PAGE1專題12二次函數(shù)與一元二次方程（7大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）方法歸納：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根.

2.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）【課前熱身】1．（2025·遼寧大連·二模）拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的根是（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2025·河南南陽(yáng)·二模）二次函數(shù)（，，，為常數(shù))的圖象如圖所示，若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．5．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)求二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)2、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解注：a＜0的情況請(qǐng)同學(xué)們自己完成．要點(diǎn)歸納：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號(hào)，其解集也相應(yīng)帶有等號(hào)．【課前熱身】1．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為和，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．或2．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A．或 B．C． D．或3．（22-23九年級(jí)上·廣西崇左·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是．4．（24-25九年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）如圖，是二次函數(shù)的圖象．(1)求二次函數(shù)解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．5．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)觀察圖像，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______．【類型1】二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題1．（24-25九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·云南昭通·期中）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（22-23九年級(jí)上·遼寧大連·期中）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)．若該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，求的面積．【類型2】二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題4．（2025·山東濱州·一模）將拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是．5．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！て谀┤舳魏瘮?shù)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則的面積是．6．（2025·遼寧盤錦·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)與軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)為．【類型3】二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)7．設(shè)二次函數(shù)，是常數(shù)，．（1）判斷該二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）若該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，求這個(gè)函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．8．（24-25九年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）已知拋物線的解析式為（為常數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為和之間的距離；(2)求證：拋物線與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．9．（2025·浙江·三模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，）．(1)求二次函數(shù)的對(duì)稱軸．(2)若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，二次函數(shù)是否存在最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求的取值范圍．【類型4】二次函數(shù)與一元二次方程10．（24-25九年級(jí)上·貴州·期中）已知二次函數(shù)．(1)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．11．（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若該函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求范圍．(2)若，求當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的范圍．12．（2025·天津和平·一模）已知二次函數(shù)（c為常數(shù)）．(1)若該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；(2)若該二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，求一元二次方程的解：(3)在自變量x的值滿足的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為，求c值．【類型5】根據(jù)圖象判斷一元二次方程解的情況13．（2025·廣西崇左·三模）如圖是二次函數(shù)的圖象，圖象上有兩點(diǎn)分別為，，則關(guān)于x的方程的一個(gè)根可能是（

）A． B． C． D．14．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，當(dāng)關(guān)于的方程（為實(shí)數(shù)）時(shí)，恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．15．（24-25九年級(jí)上·福建龍巖·期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且．(1)求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；(2)證明：直線與該拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．【類型5】根據(jù)圖象求不等式的解集16．（24-25九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)的圖象，使成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．或17．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．18．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于和兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_______．19．（24-25九年級(jí)上·重慶合川·期末）如圖，已知拋物線和直線相交于點(diǎn)和．(1)求和的值；(2)求拋物線的對(duì)稱軸；(3)結(jié)合圖象直接寫出滿足的的取值范圍．【類型6】求二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍20．（24-25八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，時(shí)函數(shù)y的最大值是1，則．21．（22-23九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是22．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)用你喜歡的方法將化成的形式．(2)用列表描點(diǎn)法，在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；______________________________…(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為______．23．（24-25九年級(jí)上·湖北隨州·階段練習(xí)）拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，過，兩點(diǎn)的直線．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．(2)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為___________．(3)當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是___________．(4)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【類型7】二次函數(shù)與方程、不等式的計(jì)算與證明綜合問題24．（2025·江蘇連云港·中考真題）已知二次函數(shù)，為常數(shù)．(1)若該二次函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若該二次函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)，求的值；(3)求證：該二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)．25．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為4．(1)求的值；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)．（i）若僅存在一個(gè)正數(shù)，使得，求的最大值；（ii）若，且當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．26．（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，拋物線（是常數(shù)，）與軸相交于點(diǎn)．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；(2)已知，若，有最大值9，求的值；(3)①求點(diǎn)坐標(biāo)；②已知，若拋物線經(jīng)過，和，且，求的取值范圍．一、單選題1．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）拋物線與軸相交的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)下·海南儋州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)與軸只有唯一的一個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定3．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2025·湖北黃石·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是拋物線的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，則下列結(jié)論：①；②；③；④一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（24-25九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．①該二次函數(shù)的最小值為；

②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。虎墼搾佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

④兩點(diǎn)之間的距離是4以上說法中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④6．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且7．（2025·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A．或或 B．或C．或 D．或或8．（24-25八年級(jí)下·福建三明·期中）如圖1，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為．類似地，如圖2是函數(shù)和函數(shù)的圖象，由圖象可知，不等式的解集為（

）A． B． C． D．或二、填空題9．（2025·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和原點(diǎn)O，則關(guān)于x的不等式的解集是．10．（24-25九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，過點(diǎn)且平行于軸的直線與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則不等式的解集為．11．（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)，則的取值范圍是．12．（2025·遼寧沈陽(yáng)·二模）關(guān)于的二次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為．13．（2025·河北唐山·二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得到，與x軸交于B，D兩點(diǎn)．若直線與始終有公共點(diǎn)，則k的最大值是．三、解答題14．（22-23九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知二次函數(shù)．(1)若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式；(2)若該二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為5，求的值．15．（23-24九年級(jí)上·陜西商洛·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．16．（2025·河南周口·二模）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)．(1)求拋物線解析式；(2)若將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新拋物線，且新拋物線與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的值．17．（24-25九年級(jí)上·廣西河池·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)方程的兩個(gè)根為；(2)當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，則變量y的取值范圍為；(3)若方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．18．（202