大學(xué)《概率統(tǒng)計》試題及答案一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(AB)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n=5，p=0.3的二項分布，則P(X=2)的值為（）A.C(5,2)(0.3)2(0.7)3B.C(5,2)(0.3)3(0.7)2C.C(5,2)(0.3)2(0.7)2D.C(5,2)(0.3)3(0.7)33.設(shè)X~N(μ,σ2)，Y=2X-3，則Y服從的分布為（）A.N(2μ-3,2σ2)B.N(2μ-3,4σ2)C.N(μ-3,σ2)D.N(μ-3,4σ2)4.設(shè)隨機變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=-2，D(X)=4，D(Y)=9，則相關(guān)系數(shù)ρXY=（）A.-1/3B.-2/3C.1/3D.2/35.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2已知，X?,X?,…,X?為樣本，μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為（）A.(X?-zα/2·σ/√n,X?+zα/2·σ/√n)B.(X?-tα/2(n-1)·σ/√n,X?+tα/2(n-1)·σ/√n)C.(X?-zα·σ/√n,X?+zα·σ/√n)D.(X?-tα(n-1)·σ/√n,X?+tα(n-1)·σ/√n)二、填空題（每小題4分，共20分）1.已知P(A)=0.4，P(B|A)=0.5，P(B|ā)=0.3，則P(B)=__________。2.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)λ=2的泊松分布，則E(X2)=__________。3.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=kxy（0≤x≤1，0≤y≤1），其他為0，則k=__________。4.設(shè)樣本X?,X?,X?來自總體X~N(0,1)，則X?+X?+X?服從的分布為__________。5.設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)=θe^{-θx}（x>0），θ>0，用矩估計法估計θ，得到θ?=__________。三、計算題（共55分）1.（10分）某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%、30%、50%，各生產(chǎn)線的次品率分別為1%、2%、3%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，求它來自第一條生產(chǎn)線的概率。2.（12分）設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=\(\begin{cases}ax+b,&0≤x≤1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，且E(X)=7/12。（1）求常數(shù)a,b；（2）求D(X)；（3）求P(1/2<X<3/4)。3.（13分）設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=\(\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\)。（1）求X與Y的邊緣概率密度f_X(x)、f_Y(y)；（2）判斷X與Y是否獨立；（3）求P(X<1,Y<1)。4.（10分）設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)=\(\begin{cases}\frac{2x}{θ2},&0<x<θ\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，其中θ>0為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為來自總體的樣本。（1）求θ的極大似然估計量θ?；（2）判斷θ?是否為θ的無偏估計。5.（10分）某品牌電池的壽命服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2=100（小時2）?，F(xiàn)隨機抽取25只電池，測得平均壽命為120小時。是否有理由認為該品牌電池的平均壽命顯著高于115小時？（α=0.05，z?.?五=1.645）四、證明題（10分）證明切比雪夫不等式：對任意隨機變量X，若E(X)=μ，D(X)=σ2，則對任意ε>0，有P(|X-μ|≥ε)≤σ2/ε2。---答案及解析一、單項選擇題1.解析：由概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，代入得0.8=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.3。答案：C2.解析：二項分布概率公式P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}，n=5，k=2，p=0.3，故P(X=2)=C(5,2)(0.3)2(0.7)3。答案：A3.解析：正態(tài)分布的線性變換性質(zhì)：若X~N(μ,σ2)，則aX+b~N(aμ+b,a2σ2)，故Y=2X-3~N(2μ-3,4σ2)。答案：B4.解析：相關(guān)系數(shù)ρXY=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))=-2/(√4×√9)=-2/6=-1/3。答案：A5.解析：σ2已知時，正態(tài)總體均值的置信區(qū)間為X?±zα/2·σ/√n。答案：A二、填空題1.解析：全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā)=0.4×0.5+0.6×0.3=0.2+0.18=0.38。答案：0.382.解析：泊松分布E(X)=λ=2，D(X)=λ=2，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2+4=6。答案：63.解析：聯(lián)合密度積分等于1，即∫?1∫?1kxydxdy=k∫?1xdx∫?1ydy=k×(1/2)×(1/2)=k/4=1，解得k=4。答案：44.解析：正態(tài)分布的可加性，獨立正態(tài)變量的和仍為正態(tài)分布，均值為0+0+0=0，方差為1+1+1=3，故X?+X?+X?~N(0,3)。答案：N(0,3)5.解析：一階矩E(X)=∫?^∞x·θe^{-θx}dx=1/θ，令樣本一階矩X?=1/θ，解得θ?=1/X?。答案：1/X?三、計算題1.解：設(shè)A?,A?,A?分別表示產(chǎn)品來自第1、2、3條生產(chǎn)線，B表示抽到次品。（1）由全概率公式：P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.2×0.01+0.3×0.02+0.5×0.03=0.002+0.006+0.015=0.023（2）由貝葉斯公式：P(A?|B)=P(A?)P(B|A?)/P(B)=0.002/0.023≈0.0872.解：（1）由概率密度性質(zhì)∫?1(ax+b)dx=1，得(a/2)x2+bx|?1=a/2+b=1；由E(X)=∫?1x(ax+b)dx=∫?1(ax2+bx)dx=a/3+b/2=7/12。聯(lián)立方程組：a/2+b=1a/3+b/2=7/12解得a=1，b=1/2。（2）E(X2)=∫?1x2(ax+b)dx=∫?1(x3+(1/2)x2)dx=1/4+1/6=5/12，D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5/12-(7/12)2=5/12-49/144=60/144-49/144=11/144。（3）P(1/2<X<3/4)=∫_{1/2}^{3/4}(x+1/2)dx=[(1/2)x2+(1/2)x]|_{1/2}^{3/4}=[(1/2)(9/16)+(1/2)(3/4)]-[(1/2)(1/4)+(1/2)(1/2)]=(9/32+3/8)-(1/8+1/4)=(9/32+12/32)-(4/32+8/32)=21/32-12/32=9/32。3.解：（1）f_X(x)=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}∫?^∞e^{-2y}dy=2e^{-x}×(1/2)e^{-2y}|?^∞=e^{-x}（x>0），其他為0；f_Y(y)=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}∫?^∞e^{-x}dx=2e^{-2y}×1=2e^{-2y}（y>0），其他為0。（2）因為f(x,y)=2e^{-(x+2y)}=e^{-x}×2e^{-2y}=f_X(x)f_Y(y)，故X與Y獨立。（3）P(X<1,Y<1)=∫?1∫?12e^{-(x+2y)}dxdy=∫?12e^{-2y}dy∫?1e^{-x}dx=2×(1-e^{-2}/2)×(1-e^{-1})=(1-e^{-2})(1-e^{-1})。4.解：（1）似然函數(shù)L(θ)=∏_{i=1}^nf(x_i;θ)=∏_{i=1}^n(2x_i/θ2)=2^n(∏x_i)/θ^{2n}（0<x_i<θ），對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nln2+∑lnx_i-2nlnθ。對θ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(lnL)/dθ=-2n/θ=0，無解?？紤]θ的取值范圍：θ需大于所有x_i，故θ的極大似然估計量為θ?=max{X?,X?,…,X?}。（2）設(shè)θ?=X_(n)（第n個順序統(tǒng)計量），其概率密度為f_{X_(n)}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)，其中F(x)=∫?^x(2t/θ2)dt=x2/θ2（0<x<θ），故f_{X_(n)}(x)=n(x2/θ2)^{n-1}(2x/θ2)=2nx^{2n-1}/θ^{2n}（0<x<θ），E(θ?)=∫?^θx·2nx^{2n-1}/θ^{2n}dx=2n/θ^{2n}∫?^θx^{2n}dx=2n/θ^{2n}×(θ^{2n+1}/(2n+1))=2nθ/(2n+1)≠θ，故θ?不是無偏估計。5.解：檢驗假設(shè)H?:μ≤115，H?:μ>115（單側(cè)檢驗）。已知σ2=100，n=25，X?=120，α=0.05，臨界值z?.?五=1.645。檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(120