§1.3函數(shù)的極限1.3.1自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限1.3.2自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

1.3.3單邊極限1.3.4函數(shù)極限的性質(zhì)

1.3.5函數(shù)極限的四則運算法則

1.3.6函數(shù)極限的一種存在準則和兩個重要極限基本規(guī)定右極限之間的關(guān)系;2、掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則;3、掌握極限存在的準則，并會運用它們求極1、理解函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、限;4、掌握運用兩個重要極限求極限的辦法.1.3.1自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

x趨于無窮大，事實上涉及三種情形：x取正值無限增大；x取負值而絕對值無限增大;x既1.x趨于正無窮大(記作

無限增大.可取正值,也可取負值,而假設(shè)函數(shù)

(a

為某個常數(shù))時有定當義,討論當時函數(shù)的極限與時數(shù)列的極限是類似的.P28或正無窮大時函數(shù)f(x)的極限，記作趨向于某一種常數(shù)A，那么我們就稱A為當x趨向于

如果當時,對應的函數(shù)值f(x)無限地例如,由函數(shù)的圖形可見,,即

時,當常數(shù)或記作無限地趨向于類似于數(shù)列極限的定義,為了給出函數(shù)極限的表示x無限增大,定義.這里用用趨向于常數(shù)A.任意小)表示f(x)無限地下面給出的定義:

定義1設(shè)函數(shù)f(x)當有定義，如果函數(shù)f(x)與某個擬定的常數(shù)A滿足關(guān)系：對

成立,那么常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當或者說函數(shù)f(x)當時收斂于A，記作

或(a為某個常數(shù))時(無論多么小)，,當時時的極限,P29定義1的幾何意義：直線與,則總存在一種正數(shù)X,使得在區(qū)間這兩條直線之間.對的上、下方各作一,在直線內(nèi),函數(shù)f(x)的圖形完全位于P292.另兩種情形:使當恒有情形：情形：由于或以下結(jié)論:,從而可得例1證及類似地,用定義可以證明P301.3.2自變量趨于有限值時函數(shù)的極限考察函數(shù)

當時的變化趨勢。如下圖所示：下面討論當自變量x趨于有限值對應的無限接近于某一個常數(shù)A的情形。時，P30何種方式趨于2,對應的函數(shù)值時我們稱當時函數(shù)f(x)以3當x在實數(shù)軸上不管以f(x)與3無限靠近,這記作或為極限,0-1-2-3123-4-1-2123xy下面給出函數(shù)極限的無限靠近于常數(shù)A.(不論多么小),

表示一般地,用表示(即與的接近程度定義：時，定義,若對,0,0>d$>e"使當則稱函數(shù)當時以A為極限,記作

或設(shè)函數(shù)定義2的某一去心鄰域有在點恒有P31作一直線與得一帶形區(qū)域,則總能夠內(nèi)函數(shù)的圖形完全位于這兩條直線之間。函數(shù)時以A為極限的幾何解釋:當與使得在區(qū)間找到相應的的一個正數(shù),對任意給定的的上、下方各,在直線理解定義2應注意兩點：,從而得定義證明：例2用證

對于

,當時，有,只要于是要取，當，有P31證.且x不取負值00只要e<-xxx例3P311.3.3單邊(或單側(cè))極限或任何方式趨于x是以在上述時函數(shù)極限的定義2中，的

.換成

相應地把定義2中A稱為函數(shù)當時的左極限。即得的定義。如果僅從的左側(cè)趨于（記作）時，或記作P32或換成

相應地把定義2中即得的定義。A稱為函數(shù)當時的右極限。如果僅從的右側(cè)趨于（記作）時，同理可得右極限的概念：或記作下面給出左極限與右極限的關(guān)系：注意到定理1左、右極限的用途重要在下面兩個方面:(1)研究自變量趨于區(qū)間端點時,函數(shù)的極限問題;(2)研究分段函數(shù)在分段點兩側(cè)體現(xiàn)式不相似的情形,考察在分段點處的極限問題.例4判斷函數(shù)11-1-10解由于不存在。時極限是否存在?當P321.3.4函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性1.唯一性本節(jié)所討論的函數(shù)極限的多個情形也含有類似于§1.2所述的有關(guān)數(shù)列極限的那些性質(zhì).存在，則內(nèi)有界。某個去心鄰域定理3若在的P33下面給出定理3的證明，定理3′的證明類似：，當時,有

在和內(nèi)有界。定理3′若存在，那么必存在X>0,使得,取，則設(shè)即在的去心鄰域內(nèi)有界。3.局部保號性定理4若證設(shè)，由極限的定義,

必，當時,有

或?qū)Φ那闆r，取則,使得對于內(nèi)的一切，有,因,故P33推論設(shè)且A>B，由定理4的證明,可得下列更強的成果:定理4′若則使得，有類似地能夠證明:（或若），那么必存在,使得在和內(nèi),有.推論設(shè)若則或（）。證明從略（反證法）.定理5若在的某個去心鄰域內(nèi)P344.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系任何數(shù)列，當時,都有

函數(shù)極限不存在。另首先,可由函數(shù)定理5的作用：首先能夠通過數(shù)列定理5的充分必要條件是對于時的子數(shù)列.數(shù)列稱為當?shù)臉O限來確定函數(shù)極限的某些性質(zhì)或用來說明的極限來求數(shù)列的極限。P34證必要性充分性假設(shè)（反證法）則對，使得，現(xiàn)取一列必存在滿足與題設(shè)矛盾,故但由此得到一個收斂于的數(shù)列對應的函數(shù)值數(shù)列卻不可能以A為極限,二者不相等,例如證1.3.5函數(shù)極限的四則運算法則有關(guān)函數(shù)的極限,也有類似于數(shù)列極限的四則運算法則.為了簡樸起見，下面僅給出當時函數(shù)極限的運算法則，對于自變量的變化過程為其它情形時函數(shù)的極限也有類似法則。P35（1）(2)(3)，其中定理7若與都存在，則P35證(2)設(shè)。由定理6(利用必要性),對任何數(shù)列

，當時，有于是由數(shù)列極限的運算性質(zhì)

得再運用定理6(充足性)可得存在，且等于AB,即(2)成立.注定理7中（1）、（2）兩結(jié)論能