2023年考研數(shù)學(xué)二真題

一、填空題(本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)y=(l+sinx))則=.

3

(2)曲線),=止宴-的)斜漸近線方程為______.

\lx

(3)['一竺?二—.

Jo(2-X2)71-A：2

(4)微分方程xyf+2y=x\nx滿足)，(1)二一"的解為.

(5)當(dāng)x—>0時(shí)，a(x)=人犬與"x)=Jl+xarcsint-Jcosx是等價(jià)無窮小，則k=.

(6)設(shè)均為3維列向量，記矩陣

A=(%，%，%)，B=(cr]+巴+2a2+4%,%+3%+9a3)，

假如網(wǎng)=1,那么慟=_.

二、選擇題(本題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把

所選項(xiàng)前的字母填在題后H勺括號(hào)內(nèi))

(7)設(shè)函數(shù)/(x)=!吧而評(píng)，則f(x)在(-8,+8)內(nèi)

(A)到處可導(dǎo).(B)恰有一種不可導(dǎo)點(diǎn).

(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[]

(8)設(shè)F(x)是持續(xù)函數(shù)f(x邢J一種原函數(shù)，“Mu>N”表達(dá)“M曰勺充足必要條件是N'',貝IJ必有

(A)F(x)是偶函數(shù)。f(x)是奇函數(shù).

(B)F(x)是否函數(shù)Of(x)是偶函數(shù).

(C)F(x)是周期函數(shù)Of(x)是周期函數(shù).

(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)。f(x)是單調(diào)函數(shù).[]

(9)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程，-'確定，則曲線y=y[x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)均橫坐標(biāo)是

y=ln(l+0

(A)—In2+3.(B)—In24-3.

88

(C)-81n2+3.(D)8In2+3.[]

(10)設(shè)區(qū)域。={(M)，)卜2+),2《4工？。)？。},心)為D上口勺正值持續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則

VTw+VToo0一

(A)ab7r.(B)—7i.(C)(a+b)/r.(D)兀.[]

22

(ii)設(shè)函數(shù)〃(%/)=>0+丫)+土(工一丫)+「'〃(，)力，其中函數(shù)>具有二階導(dǎo)數(shù),w具有一階導(dǎo)數(shù)，

Jx-y

則必有

d2ud2ud2ud2u

(A)—7=——(B)--=-7.

dx~dy~dx~dy~

d~ud2ud2ud2u

?--=-(D)__=(1

cxoycyoxoyox

(12)設(shè)函數(shù)/(x)=IJ一，則

行-1

(A)x=O,x=l都是f(x)日勺第一類間斷點(diǎn).

(B)x=O,x=l都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).

(C)x=0是f(x邢J第一類間斷點(diǎn)，x=l是f(x邢J第二類間斷點(diǎn).

(D)x=0是f(x)H勺第二類間斷點(diǎn)，x=l是f(x)H勺第一類間斷點(diǎn).[]

(13)設(shè)4,4是矩陣A的兩個(gè)不一樣的特性值，對(duì)應(yīng)日勺特性向量分別為%,%，則4，4%+%)線

性無關(guān)口勺充足必要條件是

(A)4(B)4工(O4=0.(D)4=0.[]

(14)設(shè)A為n(〃22)階可逆矩陣，互換AH勺第1行與第2行得矩陣B,4,B*分別為A.B的伴隨矩

陣，則

(A)互換A"日勺第1列與第2列得(B)互換A'的第1行與第2行得B\

(C)互換的第1列與第2列得—8*.(D)互換A*日勺第1行與第2行得—8".

［］

三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).)

(15)(本題滿分11分)

［：(,3)/(，)力

設(shè)函數(shù)f(x)持續(xù)，且/(0)。0,求極限lim如不-----------.

(16)(本題滿分11分)

如圖，G和。2分別是y=；("")和)，="的圖象，過點(diǎn)(0」邢j曲線g是一單調(diào)增函數(shù)的圖象?

過上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于X軸和y軸的直線。和記G，C2與(.所圍圖形的面積為加(X)；

C2,C3與ly所圍圖形的面積為S2。，).假如總有S,(x)=S2(y),求曲線gU勺方程x=。()，).

(17)(本題滿分11分)

如圖，曲線?的方程為丫=(^),點(diǎn)(3,2)是它的一種拐點(diǎn)，直線乙與4分別是曲線C在點(diǎn)(0。)與(3⑵處I付

切線，其交點(diǎn)為(2.4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分((，+幻/”公公.

(18)(本題滿分12分)

用變量代換X=COS?0<f<7)化簡微分方程(1—一)丫"一町/+)，=0,并求其滿足

),=i,y=2的特解.

r=Ox=0

(19)(本題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)在［0,1］上持續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)-0,f(l)-l.證明:

2023年考研數(shù)學(xué)二真題解析

一、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

（1）設(shè)），=（l+sinx）',則dy=-71dx.

-----

【分析】本題屬基本題型，哥指函數(shù)的求導(dǎo)（或微分）問題可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為

隱函數(shù)求導(dǎo).

【詳解】措施一:y=(l+sinx)r=ev,n(,+sinA),于是

y=et,n(,+sinx)?[ln(l+sinx)+X?C°SX],

1+sinx

從而d)\=y\7r)dx--Tidx.

措施二：兩邊取對(duì)數(shù)，Iny=xln(l+sinx),對(duì)x求導(dǎo)，得

1,[八.\xcosx

—y=ln(l+sinx)4--------

y1+sinx

于是y'=(1+sinx)x-Lln(l+sinx)+x?C°SX],故

1+sinx

=y\7c)dx=-7tdx.

X=N

（1+X）23

（2）曲線'二匚二/一的斜漸近線方程為y=x+1.

\lx2

【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由于a=lim1史=lim"爐=

xf也Xx*Xy/X

33

22

Z?=lim[/(x)-ar]=lim(1+x)-x_3

Vx2

3

于是所求斜漸近線方程為y=x+

(3)f一半『

J。(2")7^

【分析】作二角代換求積分即可.

【詳解】令工=5m1,則

pxdx亡sin/cosr,

-------1==2-------------dt

Jo(2-x2)7i^Jo(2-sin2r)cosr

槨dcost.、W兀

=-2-------=-arctan(cofT)2=—.

J。1+cos2104

(4)微分方程沖'+2y=Ainx滿足y(l)=-'時(shí)解為j=

【分析】直接套用一階線性微分方程V+P(x)y=。。)的通解公式：

)，=/仍巧/0(工)/3公+5

再由初始條件確定任意常數(shù)即可.

【詳解】原方程等價(jià)為

，2.

y+—y=inx,

x'

于是通解為y=[JInx?J』'公+C]=：?[Jx?Mx公+C]

1,1〃1

=-xInx—x+C-；,

39x2

1

由y(l)=—_L得C=o,故所求解為y='xlnxX

9-

(5)當(dāng)JI-0時(shí)，a(x)=kf與0(x)=V1+xarcsinx-Jcosx是等價(jià)無窮小,則k=-.

4

【分析】題設(shè)相稱于已知lim細(xì)=1,由此確定k即可.

…a(x)

r小i；c—i；c_1+'arcsiir-Vcosx

[詳解】由題設(shè)，lim-——=lim-----------；----------

…a(x)…kx~

xarcsinx+1-cosx

=hm—、/--------

a。kx~(\l\+xarcsinx+vcosx)

1xarcsinx+1-cosx3,,3

=—lim---------；--------=—=1,得ZFIk=一.

2kI。x~4k4

（6）設(shè)囚,&2，%均為3維列向量，記矩陣

A=（%，%。3），B=（or1+a2+a3,a]+2a2+4%,%+3%+9%）,

假如M=l,那么慟=_2_.

【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題設(shè)，有

B=(a[+a2+a3，。[+2%+4a?,a[+3%+9a3)

-11r

二(%，。2，夕3)123,

149

111

于是有|B|=|4|-123=1x2=2.

149

二、選擇題（本題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把

所選項(xiàng)前日勺字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

（7）設(shè)函數(shù)=十國?加，則曲）在（-8,十8）內(nèi)

n-vx>V11

（A）到處可導(dǎo).（B）恰有一種不可導(dǎo)點(diǎn).

（C）恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).（D）至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[C1

【分析】先求出f（x）的體現(xiàn)式，再討論其可導(dǎo)情形.

【詳解】當(dāng)W<1時(shí)，f（x）=lim+=1；

當(dāng)國=1時(shí)，f(x)=limvm=1；

當(dāng)N>1時(shí)，f(x)=lim|x|3('I

M+D”=k/.

-J,X<—1,

即/(x)=<1,-1<x<1,可見f(x)僅在x=±l時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).

X>1.

(8)設(shè)F(x)是持續(xù)函數(shù)f(x)的J一種原函數(shù)，“MOM'表達(dá)"M的|充足必要條件是N“，則必有

(B)F(x)是偶函數(shù)0f(x)是奇函數(shù).

(B)F(x)是奇函數(shù)Of(x)是偶函數(shù).

(C)F(x)是周期函數(shù)Of(x)是周期函數(shù).

(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)Of(x)是單調(diào)函數(shù).[A]

【分析】本題可直接推證，但最簡便的措施還是通過反例用排除法找到答案.

【詳解】措施一：任一原函數(shù)可表達(dá)為產(chǎn)⑺力+C,且F(x)=/(x).

當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí),有4(r)=F㈤，于是尸(一幻?(一1)二尸(幻，即-/(-%)=/(%),也即

/(-x)=-f(x),可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則「/⑺力為偶函數(shù)，從而

FM=￡+C為偶函數(shù)，可見(A)為對(duì)的選項(xiàng).

措施二：令f(x)=l,則取F(x)=x+1,排除⑻、(C);令f(x)=x,則取F(x)=-x2，排除(D);故應(yīng)選(A).

2

2

(9)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程,“'+2'確定,則曲線y=y(x)在x=3處口勺法線與x軸交點(diǎn)的橫坐

y=ln(l+r)

標(biāo)是

(A)—In2+3.(B)—In2+3.

88

(C)-8U12+3.(D)81n2+3.[A]

【分析】先由x=3確定t的取值，進(jìn)而求出在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及對(duì)應(yīng)的法線方程，從而可得所需的橫坐標(biāo).

【詳解】當(dāng)x=3時(shí)，有-產(chǎn)+2/=3,得，=1"=一3(舍去，此時(shí)y無意義)，于是

.y1

?|=表可見過點(diǎn)x=3(此時(shí)y=ln2)的法線方程為：

y-In2=-8(x-3)，

令y=o,得其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-ln2+3,故應(yīng)(A).

8

(10)設(shè)區(qū)域0={(乂)，)卜2+),2?4/之0,〉，之0},f(x)為D上日勺正值持續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則

cc^fM+byjf(y)^=

(J77u)?VToo”

,abza+b

(A)ab7r.(B)—TC.(C)(a+b)7r.(D)----冗.[D]

22

【分析】由于未知f(x)的詳細(xì)形式，直接化為用極坐標(biāo)計(jì)算顯然是困難的.本題可考慮用憑換對(duì)稱性.

【詳解】由輪換對(duì)稱性，有

ffajf(x)+byff(yj_rfayjf(y)+by]f(x)

l!師+行!!歷+師

2J"(x)+"(y)+

a+brr,a+b1a+b.

=----dcr=-------乃?2~=-----7t.應(yīng)選(D).

2JJ242

(11)設(shè)函數(shù)〃O.y)=0(x+y)+dx-y)+⑺力，其中函數(shù)°具有二階導(dǎo)數(shù)，y/具有一階導(dǎo)

J.x-y

數(shù)，則必有

d2ud2u,、d2ud2u

dx2dy2dx2dy2

d2u_d2ud2ud2u

(C)(D)IB]

dxdydy2麗二旅

【分析】先分別求出粵、4耍，再比較答案即可.

ardy2dxdy

Q

[詳解]由于二-=(p\x+y)+”(x-y)+“(x+y)-y/\x-y)，

dx

-=(P'(x+y)-(p't、x-y)+”(x+y)+-y),

于是VT='a+)')+0"(又一y)+〃'(x+)')，'(x—y),

ex

=(p\x+y)-(p\x-y)+w'(x+y)+/(x-y),

oxoy

2

duH

—*+y)+。(x-y)+i//(x+y)，。一y)，

廿

可見有駕二Z±,應(yīng)選(B).

dx2dy2

(12)設(shè)函數(shù)f(x)=—，則

e'T-1

(B)x=O,x=l都是f(x)的第一類間斷點(diǎn).

(B)x=O,x=l都是f(x)H勺第二類間斷點(diǎn).

(C)x=0是f(x)U勺第一類間斷點(diǎn)，x=l是f(x)的第二類間斷點(diǎn).

(E)x=0是f(x)日勺第二類間斷點(diǎn)，x=l是f(x)日勺第-一類間斷點(diǎn).[D]

【分析】顯然x=O,x=l為間斷點(diǎn)，其分類重要考慮左右極限.

【詳解】由于函數(shù)f(x)在x=O,x=l點(diǎn)處無定義，因此是間斷點(diǎn).

Mlunf(x)=oo,因此x=0為笫二類間斷點(diǎn)；

.r->0

liinf(x)=0,liin/(x)=-l,因此x=1為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選(D).

.v->r

(13)設(shè)4,4是矩陣A的兩個(gè)不一樣的特性值，對(duì)應(yīng)日勺特性向量分別為％,。2，則生，

4%+々2)線性無關(guān)口勺充足必要條件是

(A)4?()?(B)4.°?(C)4=().(D)22=0.[BJ

【分析】討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.

【詳解】措施一：令匕區(qū)+后4%+4)=0,則

h%+無24al+224a2=。,伏、+自4）。1+%222a2=°?

由于%,%線性無關(guān)，于是有

k[+424=0,

k2A2=0.

當(dāng)小。()時(shí)，顯然有&=().自=(),此時(shí)4%+4)線性無關(guān)：反過來，若火，

4%+%)線性無關(guān)，則必然有42￥°(，否則，%與AQ+%)=4%線性有關(guān))，故應(yīng)選(B).

1%

措施二：由于[%,AQ+%)]=[%,4囚+4%i=a，%]

（）4

1%

可見四,4%+二2)線性無關(guān)的充要條件是=2*0.故應(yīng)選(B).

o42

(14)設(shè)A為n(〃22)階可逆矩陣，互換A的第1行與第2行得矩陣B.A*,8*分別為A.B的伴

隨矩陣，則

(B)互換A”的第1列與第2列得B*.(B)互換A*的第1行與第2行得B*.

(C)互換A*的第I列與第2列得-8*.(D)互換A"的第1行與第2行得一8".

[C]

【分析】本題考察初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需運(yùn)用初等變換與初等矩陣口勺關(guān)系以及伴隨

矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

【詳解】由題設(shè)，存在初等矩陣&2(互換"階單位矩陣的第1行與第2行所得)，使得

EA=B,于是=(EA)*=A*E*i2=?￡-1=-A*E,即

iZI2A*|EI2|12I2

A”％=一3二可見應(yīng)選(C).

三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).)

(15)(本題滿分11分)

設(shè)函數(shù)f(x)持續(xù)，且/(0)w(),求極限lim業(yè)-------------

【分析】此類未定式極限，經(jīng)典措施是用羅必塔法則，但分子分母求導(dǎo)前應(yīng)先變形.

【詳解】由于￡/*-r)^'=M￡/(〃)(一力，)=￡/(〃)疝，于是

47⑺力由八力力

lim包-------------=lim3--------也-------

5W(D力T°

['/(7)Jr+VW-VW。⑺力

lunJO=lim

XTO^f(u)du+xf(x)XTO￡f(u)du+xf(x)

/(())1

f(u)d~/十八。)+/(。)2

/x+八')

(16)(本題滿分11分)

如圖，G和分別是)，=；(1+婷)和)，="的圖象，過點(diǎn)(0,1)的曲線C,是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.

過。2上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線。和記G，G與。所圍圖形的面積為酬(X);

。2，。3與4所圍圖形的面積為s2(y).假如總有S,(x)=S2(y),求曲線C.日勺方程1=°()，).

【分析】運(yùn)用定積分H勺幾何意義可確定面積SI(x),S2(y)，再根據(jù)S|(x)=S2(y)建立積分等式，然后

求導(dǎo)引出微分方程，最終可得所需函數(shù)關(guān)系.

【詳解】如圖，有

s(X)=￡[^-1(1+d)]dt=1(/一X-1),

52()')二/(皿，一0(。)力，

I

3

由題設(shè)，得2--X-1)=1(Int-(p(t))dt,

而y=e',于是—(y-in)，-1)=[(Inf-9(。)力

兩邊對(duì)y求導(dǎo)得—(1--)=Iny-(p(y),

2)，

故所求日勺函數(shù)關(guān)系為：x=e(y)=lny-j.

2y

(17)(本題滿分11分)

如圖，曲線C的方程為y=f(x),點(diǎn)(3,2)是它的一種拐點(diǎn)，直線乙與4分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處代)

切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分((一+1)/“外公.

【分析】題設(shè)圖形相稱于已知f(x)在x=(H向函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)圖形知，f(0)=0,/'(0)=2;f(3)=2,/⑶=-2J〃(3)=O.

由分部積分，知

m22

+x)f(x)dx=￡(x+x)df\x)=(x+x\f\x):一f/〃(x)(2x+l)公

=-￡(2X+1)#Z(A)=~(2x+:+2￡f\x)clx

=16+2[/(3)-/(0)]=20.

(18)(本題滿分12分)

用變量代換X=COSt(0<t<7T)化簡微分方程(1--)),〃一沖，+),=0,并求其滿足

o=l，)/.J2的特解?

x=O

【分析】先將反轉(zhuǎn)化母，宗，再用二階常系數(shù)線性微分方.措施求解即可.

【詳解】了=電.且=__L蟲

dtdxsin/dt

costdy1d2y

sin21dtsin/drsinr

代入原方程，得—dV+y=0.

dt

2

解此微分方程，得y=C1cosr+C2sinr=C(x+C2\ll-x,

將初始條件i)=l,y］』=2代入，有G=2,。2=1?故滿足條件日勺特解為y=2x+Jf二7.

(19)(本題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)在［0,1］上持續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(O)=O,f(l)=l.證明:

(I)存在4€(0,1),使得/(。二1一彳；

(II)存在兩個(gè)不一樣的點(diǎn)〃(￡(0］)，使得/'(〃)/'(G=L

【分析】第?部分品然用閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗

口中值定理，但應(yīng)注意運(yùn)用第一部分已得結(jié)論.

【詳解】⑴令尸(x)=/(x)-l+x,則F(x)在［0,1］上持續(xù)，且F(0)=-l<0,F(l)=l>0,于是由介值

定理知，存在J￡((),1),使得/(專)=0,即/?)=1.

(II)在［0,目和修,1］上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不一樣日勺點(diǎn)

"(()/)4￡(,1)，使得0(〃)=，_，，八:［⑹

4一。1一。

于是/'(〃)/'(。=理?^^=與一三=1?

q?一。。1一。

(20)(本題滿分10分)

已知函數(shù)z=f(x,y)的全微分dz=Ixdx-lydy,并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域

。={(%)。/+工工1}上H勺最大值和最小值.

4

【分析】根據(jù)全微分和初始條件可先確定f(x,y)的體現(xiàn)式.而f(x,y)在橢圓域上H勺最大值和最小值，也許

在區(qū)域U勺內(nèi)部到達(dá)，也也許在區(qū)域的邊界上到達(dá)，且在邊界上的最值又轉(zhuǎn)化為求條件極值.

.【詳解】由題設(shè)，知警=2x,2=-2y,

dxdy

于是f(x,y)=x2+C(j),且C\y)=-2y,從而C(y)=-y2+C，

再由f(l,l)=2,得C=2,故f(x,y)=x2-y2+2.

d2f

令竺=0，%=。得也許極值點(diǎn)為x=0,y=0.且A;二=2,B==0，

dxdydx2(0.0)dxdy90)

A=B2-AC=4>0,因此點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn)，從而也非最值點(diǎn).

再考慮其在邊界曲線/+匕=1上的情形：令拉格朗口函數(shù)為

4

iff

-

■更

耳

-+”

及=2(1+A)X=0,

I

耳

少

更

I

<-+-2y+/)，=(),

2

ay

弓

=X2

.

得也許極值點(diǎn)x=0,y=2,4=4；x=0,y=-2,z=4；x=l,y=0,z=-l；x=-l,y=0,z=-l.

2

代入f(x,y)得/(0,±2)=-2,/(±l,0)=3,可見z=f(x,y)在區(qū)域。={(x,y)F+±?1}內(nèi)口勺最大值為

4

3,最小值為-2.

(21)(本題滿分9分)

2

計(jì)算二重積分jj|x+.一中.,其中。={(%,刈0<x<l,0<y<l}.

D

【分析】被積函數(shù)具有絕對(duì)值，應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，運(yùn)用積分的可加性分區(qū)域積分即可.

【詳解】記R={(x,y)|x2+y2<l,a,y)eZ)},

22

D2={(羽y^x+y>l,(x,y)￡0，

于是臚+j2-\)dxdy+JJ，+>2一］心力

D￡>iD,

=-p"夕￡(r2-V)rdr+jj(x2+y2-\)dxdy-jj(x2+y2-\)dxdy

DA

=f+IMP珂:一124T?

（22）（本題滿分9分）

確定常數(shù)a,使向量組%=（1,1,4）7，％=（1，41）7'，%=（〃，1，1）7'可由向量組

4=（1,1,4）丁，尸2=（一2,出4）丁，43=（-2,4,4）,線性表達(dá)，但向量組尸I，色血不能由向量組即％，%

線性表達(dá).

【分析】向量組外,%，田可由向量組用，尸2,四線性表達(dá)，相稱與方程組:

%=+X2/32+x#3，i=1，2,3.

均有解，問題轉(zhuǎn)化為“4,人,/3）="4，/2，63%,），1=1，2,3與否均成立？這通過初等變換化解體形

討論即可.而向量組片，色，片不能由向量組%，％，陽線性表達(dá)，相稱于至少有一種向量尸=1,2,3）不

能由明,。2，%表達(dá)，即至少有一方程組

Pi=x,at+x2a2+x3a3,j=l,2,3?無解.

【詳解】對(duì)矩陣囚=（修,分，/^%，%，。3）作初等行變換，有

-2-2；Ia

A=（4，22，夕3〃，。2，%）=1aa:a1

4a:11

i-2-2；i1