考研歷年題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)$在$x_0$處可導是連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.設矩陣$A$為$3$階方陣，且$|A|=2$，則$|2A|$的值為（）A.4B.8C.16D.323.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則下列級數(shù)一定收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$B.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$C.$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$4.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，則向量組$\beta_1,\beta_2,\beta_3$（）A.線性相關B.線性無關C.部分相關D.不確定5.設隨機變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，則$P(X\leq1)$的值為（）A.0B.0.5C.1D.0.256.曲線$y=x^3-3x$的拐點為（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.無拐點7.設$f(x)$的一個原函數(shù)為$e^{-x}$，則$f(x)$等于（）A.$e^{-x}$B.$-e^{-x}$C.$e^x$D.$-e^x$8.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值為（）A.0B.1C.-1D.39.設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微，則在該點處函數(shù)$z$（）A.一定連續(xù)B.不一定連續(xù)C.偏導數(shù)不存在D.偏導數(shù)不一定存在10.已知$A,B$為兩個事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.2$，則$P(A\cupB)$的值為（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$2.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）A.$\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}$3.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$4.設向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關，則（）A.該向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.該向量組中存在部分向量線性相關C.該向量組的秩小于$s$D.對任意一組不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_s$，都有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$5.設隨機變量$X$服從均勻分布$U(a,b)$，則（）A.概率密度函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\ltx\ltb\\0,&\text{其他}\end{cases}$B.$E(X)=\frac{a+b}{2}$C.$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$D.$X$的分布函數(shù)$F(x)$在$(a,b)$上是線性函數(shù)6.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$D.$y=x\cosx$7.設函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上一定有界C.$\int_{a}^f(x)dx$一定存在D.存在$c\in(a,b)$，使得$\int_{a}^f(x)dx=f(c)(b-a)$8.下列關于矩陣運算的說法，正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$（當$AB=BA$時）C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$（$k$為常數(shù)）D.若$A$可逆，則$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$9.設$z=f(x,y)$具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則（）A.$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$B.$(\frac{\partialz}{\partialx})^2=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$C.函數(shù)$z$的全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.若$A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$，$B=\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$，$C=\frac{\partial^2z}{\partialy^2}$，當$AC-B^2\gt0$且$A\gt0$時，$z$在駐點處取得極小值10.已知事件$A,B$相互獨立，則（）A.$P(AB)=P(A)P(B)$B.$P(A|B)=P(A)$C.$P(B|A)=P(B)$D.$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處極限存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）2.方陣$A$的行列式$|A|=0$，則$A$不可逆。（）3.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$與$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$一定發(fā)散。（）4.向量組中若有零向量，則該向量組一定線性相關。（）5.設隨機變量$X$的方差$D(X)=0$，則$X$為常數(shù)。（）6.函數(shù)$y=x^2$在$(-\infty,+\infty)$上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）7.若矩陣$A$與矩陣$B$等價，則$A$與$B$的秩相等。（）8.定積分$\int_{a}^f(x)dx$的值與積分變量用什么字母表示無關。（）9.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導數(shù)存在，則函數(shù)在該點處一定可微。（）10.若事件$A$與$B$互斥，則$A$與$B$一定相互獨立。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+5$的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對$y$求導得$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'=0$，得$x=0$或$x=2$。當$x\lt0$或$x\gt2$時，$y'\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當$0\ltx\lt2$時，$y'\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值為$y(0)=5$，極小值為$y(2)=1$。2.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩陣。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.求級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：由公式$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，這里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，則$R=1$。當$x=1$時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)發(fā)散；當$x=-1$時，級數(shù)為交錯級數(shù)收斂。所以收斂區(qū)間為$[-1,1)$。4.簡述隨機變量的數(shù)學期望和方差的意義。答案：數(shù)學期望反映隨機變量取值的平均水平，體現(xiàn)其中心位置。方差衡量隨機變量取值相對于數(shù)學期望的離散程度，方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中在期望附近。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在不同區(qū)間的單調(diào)性及漸近線情況。答案：對$y$求導得$y'=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0$，在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減。垂直漸近線為$x=1$，因為$x\to1$時，$y\to\infty$；水平漸近線為$y=0$，因為$x\to\pm\infty$時，$y\to0$。2.討論矩陣相似的條件及相似矩陣的性質。答案：矩陣$A$與$B$相似的條件是存在可逆矩陣$P$，使得$P^{-1}AP=B$。相似矩陣性質有：具有相同的行列式、秩、特征值。若$A$與$B$相似，$f(x)$為多項式，則$f(A)$與$f(B)$相似。3.討論如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計總體參數(shù)，并舉例說明。答案：常用方法有矩估計法和極大似