南京理工大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)測(cè)試題及答案一、選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.9，則P(AB)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.F(x)是單調(diào)不減函數(shù)B.F(x)右連續(xù)C.lim?→+∞F(x)=1，lim?→-∞F(x)=0D.P(a<X≤b)=F(b)-F(a-0)3.設(shè)X~N(μ,σ2)，Y=2X-1，則Y服從的分布為（）A.N(2μ-1,2σ2)B.N(2μ-1,4σ2)C.N(μ-1,σ2)D.N(μ-1,2σ2)4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=-2，D(X)=4，D(Y)=9，則相關(guān)系數(shù)ρ??為（）A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/35.設(shè)X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，E(X)=μ，D(X)=σ2，當(dāng)n充分大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值X?近似服從（）A.N(μ,σ2/n)B.N(μ,σ2)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ2)二、填空題（每小題4分，共20分）1.袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，不放回地依次取2個(gè)球，已知第一次取到紅球，則第二次取到白球的概率為_(kāi)_______。2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=???cx,0≤x≤2；0,其他，則常數(shù)c=________。3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：|Y\X|0|1||---|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|則P(X+Y≤1)=________。4.設(shè)X~P(λ)（泊松分布），且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=________。5.設(shè)總體X~N(μ,4)，從中抽取容量為16的樣本，樣本均值X?=5，則μ的95%置信區(qū)間為_(kāi)_______（Z?.???=1.96）。三、計(jì)算題（共50分）1.（10分）某實(shí)驗(yàn)室有甲、乙、丙三臺(tái)設(shè)備，發(fā)生故障的概率分別為0.1、0.2、0.3，且各設(shè)備是否故障相互獨(dú)立。（1）求至少有一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率；（2）已知至少有一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，求甲設(shè)備發(fā)生故障的概率。2.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：|X|-1|0|1|2||---|---|---|---|---||P|0.2|0.3|0.4|0.1|（1）求X的分布函數(shù)F(x)；（2）計(jì)算E(X)和D(X)。3.（12分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)=???2e^(-x-2y),x>0,y>0；0,其他（1）求邊緣概率密度f(wàn)?(x)和f?(y)；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立；（3）計(jì)算P(X<1,Y<1)。4.（16分）設(shè)總體X的概率密度為：f(x;θ)=???θx^(θ-1),0<x<1；0,其他（θ>0）（1）求θ的矩估計(jì)量；（2）求θ的極大似然估計(jì)量；（3）若樣本觀測(cè)值為0.5,0.6,0.7，求θ的極大似然估計(jì)值。四、證明題（15分）設(shè)X?,X?,…,X?是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E(X?)=μ，D(X?)=σ2（i=1,2,…,n），記X?=1/n∑??=1X?，證明：E(X?)=μ，D(X?)=σ2/n。---答案及解析一、選擇題1.【答案】B解析：由概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，代入得0.9=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.2。2.【答案】D解析：分布函數(shù)的性質(zhì)中，P(a<X≤b)=F(b)-F(a)，而F(a-0)是左極限，故D錯(cuò)誤。3.【答案】B解析：正態(tài)分布的線性變換性質(zhì)：若X~N(μ,σ2)，則aX+b~N(aμ+b,a2σ2)，故Y=2X-1~N(2μ-1,4σ2)。4.【答案】A解析：相關(guān)系數(shù)ρ??=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))=-2/(√4×√9)=-2/6=-1/3。5.【答案】A解析：中心極限定理指出，當(dāng)n充分大時(shí)，X?近似服從N(μ,σ2/n)。二、填空題1.【答案】2/4=1/2解析：設(shè)A=“第一次取紅球”，B=“第二次取白球”，則P(B|A)=P(AB)/P(A)。P(A)=3/5，P(AB)=(3×2)/(5×4)=6/20=3/10，故P(B|A)=(3/10)/(3/5)=1/2。2.【答案】1/2解析：由∫?∞?∞f(x)dx=1，得∫?2cxdx=1，即c×(x2/2)|?2=c×(4/2)=2c=1，故c=1/2。3.【答案】0.6解析：X+Y≤1的情況為(X=0,Y=0),(X=0,Y=1),(X=1,Y=0)，對(duì)應(yīng)概率0.1+0.3+0.2=0.6。4.【答案】1解析：泊松分布E(X)=λ，D(X)=λ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2。展開(kāi)E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=λ2-2λ+2=1，解得λ2-2λ+1=0，即λ=1。5.【答案】(4.02,5.98)解析：總體方差已知，置信區(qū)間為X?±Z?/?×(σ/√n)，代入得5±1.96×(2/√16)=5±0.98，即(4.02,5.98)。三、計(jì)算題1.（1）設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙設(shè)備故障，所求為P(A∪B∪C)。由獨(dú)立性，P(ā∩B?∩C?)=P(ā)P(B?)P(C?)=0.9×0.8×0.7=0.504，故P(A∪B∪C)=1-0.504=0.496。（2）所求為P(A|A∪B∪C)=P(A)/P(A∪B∪C)（因A?A∪B∪C）。P(A)=0.1，故P(A|A∪B∪C)=0.1/0.496≈0.2016。2.（1）分布函數(shù)F(x)為分段函數(shù)：-當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；-當(dāng)-1≤x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=0.2；-當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0.2+0.3=0.5；-當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=0.5+0.4=0.9；-當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=1。（2）E(X)=(-1)×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=(-0.2)+0+0.4+0.2=0.4；E(X2)=(-1)2×0.2+02×0.3+12×0.4+22×0.1=0.2+0+0.4+0.4=1.0；D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1.0-(0.4)2=1.0-0.16=0.84。3.（1）邊緣密度f(wàn)?(x)=∫?∞?∞f(x,y)dy=∫??∞2e^(-x-2y)dy=2e^(-x)∫??∞e^(-2y)dy=2e^(-x)×(1/2)e^(-2y)|??∞=e^(-x)（x>0），其他為0；f?(y)=∫?∞?∞f(x,y)dx=∫??∞2e^(-x-2y)dx=2e^(-2y)∫??∞e^(-x)dx=2e^(-2y)×1=2e^(-2y)（y>0），其他為0。（2）因f(x,y)=f?(x)f?(y)=e^(-x)×2e^(-2y)=2e^(-x-2y)，與聯(lián)合密度一致，故X與Y獨(dú)立。（3）P(X<1,Y<1)=∫?1∫?12e^(-x-2y)dxdy=∫?12e^(-2y)[∫?1e^(-x)dx]dy=∫?12e^(-2y)(1-e^(-1))dy=2(1-e^(-1))×∫?1e^(-2y)dy=2(1-e^(-1))×(1/2)(1-e^(-2))=(1-e^(-1))(1-e^(-2))≈(1-0.3679)(1-0.1353)=0.6321×0.8647≈0.546。4.（1）矩估計(jì)：E(X)=∫?1x×θx^(θ-1)dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令E(X)=X?，解得θ?=X?/(1-X?)。（2）極大似然估計(jì)：似然函數(shù)L(θ)=∏??=1θx?^(θ-1)=θ?(∏??=1x?)^(θ-1)；對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑??=1lnx?；求導(dǎo)得d(lnL)/dθ=n/θ+∑??=1lnx?=0，解得θ?=-n/∑??=1lnx?。（3）樣本觀測(cè)值x?=0.5,x?=0.6,x?=0.7，∑lnx?=ln0.5+ln0.6+l