專(zhuān)題03一元二次方程的解法：公式法

（6大考點(diǎn)精準(zhǔn)練+2大易錯(cuò)點(diǎn)+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1公式法解一元二次方程

1.求根公式的推導(dǎo)：

bb24ac

一元二次方程ax2bxc0（a0），可用配方法進(jìn)行求解：得：(x)2．

2a4a2

對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)閍0，所以4a20

b24ac

1當(dāng)b24ac0時(shí)，0

4a2

bb24acbb24ac

利用開(kāi)平方法，得：x，即：x

2a4a22a

b24ac

2當(dāng)b24ac0時(shí)，0

4a2

bb24ac

這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程(x)2左右兩邊的值相等，所以原方

2a4a2

程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

2.一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式

一元二次方程ax2bxc0（a0），當(dāng)b24ac0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

bb24acbb24ac

x，x

12a22a

3用公式法解一元二次方程一般步驟

1把一元二次方程化成一般形式ax2bxc0（a0）；

2確定a、b、c的值；

3求出b24ac的值（或代數(shù)式）；

1

4若2，則把、、及2的值代入求根公式，求出、；若2，則方程

b4ac0abcb4acx1x2b4ac0

無(wú)解．

知識(shí)點(diǎn)2根的判別式

1.一元二次方程根的判別式：

我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用符號(hào)“”表示，記作

=b24ac．

2.一元二次方程ax2bxc0(a0)，

當(dāng)=b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)=b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)=b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

3.根的判別式的應(yīng)用

（1）不解方程判定方程根的情況；

（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

（3）解與根有關(guān)的證明題．

【題型1】一元二次方程的求根公式

bb220

1．以x為根的一元二次方程可能是()

2

A．x2bx100B．x2bx100C．x2bx50D．x2bx50

【答案】D

【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．

bb240

【詳解】解：A、x，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2

bb240

B、x，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2

bb220

C、x，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2

bb220

D、x，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

2

故選：D．

bb24ac

2．在用求根公式x求一元二次方程的根時(shí)，小珺正確地代入了a，b，c得到

2a

2

3(3)242(1)

x，則她求解的一元二次方程是()

22

A．2x23x10B．2x24x10C．x23x20D．3x22x10

【答案】A

【分析】判斷出a2，b3，c1，可得結(jié)論．

【詳解】解：由題意a2，b3，c1．

故選：A．

2b24(1)a

3．若x可以表示某個(gè)一元二次方程的根，則這個(gè)一元二次方程為()

23

A．3x22x10B．2x24x10C．x22x30D．3x22x10

【答案】D

bb24ac

【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式x，即可解答．

2a

2b24(1)a

【詳解】解：x可以表示一元二次方程的根，

23

a3，b2，c1，

這個(gè)一元二次方程可以是3x22x10，

故選：D．

【題型2】公式法解一元二次方程

4．用公式法解下列方程：

（1）x(x8)16；

（2）2x24x42；

（3）2x222x10．

【分析】先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式ax2bxc0，再求出a，b，c的值，判斷出△的符號(hào)，再

代入求根公式，進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）x(x8)16，

x28x160，

a1，b8，c16，

b24ac8241(16)1280，

8128

x，

2

，；

x1442x2442

3

（2）2x24x42，

2x24x420；

a2，b4，c42，

b24ac(4)242(42)480，

448

x26，

22

x126，x226；

（3）2x222x10，

a2，b22，c1，

)2

b24ac(224210，

2

xx．

122

5．用公式法解下列方程．

（1）(x1)(x3)6x4；

（2）x22(31)x230；

（3）x2(2m1)xm0．

【分析】（1）去括號(hào)，移項(xiàng)方程化為一般式為：x22x10，然后把a(bǔ)1，b2，1代入求根公式

計(jì)算即可；

（2）把a(bǔ)1，b2(31)，c23代入求根公式計(jì)算即可；

（3）把a(bǔ)1，b(2m1)，cm代入求根公式計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）去括號(hào)，移項(xiàng)方程化為一般式為：x22x10，

a1，b2，c1，

b24ac(2)241(1)8

28222

x12，

212

，；

x112x212

（2）a1，b2(31)，c23，

b24ac[2(31)]2412316，

4

2(31)162(31)4

x(31)2，

212

，；

x133x231

（3）a1，b(2m1)，cm，

b24ac[(2m1)]241m4m21，

2m14m21

x，

21

2m14m212m14m21

x，x．

1222

6．用公式法解下列各方程：

（1）5x22x10

（2）6y213y60

（3）3x26x97．

【分析】（1）把a(bǔ)5，b2，c1代入求根公式計(jì)算即可；

（2）把a(bǔ)6，b13，c6代入求根公式計(jì)算即可；

（3）先把方程化為一般形式、整理得：x26x20，再把a(bǔ)1，b6，c2代入求根公式計(jì)算即可；

【詳解】解：（1）a5，b2，c1，

△b24ac4451240

22416

x

105

1616

x,x．

1525

（2）a6，b13，c6，

△b24ac169466250

1325135

x

1212

32

x，x．

1223

（3）整理，得：x26x20

a1，b6，c2

△b24ac36412280

628

x37

2

5

，．

x137x237

【題型3】不解方程判斷一元二次方程的根的情況

7．關(guān)于x的一元二次方程x23x20的根的情況是()

A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】根據(jù)△0，即可判斷根的情況．

【詳解】解：由條件可得△(3)241210，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A．

8．一元二次方程x2x30的根的情況是()

A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】D

【分析】先計(jì)算求出根的判別式△的值，再根據(jù)△的值來(lái)判斷根的情況即可．

【詳解】解：由條件可知△(1)2413112110，

該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

故選：D．

9．關(guān)于x的方程2x2mxm30的根的情況是()．

A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可得b24ac(m)242(m3)m28m24(m4)280，

再根據(jù)結(jié)果可得結(jié)論．

【詳解】解：由條件可得b24ac(m)242(m3)m28m24(m4)280，

這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

故選：B．

【題型4】已知解的情況求字母的值

10．若關(guān)于x的方程x25xc0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是()

255525

A．B．C．D．

4224

【答案】A

6

【分析】先根據(jù)根的判別式的意義得到△524c0，然后解關(guān)于c的方程即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得△524c0，

25

解得c．

4

故選：A．

11．若關(guān)于x的方程x22xm30有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值及范圍為m4．

【答案】m4．

【分析】對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，判別式△b24ac，當(dāng)△0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，據(jù)此

代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：x22xm30有實(shí)數(shù)根，

△224(1)(m3)44m12164m0，

解得m4．

故答案為：m4．

1

12．若關(guān)于x的方程ax22x40有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為a且a0．

4

1

【答案】a且a0．

4

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義個(gè)根的判別式的意義得到a0且△(2)24a40，然后求出兩個(gè)不

等式的公共部分即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得a0且△(2)24a40，

1

解得a且a0，

4

1

即a的取值范圍為a且a0．

4

1

故答案為：a且a0．

4

【題型5】根的判別式的綜合應(yīng)用

13．已知關(guān)于x的一元二次方程mx24x20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．

【答案】（）且；（），．

1m2m02x122x222

【分析】（1）由關(guān)于x的一元二次方程mx24x20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義

和根的判別式的意義可得m0且△0，即(4)24m20，兩個(gè)不等式的公共解即為m的取值范圍；

（2）求出m的值，解方程即可解答．

7

【詳解】解：（1）由題意得△(4)242m0且m0，

所以m2且m0；

（2）m2，且m0，m為正整數(shù)，

m1，

方程為x24x20，

△1688

，．

x122x222

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x22x(k1)0有實(shí)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求該方程的兩個(gè)根．

【答案】（1）k的取值范圍是k0；

（2）方程的兩個(gè)根都是1．

【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)合（1）中的取值范圍，求出k的值，再進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）由題知，

因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x22x(k1)0有實(shí)根，

所以△(2)24(k1)0，

解得k0，

所以k的取值范圍是k0．

（2）由（1）知，k的最大整數(shù)值為0，

則該方程為x22x10，

解得，

x1x21

所以方程的兩個(gè)根都是1．

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x24xk20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）若k為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，求此時(shí)k的值．

【答案】（1）k6；

（2）k的值為2或5．

【分析】（1）利用根的判別式的意義得到△424(k2)0，然后解不等式即可；

（2）由于△4(6k)0，k為正整數(shù)，△為完全平方數(shù)，則k2或5，然后用公式法解方程驗(yàn)證．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得△424(k2)0，

解得k6，

8

所以k的取值范圍為k6；

（2）△424(k2)4(6k)0，

而k為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，

k2或5，

當(dāng)k2時(shí)，△16，

416

x22，

21

解得，，

x14x20

當(dāng)k5時(shí)，△4，

44

x21，

21

解得，，

x11x23

k的值為2或5．

【題型6】根的判別式與三角形問(wèn)題

16．已知關(guān)于x的一元二次方程(bc)x22ax(bc)0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．

（1）若該△ABC是等邊三角形，求該方程的根；

（2）若該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】（），；

1x10x21

（2）直角三角形，理由見(jiàn)解析．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得abc，繼而可將方程化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)題意可知根的判別式的值為0，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．

【詳解】解：（1）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，abc，

原方程可化為：2ax22ax0，即2a(x2x)0，

x2x0，

x(x1)0，

，；

x10x21

（2）是直角三角形，理由如下：

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

△(2a)24(bc)(bc)0，

4a24b24c20，

a2b2c20，即a2c2b2，

△ABC是直角三角形．

9

1

17．已知關(guān)于x的方程x2(2k1)x4(k)0．

2

（1）求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a4，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是多

少？

【答案】（1）見(jiàn)解答；

（2）10．

【分析】（1）先計(jì)算判別式的值得到△4k212k9，配方得到△(2k3)2，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得△0，

則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；

3

（2）分類(lèi)討論：當(dāng)bc時(shí)，則△(2k3)20，解得k，然后解方程得到bc2，根據(jù)三角形三邊

2

關(guān)系可判斷這種情況不符合條件；當(dāng)ab4或ac4時(shí)，把x4代入方程可解得k的值，則代入方程

可解答．

1

【解答】（1）證明：△(2k1)244(k)

2

4k24k116k8，

4k212k9

(2k3)2，

(2k3)20，即△0，

無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：①當(dāng)bc時(shí)，△(2k3)20，

3

解得k，

2

方程化為x24x40，解得bc2，

224，

此種情況不成立；

1

②當(dāng)ab4或ac4時(shí)，把x4代入方程得164(2k1)4(k)0，

2

5

解得：k，

2

方程化為2，解得，，

x6x80x14x22

即三邊為4，4，2，能夠成三角形，

則周長(zhǎng)44210，

所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10．

18．已知關(guān)于x的方程x2(k2)x2k0．

10

（1）求證：無(wú)論k取何值，方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a1，另兩邊b，c的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

【分析】（1）先計(jì)算判別式的值得到△(k2)2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△0，則根據(jù)判別式的意義

得到結(jié)論；

（2）把x1代入方程得出關(guān)于k的方程，求得k的數(shù)值即可．已知a6，則a可能是底，也可能是腰，分

兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長(zhǎng)．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)

【詳解】解：（1）證明：△(k2)242kk24k4(k2)20，

無(wú)論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）①若a1為底邊，則b，c為腰長(zhǎng)，則bc，則△0．

(k2)20，解得：k2．

此時(shí)原方程化為x24x40

，即．

x1x22bc2

此時(shí)△ABC三邊為1，2，2能構(gòu)成三角形，

故周長(zhǎng)為1225；

②若ab為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)ba1

代入方程：12(k2)2k0

解得k1，

則原方程化為x23x20，

解得，，

x11x22

即b1，c2，

此時(shí)△ABC三邊為1，1，2不能構(gòu)成三角形，則舍去；

△ABC的周長(zhǎng)為5．

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視應(yīng)用根的判別式的前提

關(guān)于x的一元二次方程(m2)x22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍()

A．m3B．m3且m2C．m3且m2D．m3

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程(m2)x22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得△b24ac0，從而

可以列出關(guān)于m的不等式，求解即可，還要考慮二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0．

【詳解】解：由題意可得：△b24ac224(m2)10，且m20，

解得，m3且m2，

故選：B．

【方法點(diǎn)睛】

11

可以銀據(jù)一元二次方程根的情況利用方程或不等式從而解出字母的值或取值范圍：若待定的字母

出現(xiàn)在二次項(xiàng)系數(shù)中，則二只項(xiàng)系數(shù)不為Q

【易錯(cuò)點(diǎn)2】沒(méi)有認(rèn)清方程有實(shí)數(shù)根和一元二次方程有實(shí)數(shù)根的區(qū)別

已知方程m2x2(2m1)x10有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

【答案】（1）5；

1

（2）m．

4

【分析】（1）先根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，然后合并即可；

（2）方程有實(shí)數(shù)根，可以分為一元一次方程和一元二次方程．一元一次方程始終是有實(shí)數(shù)根，一元二次方

程可以用△0判斷．

1

【詳解】解：（1）(13)0|2|2cos45()1

4

2

1224

2

1224

5；

（2）當(dāng)m20，即m0時(shí)，方程變?yōu)閤10，有實(shí)數(shù)根；

1

當(dāng)m20，即m0時(shí)，原方程要有實(shí)數(shù)根，則△0，即△(2m1)24m24m10，解得m，

4

1

則m的范圍是m且m0．

4

1

綜上所述，m的取值范圍為m．

4

【方法點(diǎn)睛】

方程有實(shí)數(shù)根此方程不一定是一元二次方程也可能是一元一次方程：方程有兩個(gè)

實(shí)散根該方程一定是一元二次方程

12

一．選擇題（共6小題）

1．（2025春?瑤海區(qū)校級(jí)期中）用求根公式解一元二次方程3x22x1時(shí)，a，b，c的值是()

A．a(chǎn)3，b1，c2B．a(chǎn)3，b2，c1

C．a(chǎn)3，b2，c1D．a(chǎn)3，b2，c1

【答案】C

【分析】把原方程化為形如ax2bxc0（其中a、b、c是常數(shù)，a0)的形式即可得到答案．

【詳解】解：原方程整理得3x22x10，

則a3，b2，c1，

故選：C．

2．（2024秋?阜平縣期末）用公式法解一元二次方程3x232x時(shí)，若a3，則b的值為()

A．2B．2C．3D．3

【答案】A

【分析】先把方程整理為一元二次方程的一般形式，進(jìn)而可得出結(jié)論．

【詳解】解：一元二次方程3x232x可化為3x22x30，

b2．

故選：A．

3．（2025?西華縣二模）若方程x22xk0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是()

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【分析】直接利用根的判別式進(jìn)行判斷，求出k的取值范圍即可．

【詳解】解：由根的判別式可得k1，

k的值可以是2，

故選：D．

4．（2025?三門(mén)峽二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x22xa10無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)yxa的圖

象一定不經(jīng)過(guò)()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【分析】先利用根的判別式的意義得到△0，解不等式得到m的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決

問(wèn)題．一元二次方程ax2bxc0(a0)的根與△b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)△0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

【詳解】解：由根的判別式可得△(2)24(a1)0，

13

解得a2，

所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限．

故選：C．

5．（2025?蘭考縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mx10，其中m是實(shí)數(shù)，關(guān)于該方程根的情況，

下列判斷正確的是()

A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得到答案．

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程的△(m)241(1)m24，

m240，

方程x2mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C．

6．（2025?宛城區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22x30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值可

以是()

23

A．1B．0C．D．

32

【答案】D

【分析】由題意易得△b24ac412(k1)0，然后求解即可

【詳解】解：由題意可知：

△b24ac412(k1)0且k10，

2

解得：k且k1，

3

3

k的值可以是；

2

故選：D．

二．填空題（共6小題）

7．（2024秋?橫州市校級(jí)期中）小明用公式法解方程x24x70，請(qǐng)幫他填空第一步，解：a1，b4，

c7．

【答案】7．

【分析】根據(jù)求根公式中a、b、c的意義求解．

【詳解】解：a1，b4，c7．

故答案為：7．

14

332421

8．（2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若一元二次方程的根為x，則該一元二次方程可以為

22

2x23x10（本題答案不唯一）．

【答案】2x23x10（本題答案不唯一）．

bb24ac

【分析】對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，若其有實(shí)數(shù)根，那么其實(shí)數(shù)根為x，據(jù)

2a

此結(jié)合題意得到a2k，b3k，ck，即可寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程，如果各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相

同的倍數(shù)也是符合題意的．

332421

【詳解】解：一元二次方程的根為x，

22

a2k，b3k，ck，

當(dāng)k1時(shí)，該一元二次方程可以為2x23x10，

故答案為：2x23x10（本題答案不唯一）．

9．（2025春?合肥校級(jí)月考）若3x26x8的值與2x21的值相等，則x3．

【答案】3．

【分析】根據(jù)題意得到方程3x26x82x21，求出方程的解即可．

【詳解】解：有條件可知3x26x82x21，整理得：x26x90，

(x3)20，

，

x1x23

故答案為：3．

ab

10．（2024秋?寧遠(yuǎn)縣期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”和“★”，其規(guī)則為：a☆ba2b2，a★b，

2

則方程☆★的解為．

2xx8x1x22

【答案】．

x1x22

8x

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算，可得出2☆x22x2，x★84x，由2☆xx★8得到x24x40，

2

利用配方法解方程即可．

ab

【詳解】解：a☆ba2b2，a★b，

2

8x

2☆x22x24x2，x★84x，

2

2☆xx★8，

4x24x，即x24x40，

b24ac(4)241416160，

15

40

x，

2

．

x1x22

故答案為：．

x1x22

11．（2025?淮濱縣一模）關(guān)于x的一元二次方程x24x2a0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的值可以是

1（答案不唯一，滿足a2即可）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．

【答案】1（答案不唯一，滿足a2即可）．

【分析】對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，若△b24ac0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若

△b24ac0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若△b24ac0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，據(jù)此利用判別式

求出a的取值范圍即可得到答案．

【詳解】解：由條件可得△(4)242a0，

a2，

a的值可以是1，

故答案為：1（答案不唯一，滿足a2即可）．

12．（2025?即墨區(qū)校級(jí)二模）若關(guān)于x的一元二次方程(k1)x26x30有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

為k4且k1．

【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的

取值范圍．

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程(k1)x26x30有實(shí)數(shù)根，

k10

，

2

643(k1)0

解得：k4且k1．

故答案為：k4且k1．

三．解答題（共5小題）

13．用公式法解下列方程：

（1）2x23x40；

（2）16x28x3；

（3）x253(x2)．

341341

【答案】（1）x，x．

1424

13

（2）x，x．

1424

16

313313

（3）x，x．

1222

【分析】（1）首先得出b24ac的符號(hào)，進(jìn)而利用求根公式得出答案；

（2）方程整理后，首先得出b24ac的符號(hào)，進(jìn)而利用求根公式得出答案；

（3）方程整理后，首先得出b24ac的符號(hào)，進(jìn)而利用求根公式得出答案．

【解答】（1）2x23x40；

解：a2，b3，c4，

△b24ac(3)242(4)41．

bb24ac341

x，

2a4

341341

x，x．

1424

（2）16x28x3；

解：將原方程化為一般形式，得16x28x30，

△b24ac82416(3)256，

bb24ac8256

x．

2a216

13

x，x．

1424

（3）x253(x2)．

解：將方程整理為一般形式，得x23x10，

a1，b3，c1，

△b24ac(3)241(1)13．

bb24ac313

x．

2a