(完整)線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)及答案線性代數(shù)部分例1：行列式計(jì)算設(shè)3階行列式$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$$（1）通過行變換化簡為上三角行列式并計(jì)算其值；（2）利用展開式定理按第一行展開計(jì)算其值。解答：（1）行列式的行變換不改變其值（交換行變號(hào)，數(shù)乘行乘系數(shù)，行倍加不變）。觀察行列式，第二行減去第一行的4倍，第三行減去第一行的7倍：$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4-4×1&5-4×2&6-4×3\\7-7×1&8-7×2&9-7×3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}$$繼續(xù)，第三行減去第二行的2倍：$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0$$（2）按第一行展開，行列式等于各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和：$$D=1×A_{11}+2×A_{12}+3×A_{13}$$其中，$A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5×9-6×8=45-48=-3$$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=-(4×9-6×7)=-(36-42)=6$$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4×8-5×7=32-35=-3$因此，$D=1×(-3)+2×6+3×(-3)=-3+12-9=0$，與（1）結(jié)果一致。例2：矩陣運(yùn)算與逆矩陣已知矩陣$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$（1）計(jì)算$AB$和$BA$，說明矩陣乘法不滿足交換律；（2）求$A$的逆矩陣$A^{-1}$；（3）驗(yàn)證$AA^{-1}=A^{-1}A=I$（$I$為單位矩陣）。解答：（1）矩陣乘法按行乘列規(guī)則計(jì)算：$$AB=\begin{pmatrix}1×0+2×1&1×1+2×0\\3×0+4×1&3×1+4×0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$$$$BA=\begin{pmatrix}0×1+1×3&0×2+1×4\\1×1+0×3&1×2+0×4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$$顯然$AB\neqBA$，故矩陣乘法不滿足交換律。（2）對(duì)于2階矩陣$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，其逆矩陣為$\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$（當(dāng)$ad-bc\neq0$時(shí)）。$A$的行列式$|A|=1×4-2×3=4-6=-2\neq0$，故可逆：$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$$（3）驗(yàn)證$AA^{-1}$：$$AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1×(-2)+2×1.5&1×1+2×(-0.5)\\3×(-2)+4×1.5&3×1+4×(-0.5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$$同理，$A^{-1}A$的計(jì)算結(jié)果也為$I$，驗(yàn)證成立。例3：線性方程組求解求解非齊次線性方程組：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+3x_2+4x_3=5\\3x_1+4x_2+5x_3=6\end{cases}$$解答：首先寫出增廣矩陣$\bar{A}=(A|b)$，并進(jìn)行初等行變換化為行階梯形：$$\bar{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&5\\3&4&5&6\end{pmatrix}$$第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍：$$\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&1&2&3\end{pmatrix}$$第三行減去第二行：$$\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$此時(shí)，系數(shù)矩陣的秩$r(A)=2$，增廣矩陣的秩$r(\bar{A})=2$，故方程組有解，且自由變量個(gè)數(shù)為$n-r(A)=3-2=1$。回代求解：由第二行得$x_2+2x_3=3$，即$x_2=3-2x_3$；由第一行得$x_1+x_2+x_3=1$，代入$x_2$得$x_1=1-x_2-x_3=1-(3-2x_3)-x_3=-2+x_3$。令自由變量$x_3=t$（$t$為任意實(shí)數(shù)），則通解為：$$\begin{cases}x_1=-2+t\\x_2=3-2t\\x_3=t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$$例4：特征值與特征向量設(shè)矩陣$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$（1）求$A$的特征值；（2）求每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；（3）判斷$A$是否可相似對(duì)角化，若可，寫出對(duì)角矩陣$\Lambda$和可逆矩陣$P$。解答：（1）特征值由特征方程$|A-\lambdaI|=0$求得：$$|A-\lambdaI|=\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=0$$解得$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。（2）對(duì)于$\lambda_1=1$，解方程組$(A-I)x=0$：$$A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$$基礎(chǔ)解系為$\xi_1=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$，故$\lambda_1=1$對(duì)應(yīng)的所有特征向量為$k_1\xi_1$（$k_1\neq0$）。對(duì)于$\lambda_2=3$，解方程組$(A-3I)x=0$：$$A-3I=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}$$基礎(chǔ)解系為$\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，故$\lambda_2=3$對(duì)應(yīng)的所有特征向量為$k_2\xi_2$（$k_2\neq0$）。（3）由于$A$是實(shí)對(duì)稱矩陣，必可相似對(duì)角化。取$P=(\xi_1,\xi_2)=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}$，則$P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$。概率統(tǒng)計(jì)部分例5：隨機(jī)事件的概率計(jì)算某班級(jí)有50名學(xué)生，其中20人擅長數(shù)學(xué)，15人擅長物理，10人同時(shí)擅長數(shù)學(xué)和物理?，F(xiàn)隨機(jī)選一名學(xué)生，求：（1）擅長數(shù)學(xué)或物理的概率；（2）只擅長數(shù)學(xué)的概率；（3）既不擅長數(shù)學(xué)也不擅長物理的概率。解答：設(shè)事件$A$為“擅長數(shù)學(xué)”，$B$為“擅長物理”，則$P(A)=\frac{20}{50}=0.4$，$P(B)=\frac{15}{50}=0.3$，$P(AB)=\frac{10}{50}=0.2$。（1）由加法公式，$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.2=0.5$。（2）“只擅長數(shù)學(xué)”即$A$發(fā)生但$B$不發(fā)生，對(duì)應(yīng)事件$A\bar{B}$，其概率$P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.2$。（3）“既不擅長數(shù)學(xué)也不擅長物理”對(duì)應(yīng)事件$\bar{A}\bar{B}$，由對(duì)偶律$\bar{A}\bar{B}=\overline{A\cupB}$，故$P(\bar{A}\bar{B})=1-P(A\cupB)=1-0.5=0.5$。例6：隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda=2$的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：$$f(x)=\begin{cases}2e^{-2x},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$$（1）求$X$的分布函數(shù)$F(x)$；（2）計(jì)算$P(X>1)$；（3）求$X$的期望$E(X)$和方差$D(X)$。解答：（1）分布函數(shù)$F(x)=P(X\leqx)=\int_{-\infty}^xf(t)dt$。當(dāng)$x\leq0$時(shí)，$F(x)=0$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$F(x)=\int_0^x2e^{-2t}dt=1-e^{-2x}$。故$F(x)=\begin{cases}0,&x\leq0\\1-e^{-2x},&x>0\end{cases}$。（2）$P(X>1)=1-P(X\leq1)=1-F(1)=1-(1-e^{-2×1})=e^{-2}\approx0.1353$。（3）指數(shù)分布的期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{2}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{4}$。例7：二維隨機(jī)變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率分布為：|Y\X|0|1||-------|---|---||0|0.2|0.3||1|0.1|0.4|（1）求$X$和$Y$的邊緣分布；（2）計(jì)算$E(X)$、$E(Y)$、$E(XY)$；（3）求協(xié)方差$Cov(X,Y)$和相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}$。解答：（1）$X$的邊緣分布：$P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.2+0.1=0.3$$P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.3+0.4=0.7$$Y$的邊緣分布：$P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.3=0.5$$P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.4=0.5$（2）期望計(jì)算：$E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7$$E(Y)=0×0.5+1×0.5=0.5$$E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.1+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4$（3）協(xié)方差$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7×0.5=0.4-0.35=0.05$方差計(jì)算：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=(0^2×0.3+1^2×0.7)-0.7^2=0.7-0.49=0.21$$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=(0^2×0.5+1^2×0.5)-0.5^2=0.5-0.25=0.25$相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{0.05}{\sqrt{0.21×0.25}}=\frac{0.05}{\sqrt{0.0525}}\approx\frac{0.05}{0.2291}\approx0.218$例8：參數(shù)估計(jì)設(shè)總體$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$未知，$\sigma^2=4$已知。從總體中抽取容量為$n=25$的樣本，樣本均值$\bar{X}=5$。（1）求$\mu$的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；（2）求$\mu$的置信水平為$95\%$的置信區(qū)間（$Z_{0.025}=1.96$）。解答：（1）矩估計(jì)：由于正態(tài)分布的一階原點(diǎn)矩為$\mu