGE1專題25概率初步（10大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)1.概率1.確定事件與隨機(jī)事件：（1）確定事:事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性的大?。弘S機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：3.概率的意義：（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率，會穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．

（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．

知識點(diǎn)2.概率的計(jì)算求概率的常見方法有：列舉法、樹狀圖法、列表法.知識點(diǎn)3.用頻率估計(jì)概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率．【類型1】事件的分類1．（2025·湖北·中考真題）在下列事件中，不可能事件是（

）A．投擲一枚硬幣，正面向上 B．從只有紅球的袋子中摸出黃球C．任意畫一個(gè)圓，它是軸對稱圖形 D．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心【答案】B【分析】本題考查的是事件的分類以及不可能事件的含義，根據(jù)不可能事件的定義，即在一定條件下必然不會發(fā)生的事件，對各選項(xiàng)逐一分析.【詳解】解：選項(xiàng)A：投擲硬幣可能出現(xiàn)正面或反面，是隨機(jī)事件，不合題意；選項(xiàng)B：袋子中僅有紅球，無黃球，因此摸出黃球不可能發(fā)生，屬于不可能事件，符合題意；選項(xiàng)C：圓無論大小或位置，始終是軸對稱圖形，屬于必然事件，不合題意；選項(xiàng)D：射擊可能命中或脫靶，是隨機(jī)事件，不合題意；綜上，只有選項(xiàng)B符合不可能事件的定義，故選：B．2．（23-24九年級上·北京東城·期末）在下列事件中，隨機(jī)事件是（

）A．投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)為2B．從裝滿紅球的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是白球C．通常情況下，自來水在結(jié)冰D．投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過6【答案】A【分析】本題考查了隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念判斷．【詳解】解：A、投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)為2，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)符合題意；B、從裝滿紅球的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是白球，是不可能事件，故此選項(xiàng)不符合題意；C、通常情況下，自來水在結(jié)冰，是不可能事件，故此選項(xiàng)不符合題意；D、投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過6，是必然事件，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）文化體驗(yàn)一休得罪了幕府將軍，將軍決定處罰一休，幸得安國寺長老和百姓們的求情，將軍同意讓一休自己來決定自己的命運(yùn)．方法是：將軍寫下兩張簽，一張罰，一張免，讓一休抽簽，抽中罰則罰，抽中免則免．將軍一心想處罰一休，在兩張簽上都寫上“罰”.一休早就料到了這一點(diǎn)，抽中之后將手中之簽銷毀，讓眾人看另一張簽，另一張是“罰”，一休手中自然是“免”．請你分析以上內(nèi)容中的必然事件、隨機(jī)事件和不可能事件．【答案】見解析【分析】根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件和不可能事件的定義解答．【詳解】解：將軍的陰謀中，一休被罰是必然事件；原本的方法中，一休被罰是隨機(jī)事件；一休的辦法中，一休被罰是不可能事件．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件．4．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）世界杯小組賽分成八個(gè)小組，每小組4個(gè)隊(duì)，小組進(jìn)行單循環(huán)（每個(gè)隊(duì)都與該小組的其他隊(duì)比賽一場）比賽，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，積分最高的2個(gè)隊(duì)進(jìn)入16強(qiáng)，請問：(1)每小組共比賽多少場？(2)在小組比賽中，現(xiàn)有一隊(duì)得到6分，該隊(duì)出線是確定性事件還是隨機(jī)事件？【答案】(1)每小組共比賽6場；(2)該隊(duì)出線是一個(gè)隨機(jī)事件．【分析】（1）每個(gè)小組有4個(gè)隊(duì)，每隊(duì)要和其余的3個(gè)隊(duì)進(jìn)行比賽，故要比賽場，而每兩隊(duì)之間只比賽一場，因此再除以2可完成解答；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先求出每組的最高得分，再求出剩下的分?jǐn)?shù)，然后結(jié)合確定事件和隨機(jī)事件的概念進(jìn)行判斷，即可完成解答．【詳解】（1）解：（場）答：每小組共比賽6場；（2）解：因?yàn)榭偣灿?場比賽，每場比賽最多可得3分，則6場比賽最多共有分，現(xiàn)有一隊(duì)得6分，還剩下12分，則還有可能有2個(gè)隊(duì)同時(shí)得6分，故不能確保該隊(duì)出線，因此該隊(duì)出線是一個(gè)隨機(jī)事件．【點(diǎn)睛】此題考查了隨機(jī)事件，掌握不可能事件，必然事件，隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵．【類型2】概率的認(rèn)識5．（24-25九年級上·甘肅慶陽·期末）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．如果某彩票的中獎概率是，那么一次購買張這種彩票一定會中獎B．“經(jīng)過有交通信號燈的路口時(shí)遇到紅燈”是隨機(jī)事件C．“平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是必然事件D．“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是”是不可能事件【答案】A【分析】本題考查了事件的分類和概率，根據(jù)概率的意義及隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件的定義逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、如果某彩票的中獎概率是，那么一次購買張這種彩票不一定會中獎，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；、“經(jīng)過有交通信號燈的路口時(shí)遇到紅燈”是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)說法正確，不合題意；、“平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是必然事件，該選項(xiàng)說法正確，不合題意；、“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是”是不可能事件，該選項(xiàng)說法正確，不合題意；故選：．6．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）某事件A發(fā)生的概率是，則下列推斷正確的是（

）A．做100次這種實(shí)驗(yàn)，事件A必發(fā)生3次B．做100次這種實(shí)驗(yàn)，事件A不可能發(fā)生4次C．做1000次這種實(shí)驗(yàn)，事件A必發(fā)生30次D．大量重復(fù)做這種實(shí)驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生3次【答案】D【分析】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率的意義，即可解答．【詳解】解：某事件A發(fā)生的概率是，大量重復(fù)做這種實(shí)驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生3次，故選：D7．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）如果買1張彩票中獎的概率是，那么買1張彩票一定不會中獎嗎？買1000張彩票一定能中獎嗎？【答案】見解析【分析】買1000張彩票結(jié)果是隨機(jī)的，再結(jié)合買1000張彩票中獎的可能性比買1張彩票中獎的可能性大，解答即可．【詳解】解：買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，只能說買1000張彩票中獎的可能性比買1張彩票中獎的可能性大，買1張彩票有可能中獎，買1000張彩票不一定中獎，買1張彩票有可能中獎，買1000張彩票不一定中獎．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．【類型3】概率公式8．（2023·浙江溫州·一模）把一枚質(zhì)地均勻的骰子（各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)為1~6）拋擲一次，落地后，朝上面的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一步概率問題求解，根據(jù)題意，把一枚質(zhì)地均勻的骰子（各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)為1~6）拋擲一次，落地后，朝上面的點(diǎn)數(shù)為共6種等可能得結(jié)果，其中是奇數(shù)的有共3種，由簡單概率公式代值求解即可得到答案，熟練掌握一步概率問題的求解方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：把一枚質(zhì)地均勻的骰子（各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)為1~6）拋擲一次，落地后，朝上面的點(diǎn)數(shù)為共6種等可能得結(jié)果，其中是奇數(shù)的有共3種，朝上面的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為，故選：C．9．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在絕對值小于3的非零整數(shù)中，隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，其倒數(shù)等于本身的概率是．【答案】【分析】本題考查的是概率公式，倒數(shù)的含義，絕對值的含義，熟記隨機(jī)事件的概率公式是解答此題的關(guān)鍵．先得出絕對值小于3的非零整數(shù)有，，1，2，再結(jié)合倒數(shù)等于本身的數(shù)，根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵絕對值小于3的非零整數(shù)有，，1，2，共4個(gè)，其中倒數(shù)等于本身的有和1這兩個(gè)數(shù)，∴P（倒數(shù)等于本身）．故答案為：10．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）一個(gè)不透明的袋子中裝有9個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，從中任意摸出一個(gè)球．(1)“摸到紅球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”）(2)如果要使摸到白球的概率為，需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？【答案】(1)隨機(jī)；不可能(2)需要往盒子里再放入4個(gè)白球【分析】（1）根據(jù)不可能事件，隨機(jī)事件的含義可得答案．（2）設(shè)再放入x個(gè)白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可．【詳解】（1）解：一個(gè)不透明的袋子中裝有9個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，從中任意摸出一個(gè)球．“摸到紅球”是隨機(jī)事件，“摸到黑球”是不可能事件；（2）解：設(shè)需要往盒子里再放入x個(gè)白球，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故需要往盒子里再放入4個(gè)白球．【點(diǎn)睛】本題考查了不可能事件，隨機(jī)事件，概率的計(jì)算，分式方程的應(yīng)用，熟記概率的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．11．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）在一個(gè)不透明的袋子里裝有2個(gè)白球，3個(gè)黃球，每個(gè)球除顏色外均相同，現(xiàn)將同樣除顏色外都相同的黃球和白球若干個(gè)（白球個(gè)數(shù)是黃球個(gè)數(shù)的2倍）放入袋中，攪勻后，若從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是，求后放入袋中的黃球的個(gè)數(shù)．【答案】【分析】設(shè)放入袋中的黃球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)概率公式列方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)放入袋中的黃球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得．答：放入袋中的黃球的個(gè)數(shù)為1．【點(diǎn)睛】本題考查已知概率求數(shù)量．解題的關(guān)鍵是掌握概率公式，正確的列出方程．【類型4】幾何概率12．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣．假設(shè)飛鏢擊中任何一個(gè)位置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區(qū)域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），則飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了幾何概率，掌握某事件的概率等于這個(gè)事件所占有的面積與總面積之比成為解題的關(guān)鍵．先計(jì)算出陰影部分的面積，然后計(jì)算陰影部分的面積與整個(gè)圖形的面積的比即可．【詳解】解：∵陰影部分為正方形，正方形的邊長為，∴陰影區(qū)域的面積為，∵整個(gè)正方形的面積為，∴飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是．故選C．13．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上（小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的），若飛鏢落在鏢盤上各點(diǎn)的機(jī)會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了幾何概率．圖示可看出，小等邊三角形與大等邊三角形是相似三角形，利用小等邊三角形與大等邊三角形的面積之比等于相似比的平方可得出，小正六邊形的面積等于大正六邊形面積的四分之一，從而得出飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為四分之一．【詳解】如下圖，

∵小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的，即由知，，∴，∴陰影區(qū)域（小正六邊形）的面積等于大正六邊形面積的，∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．故選：C．14．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）如圖，正方形的邊長為2，分別以、為圓心，正方形的邊長為半徑畫弧，在正方形中隨機(jī)拋擲一粒豆子，則豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查了幾何概率的求法，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是求得陰影部分的面積．用陰影部分的面積除以正方形的總面積即可求得概率．【詳解】解：所以在該正方形內(nèi)隨意拋一粒豆子，則豆子落在陰影部分的概率為故選：A．15．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知矩形，在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，連接，如果矩形內(nèi)每一點(diǎn)被取到的可能性都相同，則是銳角三角形的概率為（結(jié)果保留）．【答案】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，利用幾何概型概率公式求解，只需分別求出矩形的面積以及滿足是銳角三角形的區(qū)域的面積即可．解題關(guān)鍵在于理解題目的幾何背景和銳角三角形的條件．【詳解】解：矩形的面積為，∵當(dāng)是直角三角形時(shí)，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上，∴當(dāng)是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的半圓外，∵是直徑，則半徑為，∴半圓的面積為∴是銳角三角形的概率為故答案為：．【類型5】列舉法求概率16．（2017·廣西南寧·一模）連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“兩枚正面朝上”的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題主要考查了等可能事件的概率．先求出連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的結(jié)果有4種，其中兩枚正面朝上共有1種結(jié)果，再利用概率公式即可得出答案．【詳解】解：連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，共有4種結(jié)果：正正，正負(fù)，負(fù)正，負(fù)負(fù)，∴“兩枚正面朝上”的概率是．故答案為：A．17．（2022·安徽馬鞍山·一模）如圖，在1×3的正方形網(wǎng)格上確定了兩個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），從其余的格點(diǎn)中隨機(jī)選取第三個(gè)格點(diǎn)，與這兩個(gè)格點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由概率公式求解即可．【詳解】解：∵在的正方形網(wǎng)格中共有8個(gè)格點(diǎn)，確定了兩個(gè)格點(diǎn)，∴從其余的格點(diǎn)中隨機(jī)選取第三個(gè)格點(diǎn)，與這兩個(gè)格點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式以及等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．（21-22九年級下·貴州黔南·階段練習(xí)）若標(biāo)有A，B，C的三只燈籠按圖示懸掛，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，則最后一只摘到B的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由摘取的順序有三種等可能的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：由摘取的順序有三種等可能的結(jié)果，最后一只摘到的概率是，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求概率，找出所有的等可能性是解題的關(guān)鍵．19．（2024·江蘇南京·一模）如圖，某商場制作了一個(gè)抽獎轉(zhuǎn)盤，分設(shè)一、二等獎，其中一等獎的扇形圓心角為．小麗在商場先后消費(fèi)兩次，獲得兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤機(jī)會（指針指向分界處時(shí)重轉(zhuǎn)一次）．(1)小麗第一次轉(zhuǎn)到一等獎的概率是；(2)求小麗兩次都轉(zhuǎn)到一等獎的概率．【答案】(1)(2)小麗兩次都轉(zhuǎn)到一等獎的概率為．【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，掌握概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（）用除以即可求解；（）利用列舉法求出總的結(jié)果數(shù)和小麗轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)盤的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：小麗第一次轉(zhuǎn)到一等獎的概率是；故答案為：；（2）解：將一等獎區(qū)域記為A，二等獎區(qū)域平均劃分為兩個(gè)區(qū)域，分別記為B，C．小麗轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)盤的結(jié)果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B），（C，C）共有9種結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性相同．滿足兩次一等獎的結(jié)果有1種，即（A，A），所以小麗兩次都轉(zhuǎn)到一等獎的概率為．【類型6】樹狀圖法求概率20．（21-22九年級上·江西吉安·期末）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)、、中的兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，利用樹狀圖求概率即可．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡發(fā)光的概率為：．故選：B．21．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些球除標(biāo)號外都相同，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號之和不小于5的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的情況，再利用概率公式即可求得答案．本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：共有20種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標(biāo)號之和不小于5的有種結(jié)果，兩次摸出的小球的標(biāo)號之和不小于5的概率為；故選：D．22．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）某班四個(gè)數(shù)學(xué)小組，準(zhǔn)備研讀四部古代數(shù)學(xué)著作．現(xiàn)制作背面完全相同的4張卡片，正面分別寫有《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《數(shù)術(shù)記遺》，將4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個(gè)小組選一代表從中依次抽取一張卡片．(1)第一學(xué)習(xí)小組抽到《五經(jīng)算術(shù)》的概率是__________________________．(2)若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率．【答案】(1)；(2)兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率是．【分析】（）直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（）畫出樹狀圖，利用概率公式計(jì)算即可；本題考查了概率公式，樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵共有張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，∴第一學(xué)習(xí)小組抽到《五經(jīng)算術(shù)》的概率是，故答案為：；（2）解：設(shè)正面分別寫有《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》，《五經(jīng)算術(shù)》，《數(shù)術(shù)記遺》的卡片分別用表示，畫樹狀圖，一共有種等可能情況，兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》有種，∴兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率是．23．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）3張相同的卡片上分別寫有中國二十四節(jié)氣中的“小滿”、“芒種”、“夏至”的字樣，將卡片的背面朝上．(1)洗勻后，從中任意抽取1張卡片，抽到寫有“小滿”的卡片的概率等于__________；(2)洗勻后，從中任意抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到一張寫有“芒種”，一張寫有“夏至”的卡片的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到一張寫有“芒種”，一張寫有“夏至”的卡片的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：張相同的卡片上分別寫有中國二十四節(jié)氣中的“小滿”、“芒種”、“夏至”的字樣，洗勻后，從中任意抽取1張卡片，抽到寫有“小滿”的卡片的概率，故答案為：；（2）解：把寫有中國二十四節(jié)氣中的“小滿”、“芒種”、“夏至”3張卡片分別記為、、，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到一張寫有“芒種”，一張寫有“夏至”的卡片的結(jié)果有2種，抽到一張寫有“芒種”，一張寫有“夏至”的卡片的概率為．【類型7】列表法法求概率24．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，這兩個(gè)小球除顏色外都相同．將球搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，然后放回袋中并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．用畫樹狀圖或列表的方法，求第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率．【答案】【分析】本題主要考查了概率．熟練掌握列表法或畫樹狀圖求概率，是解決問題的關(guān)鍵．列表，得到4種等可能結(jié)果，其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的有1種，得到第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率為．【詳解】解：列表如下：

第二次第一次紅綠紅（紅，紅）（紅，綠）綠（綠，紅）（綠，綠）由上表可知，一共有4種等可能的結(jié)果，其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的結(jié)果有1種，第一次摸到紅球、第二次摸到綠球．故第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率為．25．（19-20九年級上·全國·單元測試）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)著漢字“魅”“力”“平”“涼”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸前先攪拌均勻．(1)若從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為______；(2)先從中任取一個(gè)球，不放回，再從中任取一個(gè)球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕剩敬鸢浮?1)(2)摸出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕蕿椋痉治觥勘绢}考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．（1）直接利用概率公式求解；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡慕Y(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）解：從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為；（2）解：列表如下：魅力平?jīng)鲼龋?，魅）（平，魅）（涼，魅）力（魅，力）（平，力）（涼，力）平（魅，平）（力，平）（涼，平）涼（魅，涼）（力，涼）（平，涼）由列表可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡慕Y(jié)果有2種，即（涼，平）；（平，涼），摸出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕蕿椋?6．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）一個(gè)不透明的布袋里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．從布袋中摸出個(gè)球后不放回，再摸出個(gè)球．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出兩次摸出的球都是白球的概率．【答案】兩次摸出的球都是白球的概率為【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．列表得出所有等可能的情況數(shù)和兩次都摸出白球的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，兩次摸球情況如下：第一次摸球第二次摸球白白黑紅白（白，白）（白，黑）（白，紅）白（白，白）（白，黑）（白，紅）黑（黑，白）（黑，白）（黑，紅）紅（紅，白）（紅，白）（紅，黑）由此可知，共有種等可能結(jié)果，其中兩次都是白球的有種，兩次摸出的球都是白球的概率為：．【類型8】用頻率估計(jì)概率27．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某射擊運(yùn)動員在同一條件下進(jìn)行練習(xí)，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)10205010020050010002000擊中10環(huán)次數(shù)81944931784538991802擊中10環(huán)頻率(1)計(jì)算表中擊中10環(huán)的各個(gè)頻率；(2)這名運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為多少？【答案】(1)見解析(2)這名運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為0.9【分析】本題考查有理數(shù)除法，由頻率估計(jì)概率等．（1）按表格中所給數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）在大次數(shù)的試驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的頻率逐漸接近該事件發(fā)生的概率，并圍繞概率作小幅波動，結(jié)合（1）中計(jì)算所得數(shù)據(jù)可以估計(jì)出這么運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率．【詳解】（1）解：計(jì)算結(jié)果如下表：射擊次數(shù)n10205010050010002000擊中10環(huán)次數(shù)m81944931784538991802擊中10環(huán)頻率（2）解：∵由（1）中的計(jì)算結(jié)果可知，這名運(yùn)動員的頻率隨著射擊次數(shù)的增加，擊中10環(huán)的頻率逐漸穩(wěn)定在附近，并圍繞作小幅波動，∴由此估計(jì)這名運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率為．28．（19-20九年級上·全國·課后作業(yè)）王老師將1個(gè)黑球和若干個(gè)白球放入一個(gè)不透明的口袋并攪勻，讓若干學(xué)生進(jìn)行摸球試驗(yàn)，每次摸出一個(gè)球（有放回），下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到黑球的次數(shù)m233160130203251摸到黑球的頻率0.2300.2310.3000.2600.254(1)補(bǔ)全表中的有關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)從袋中摸出一個(gè)球是黑球的概率是；(2)估計(jì)袋中白球的個(gè)數(shù)；(3)在（2）的條件下，若小強(qiáng)同學(xué)有放回地連續(xù)兩次摸球，用畫樹狀圖或列表的方法計(jì)算他兩次都摸出白球的概率．【答案】(1)0.251，0.25(2)3(3)【分析】此題考查了利用頻率估計(jì)概率以及樹狀圖法與列表法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）利用頻數(shù)總數(shù)頻率求出答案，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸穩(wěn)定在0.25左右，即為摸出黑球的概率；（2）設(shè)袋子中白球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)摸出黑球的概率列出方程，進(jìn)一步求解即可得出答案；（3）先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到他兩次都摸出白球的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：表中數(shù)據(jù)：，觀察表格得：通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，估計(jì)從袋中摸出一個(gè)球是黑球的概率是0.25；故答案為：0.25；（2）解：設(shè)袋子中白球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意，得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，估算袋中白球的個(gè)數(shù)為3；（3）解：畫樹狀圖得：

共有16種等可能的結(jié)果，兩次都摸到白球的有9種情況，兩次都摸出白球的概率為．29．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外其余完全相同．小穎做摸球試驗(yàn)，攪勻后，她從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，表格是實(shí)驗(yàn)中的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1020501002004005001000摸到白球的次數(shù)m4710284597127252摸到白球的頻率m0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252(1)請估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會接近（精確到0.01）；(2)試估算盒子里白球有個(gè)；(3)某小組進(jìn)行“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)，符合（1）中結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上．②擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點(diǎn)數(shù)分別為1到6），落地時(shí)面朝上點(diǎn)數(shù)“大于4”．③從一副不含大小王的撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅桃”．④在一道單選題A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)任選一個(gè)，正好選中正確選項(xiàng)．【答案】(1)(2)(3)③④【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率．大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點(diǎn)為：部分的具體數(shù)目總體數(shù)目相應(yīng)頻率．（1）由表中的最大值所對應(yīng)的頻率即為所求；（2）根據(jù)白球個(gè)數(shù)球的總數(shù)得到的白球的概率，即可得出答案；（3）試驗(yàn)結(jié)果在附近波動，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案．【詳解】（1）解：由表可知，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會接近；故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：（個(gè)），故答案為：；（3）解：①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點(diǎn)數(shù)分別為1到6），落地時(shí)面朝上點(diǎn)數(shù)“大于4”的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；從一副不含大小王的撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅桃”的概率為，故此選項(xiàng)符合題意；在一道單選題A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)任選一個(gè)，正好選中正確選項(xiàng)的概率為，故此選項(xiàng)符合題意．故答案為：③④．【類型9】游戲的公平性30．（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤、分別被分成等份、等份，并在每份內(nèi)均標(biāo)有數(shù)字，如圖所示．王揚(yáng)和劉菲同學(xué)用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：①分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤與．②兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個(gè)指針?biāo)阜輧?nèi)的數(shù)字相加（如果指針恰好停在等分線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份為止）．③如果和為，王揚(yáng)獲勝；否則劉非獲勝．(1)用列表法（或樹狀圖）求王揚(yáng)獲勝的概率；(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？若不公平，請制定一個(gè)新的游戲規(guī)則．【答案】(1)(2)不公平，新的游戲規(guī)則見解析【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷以及列表法與樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）用列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，再根據(jù)概率的意義求解即可；（2）根據(jù)獲勝概率的大小判斷游戲規(guī)則不公平，新的游戲規(guī)則合理即可．【詳解】（1）解：列表如下：╲0002210332共有種等可能的結(jié)果，其中和為的結(jié)果有種，王揚(yáng)獲勝的概率；（2）解：這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平，理由如下：由（1）可知，王揚(yáng)獲勝的概率為，劉菲獲勝的概率為，，二人獲勝的概率不相等，因此游戲不公平，新的游戲規(guī)則如下：分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤與；兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，將兩個(gè)指針?biāo)阜輧?nèi)的數(shù)字相加（如果指針恰好停在等分線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份為止）；如果和為，王揚(yáng)獲勝，和為劉菲獲勝．31．（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)盤被平均分成八等份，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8這八個(gè)數(shù)字，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．

(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于4的概率是_______；(2)小明和小強(qiáng)玩轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的倍數(shù)小明勝，為3的倍數(shù)小強(qiáng)勝，這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請你設(shè)計(jì)出公平的游戲規(guī)則．【答案】(1)(2)不公平；設(shè)計(jì)的方案：轉(zhuǎn)出數(shù)字是奇數(shù)，則小明勝，轉(zhuǎn)出數(shù)字是偶數(shù)，則小強(qiáng)勝（答案不唯一，設(shè)計(jì)方案正確即可）【分析】本題主要考查了幾何概率、概率的應(yīng)用等知識點(diǎn)，掌握幾何概率的求法成為解題的關(guān)鍵．（1）轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于4的可能是1、2、3、4這4種結(jié)果，利用概率公式即可解答；（2）先分別求出轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的倍數(shù)、3的倍數(shù)的概率，然后再比較即可判定游戲的公平性；然后設(shè)計(jì)出公平的游戲方案即可．【詳解】（1）解：轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于4的可能是1、2、3、4這4種結(jié)果，則轉(zhuǎn)出的數(shù)字不大于4的概率是．故答案為：．（2）解：轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的倍的可能是2、4、6、8，即小明勝的概率為；轉(zhuǎn)出的數(shù)字為3的倍的可能是3、6、9，即小強(qiáng)勝的概率為；由，故該游戲不公平；設(shè)計(jì)的方案：轉(zhuǎn)出數(shù)字是奇數(shù)，則小明勝，轉(zhuǎn)出數(shù)字是偶數(shù)，則小強(qiáng)勝．32．（23-24九年級下·云南·階段練習(xí)）甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：將正面分別寫著數(shù)字，0，1，2的四張卡片（注：這四張卡片的形狀、大小質(zhì)地、顏色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，這四張卡片看上去無任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，甲從中先隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為；再把剩下的三張卡片洗勻后，背面向上放在桌面上，乙從這三張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，若，則甲獲勝；否則乙獲勝．(1)請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．【答案】(1)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種(2)公平，理由見解析【分析】本題考查了用列舉法求等可能事件的概率，掌握用列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率是解題的關(guān)鍵．（1）用用列表法或畫樹狀圖法，即可求出答案；（2）分別求出甲、乙獲勝的概率，即得答案．【詳解】（1）（1）方法一：由題意可列表如下，

012012由表可知，可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有12種；方法二，畫樹狀圖如下：可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有12種；（2）這個(gè)游戲公平，理由如下：由列表（或樹狀圖）可知，共用12種等可能的結(jié)果，的情況有6種，P（甲獲勝）∵的情況有6種，P（乙獲勝），這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平．【類型10】概率與方程、函數(shù)問題33．（四川雅安·一模）大課間活動時(shí)，有兩個(gè)同學(xué)做了一個(gè)數(shù)字游戲：有三張正面寫有數(shù)字，，的卡片，它們背面完全相同，將這三張卡片背面朝上洗勻后，其中一個(gè)同學(xué)隨機(jī)抽取一張，將其正面的數(shù)字作為的值，然后將卡片放回并洗勻，另一個(gè)同學(xué)再從這三張卡片中隨機(jī)抽取一張，將其正面的數(shù)字作為值，兩次結(jié)果記為．(1)請你幫他們用樹狀圖或列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)求滿足關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)解的概率．【答案】(1)(1，1)，(1，0)，(1，-1)，(0，1)，(0，0)，(0，-1)，(-1，1)，(-1，0)，(-1，-1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，可得到一共有9種等可能性的結(jié)果，即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式，可得p2-4q<0，又有(1，1)，(0，1)，(-1，1)滿足p2<4q，再根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如下圖：由樹狀圖可得：一共有9種等可能性的結(jié)果分別是：(1，1)，(1，0)，(1，-1)，(0，1)，(0，0)，(0，-1)，(-1，1)，(-1，0)，(-1，-1)；（2）∵方程沒有實(shí)數(shù)解，∴?<0，即p2-4q<0，∴p2<4q，而(1，1)，(0，1)，(-1，1)滿足p2<4q，∴滿足關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解的概率是：．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．34．（2024·云南·模擬預(yù)測）愛好數(shù)學(xué)的甲、乙兩個(gè)同學(xué)做了一個(gè)數(shù)字游戲：拿出三張正面寫有數(shù)字，0，1且背面完全相同的卡片，將這三張卡片背面朝上洗勻后，甲先隨機(jī)抽取一張，將所得數(shù)字作為的值，然后將卡片放回并洗勻，乙再從這三張卡片中隨機(jī)抽取一張，將所得數(shù)字作為值，兩次結(jié)果記為．請用樹狀圖或列表法求一次函數(shù)沒有經(jīng)過一、二、三象限的概率．【答案】【分析】本題考查列舉法解決兩步概率問題，涉及列表法、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、簡單概率公式等知識，現(xiàn)根據(jù)題意，由列表法得到兩次結(jié)果構(gòu)成的有序數(shù)對的所有情況，再利用一次函數(shù)圖象與性質(zhì)分析滿足題意的結(jié)果數(shù)，最后利用簡單概率公式代值求解即可得到答案，熟練掌握列表法、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：列表如下：

乙甲0101按照要求構(gòu)成的共有種等可能的結(jié)果，若一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，，則使一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限的只有一種，（一次函數(shù)沒有經(jīng)過一、二、三象限）．一、單選題1．（23-24九年級上·河北廊坊·期末）某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置如下：紅燈秒，綠燈秒，黃燈秒．當(dāng)出租車經(jīng)過該路口，遇到哪一種燈的可能性最大（

）A．紅燈 B．綠燈 C．黃燈 D．不能確定【答案】B【分析】此題考查了可能性的大小，根據(jù)在這幾種燈中，每種燈時(shí)間的長短，即可得出答案，理解概率的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)榫G燈持續(xù)的時(shí)間最長，黃燈持續(xù)的時(shí)間最短，所以人或車隨意經(jīng)過該路口時(shí)，遇到綠燈的可能性最大，遇到黃燈的可能性最小，故選：．2．（21-22九年級下·北京·單元測試）一個(gè)袋中裝有20個(gè)球，其中有5個(gè)黑球和15個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)概率公式直接計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵袋中裝有20個(gè)球，其中有5個(gè)黑球和15個(gè)白球，∴從中任意摸出一個(gè)球，摸到白球的概率．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能情形下的概率計(jì)算，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．3．（22-23九年級上·遼寧錦州·期中）在一個(gè)不透明的布袋中裝有70個(gè)白球和若干個(gè)黑球，除顏色外其他都相同，小強(qiáng)每次摸出一個(gè)球記錄下顏色后并放回，通過多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.125左右，則布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有（

）A．9 B．10 C．18 D．20【答案】B【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率；解題關(guān)鍵是通過頻率估計(jì)概率，用概率求黑球的個(gè)數(shù)．在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，設(shè)布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有x個(gè)，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有x個(gè)，依題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有個(gè)．故選：B．4．（24-25九年級上·河南鶴壁·階段練習(xí)）下列各事件中，是隨機(jī)事件的是（

）A．若a是實(shí)數(shù)，

則B．從裝有2個(gè)白球、

3個(gè)紅球的箱子里取出3個(gè)白球C．某運(yùn)動員跳高的最好成績是米D．從車間剛生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽一個(gè)，恰好是次品【答案】D【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、若是實(shí)數(shù)，則，是必然事件，不符合題意；B、從裝有2個(gè)白球、

3個(gè)紅球的箱子里取出3個(gè)白球，是不可能事件，不符合題意；C、某運(yùn)動員跳高的最好成績是，是不可能事件，不符合題意；D、從車間剛生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽一個(gè)，恰好是次品，是隨機(jī)事件，符合題意；故選：D．5．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）筆筒中有9支型號、顏色完全相同的鉛筆，將它們逐一標(biāo)上的號碼，若從筆筒中任意抽出一支鉛筆，則抽到的鉛筆編號是3的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查概率公式的應(yīng)用，掌握隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵．由標(biāo)有的號碼的9支鉛筆中，標(biāo)號為3的倍數(shù)的有3、6、9這3種情況，然后利用概率公式計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵在標(biāo)有的號碼的9支鉛筆中，編號是3的倍數(shù)的有3、6、9這3種情況∴抽到編號是3的倍數(shù)的概率是．故選C．6．（24-25九年級上·陜西榆林·期中）用如圖所示的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲：游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么他就贏了．根據(jù)游戲規(guī)則，游戲者獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率；右邊轉(zhuǎn)盤的紅色部分的圓心角是，相當(dāng)于個(gè)紅色部分，根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解，掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：右邊轉(zhuǎn)盤的紅色部分的圓心角是，相當(dāng)于個(gè)紅色部分，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中一個(gè)是紅色，另一個(gè)是藍(lán)色的結(jié)果有種，∴游戲者獲勝的概率為，故選：．7．（24-25九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在三條橫線和三條豎線組成的圖形中，任選兩條橫線和兩條豎線都可以構(gòu)成一個(gè)矩形，從這些矩形中任選一個(gè)，則所選矩形含點(diǎn)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．根據(jù)題意兩條橫線和兩條豎線都可以組成矩形個(gè)數(shù)，再得出含點(diǎn)A矩形個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用概率公式求出即可．【詳解】解：兩條橫線和兩條豎線都可以組成一個(gè)矩形，則如圖的三條橫線和三條豎線可以組成9個(gè)矩形，其中含點(diǎn)A矩形4個(gè)，∴所選矩形含點(diǎn)A的概率是故選：D8．（24-25九年級上·廣東惠州·期末）如圖1所示，有一個(gè)不規(guī)則的圖案（圖中畫圖部分），小帆想估算該圖案的面積.他采取了以下的辦法：用一個(gè)長為，寬為的矩形，將不規(guī)則圖案圍起來，再在適當(dāng)位置隨機(jī)地向矩形區(qū)域扔小球，并記錄小球在不規(guī)則圖案內(nèi)的頻率，如圖2（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計(jì)入試驗(yàn)結(jié)果），則不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何概率和用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率約為．根據(jù)圖可得，小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率約為，設(shè)不規(guī)則圖案的面積為，再根據(jù)幾何概率可得：不規(guī)則圖案的面積長方形的面積=小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率，列出方程即可求解．【詳解】解：由題意可得：小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率約為，長方形的面積為，設(shè)不規(guī)則圖案的面積為，則，解得：．即不規(guī)則圖案的面積約為．故選：B．二、填空題9．（23-24九年級上·廣西河池·期末）一個(gè)不透明布袋里有3個(gè)紅球，4個(gè)白球和m個(gè)黃球，這些球除顏色外其余都相同．若從中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率為0.25，則m的值為．【答案】5【分析】本題考查了概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題意求出布袋中球的總數(shù)．根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出總的球的個(gè)數(shù)，從而可以求得的值．【詳解】由題意可得，布袋中球的總數(shù)為：（個(gè)），所以故答案為：5．10．（24-25九年級上·福建福州·期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有黑、白兩種顏色的球共10只，這些球除顏色外都相同．某數(shù)學(xué)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：則從袋子中隨機(jī)摸出一球，這只球是白球的概率是．（精確到0.1）摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球次數(shù)m5896116295484598摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.598【答案】0.6【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率；用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．根據(jù)利用頻率估計(jì)概率，由于摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，由此可估計(jì)摸到白球的概率為0.6．【詳解】解：根據(jù)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率為0.6．故答案為：0.6．11．（22-23七年級下·安徽宿州·期末）中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》《算學(xué)啟蒙》《測圓海鏡》《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)，某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，選擇方案包含《算學(xué)啟蒙》的概率是．【答案】/【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式．畫樹狀圖表示出所有等可能得情況和恰好選中《周髀算經(jīng)》和《算學(xué)啟蒙》的情況，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：將四部名著《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》分別記為A，B，C，D，根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖：由樹狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果有12種，并且這12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中包含《算學(xué)啟蒙》的情況有6種，∴選擇方案包含《算學(xué)啟蒙》的概率是，故答案為：．12．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）下列事件中是確定事件的是（填序號）：①擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；②對于實(shí)數(shù)、，有；③車輛隨機(jī)經(jīng)過一個(gè)路口，遇到紅燈；④14人中至少有2人在同一個(gè)月過生日．【答案】②④/④②【分析】本題主要考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，掌握確定性事件包括不可能事件和必然事件成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：①擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，是隨機(jī)事件，不符合題意；②對于實(shí)數(shù)、，有，是不可能事件，是確定性事件，符合題意；③車輛隨機(jī)經(jīng)過一個(gè)路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；④14人中至少有2人在同一個(gè)月過生日是必然事件，是確定性事件，符合題意．故答案為：②④．13．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖，正方形邊長為1個(gè)單位長度，將一枚棋子按順時(shí)針方向依次沿正方形的四個(gè)頂點(diǎn)移動．每次開始時(shí)，棋子都位于點(diǎn)處；然后，擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)之和是幾就移動棋子幾個(gè)單位，如擲得的點(diǎn)數(shù)之和為3就移動3步落在點(diǎn)處，擲得的點(diǎn)數(shù)之和為6就移動6步落在點(diǎn)處，…；棋子落在點(diǎn)處的概率是．【答案】【分析】這是一個(gè)等可能事件的概率計(jì)算問題．在用等可能慨型的概率計(jì)算公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是計(jì)算試驗(yàn)中所有等可能的結(jié)果總數(shù)和所求事件中可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．當(dāng)可能的結(jié)果很多時(shí)，將它們一個(gè)重復(fù)、不遺漏地列出．此時(shí)，常用樹狀圖或者表的方法來幫助我們列出所有可能出現(xiàn)約結(jié)果．就本題而言，要使棋子落在點(diǎn)處，兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和必須為5和9．列表求出所有的等可能結(jié)果數(shù)和使棋子落在點(diǎn)處的可能結(jié)果數(shù)，利用概率公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)之和所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

123456123456723456783456789456789105678910116789101112總共有36種等可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．要使棋子落在點(diǎn)處，兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和必須為5和9．兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和5的結(jié)果有4種；兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為9的結(jié)果有4種；所以，使棋子落在點(diǎn)處的可能結(jié)果總共有（種）．因此，棋子落在點(diǎn)處的概率為．故答案為：14．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖所示兩個(gè)矩形和，若矩形的周長是矩形的周長的倍，矩形的面積也是矩形的面積的倍，則稱為矩形相對于矩形的“共比系數(shù)”．若時(shí)，矩形相對于矩形的“共比系數(shù)”為，則；若（均為正整數(shù)），則矩形相對于矩形的“共比系數(shù)”為的概率為．【答案】或3【分析】第一空：根據(jù)題意建立關(guān)于的式子，消去，得到關(guān)于的一元二次方程求解即可；第二空：同上思路，得到關(guān)于和的式子，進(jìn)而可以看成關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)正根問題，再將代入驗(yàn)證即可．【詳解】解：第一空：∵，∴矩形的周長為，矩形的面積為，∵，∴矩形的周長為，矩形的面積為，∴，∴，∴，∴，解得，或；第二空：同理（1）思路可得矩形的周長為，矩形的面積為，∵，∴矩形的周長為，矩形的面積為，∴，∴，，∴可以把和看成一元二次方程的兩個(gè)正根，∴，整理得，∵（均為正整數(shù)），∴，，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；∴共有組，符合題意的有組，矩形相對于矩形的“共比系數(shù)”為的概率為，故答案為：或；．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，整式的混合運(yùn)算，一元二次方程根的判別式，概率的計(jì)算，理解新定義的計(jì)算，整式的混合運(yùn)算法則，根的判別式的計(jì)算，概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（24-25九年級上·廣東汕頭·期末）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分；若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本，請你畫樹狀圖或者列表求抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是多少？【答案】【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是熟悉樹狀圖或列表法，并掌握概率計(jì)算公式．用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出抽取