5.5三角形內(nèi)角和定理1/30在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)苄址浅F結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能，不然，我們這個家就再也圍不起來了……”“為何？”老二很納悶.同學(xué)們，你們知道其中道理嗎？內(nèi)角三弟兄之爭2/30三角形三個內(nèi)角和是多少?把三個角拼在一起試試看你有什么方法能夠驗證呢?從剛才拼角過程你能想出證實方法嗎?3/301．掌握三角形內(nèi)角和定理證實及其簡單應(yīng)用.2.初步掌握利用輔助線證實，體會思維轉(zhuǎn)化和符號語言作用.3.經(jīng)過一題多解，初步體會思維多向性，引導(dǎo)學(xué)生個性化發(fā)展.4/30如圖,當(dāng)我們把∠A移到了∠1位置,∠B移到了∠2位置時，就得到了三角形三個內(nèi)角和等于180°.依據(jù)前面基本事實和定理,你能用自己語言說說這一結(jié)論證實思緒嗎?你能用比較簡捷語言寫出這一證實過程嗎?與同伴交流.5/30ABCE213D這里CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫成虛線.ABC已知:如圖,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這么,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1位置,把∠B移到了∠2位置.6/30證實:作BC延長線CD,過點C作CE∥AB,則

你還有其它方法來證實三角形內(nèi)角和定理嗎?

∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角定義),

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).7/30在證實三角形內(nèi)角和定理時,小明想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQ∥BC(如圖),他想法能夠嗎?請你幫小明把想法化為實際行動.ABC所作輔助線是證實一個主要組成部分,要在證實時首先敘述出來.PQ231【做一做】8/30證實:過點A作PQ∥BC,則

∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角定義),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).

小明想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實,由此你受到什么啟發(fā)?你有新證法嗎?9/30依據(jù)下面圖形,寫出對應(yīng)證實.你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM【試一試】10/30先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖1），然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點與已折角頂點相嵌合（圖2）、（圖3），最終得到（圖4）所表示結(jié)果.ACB圖1BAC圖2BAC圖3BAC圖411/30這里結(jié)論,以后能夠直接利用.

ABC【歸納升華】三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°幾個變形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.∠B+∠C=180°-∠A.∠A+∠C=180°-∠B.12/30【歸納升華】推論1：三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和.推論2：三角形一個外角大于與它不相鄰任意一個內(nèi)角.推論概念：由基本事實或定理直接推出真命題叫做推論.13/30

假如BC不動,把點A“拉離”BC,那么當(dāng)A越來越遠離BC時,∠A就越來越小(越來越靠近0°),而∠B和∠C則越來越大,它們和越來越靠近180°,當(dāng)把點A拉到無窮遠時,便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內(nèi)角,它們和等于180°.由此你能想到什么?

CBA【讀一讀】14/30CBA在△ABC中,假如BC不動,把點A“壓”向BC,那么當(dāng)點A越來越靠近BC時,∠A就越來越大(越來越靠近180°),而∠B和∠C,越來越小(越來越靠近0°).由此你能想到什么?15/30

用橡皮筋組成△ABC,其中頂點B、C為定點，A為動點，放松橡皮筋后，點A自動收縮于BC上，請同學(xué)們考查點A改變時所形成一系列三角形……其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣改變呢？結(jié)論當(dāng)點A遠離BC時，∠A越來越趨近于0°，而AB與AC逐步趨向平行，這時，∠B、∠C逐步靠近為互補同旁內(nèi)角，即∠B+∠C靠近于180°.【試一試】16/301.如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=

°，即∠A+∠B+90°=

°，所以∠A+∠B=

°.

ABC18018090【合作探究】直角三角形兩個銳角互余.直角三角形能夠用符號“Rt△”表示，如直角三角形ABC能夠?qū)懗蒖t△ABC.17/302.如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=

°，即∠C+90°=

°，所以∠C=

°，所以△ABC是______三角形.ABC18018090有兩個角互余三角形是直角三角形.直角18/30【例】如圖∠C=∠D=90°,AD，BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為何？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE【例題】19/30相等．同角余角相等．

練習(xí)如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為何？DABC【跟蹤訓(xùn)練】20/30

變式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，則CD是△ACB高嗎？為何？

是．有兩個角互余三角形是直角三角形．DABC21/30

變式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB為直角三角形嗎？為何？

是．有兩個角互余三角形是直角三角形．DABC22/30

變式3如圖，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形嗎？為何？

是．有兩個角互余三角形是直角三角形．

（證實過程略）．DEABC23/301.三角形內(nèi)角和是180°；2.推論1：三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和;3.推論2：三角形一個外角大于與它不相鄰任意一個內(nèi)角;4.直角三角形兩個銳角互余5.兩個銳角互余三角形是直角三角形經(jīng)過本課時學(xué)習(xí)，需要我們掌握：24/301.（昆明·中考）如圖所表示，在△ABC中，CD是∠ACB平分線，∠A=80°，∠B=60°，那么∠BDC=()A.80°B.90°C.100°D.110°25/302.（濟寧·中考）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)比為2∶3∶4，那么這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形【解析】選B.由題意可設(shè)這個三角形三個內(nèi)角分別為2x,3x,4x,依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得:2x+3x+4x＝180°,得x＝20°,所以可得三個內(nèi)角分別為40°，60°，80°，故選B.26/303.在直角三角形ABC中,一個銳角為40°,則另一個銳角是_______°.【解析】直角三角形中有一直角為90°，所以另外兩銳角和為90°，因為一個銳角為40°,所以另一個銳角是50°.【答案】5027/304.（紅河·中考）如圖，D,E分別是AB,AC上點，若∠A=70°，∠B=60°，DE∥BC，則∠AED度數(shù)是____.【解析】因為∠A=70°，∠B=60°，所以∠C=50°，又因為DE//BC，所以∠AED=∠