專題01二次根式與勾股定理

內(nèi)容導航

串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

一、平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等．

②角：平行四邊形的對角相等．

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．

（3）平行線間的距離處處相等．

（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．

2.平行四邊形的判定：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

1

符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵AB=DC，AD=BC

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵AB∥DC，AB=DC

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵OA=OC，OB=OD

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

3.三角形的中位線：

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

（2）幾何語言：

如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點

1

∴DE∥BC，DEBC

2

二、矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形的性質(zhì)：

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等且互相平分；

2

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

三、菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)：

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

（3）菱形的面積計算

1

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對角線的長度）

2

2.菱形的判定：

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

四、正方形的性質(zhì)與判定

1.正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．

2.正方形的判定：

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．

3

考點一：平行四邊形的性質(zhì)與判定

例1．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，于

點，為的中點，連接，．??????=2????⊥??

????????

(1)求的值．

∠???

(2)求證∠??：?．

【答案】(?1?)=??

(2)證明見解析2

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線定理，全等

三角形的判定及性質(zhì)等知識點，合理作出輔助線是解題的關鍵．

（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進行角的等量代換求解即可；

（2）延長，交的延長線于點，判定出，即可根據(jù)全等的性質(zhì)求解．

【詳解】（1?）?解：?∵?為的中點，?△???≌△???

∴，???

1

∵??=2??，

∴??=2??，

1

∴??=2??，

∵?四?邊=形??為平行四邊形，

∴????，，

∴??=??=????∥??，

∴∠???=∠???=，∠???

1

∴∠???=2∠???；

∠???∠???

1

∠???=2∠???=2

（2）解：延長，交的延長線于點，如圖所示：

?????

∵為平行四邊形，

????4

∴，

∴??∥??，

∴∠在?=∠??和?中，

△???△???

??=??

∠?=∠???

∴，

∠???=∠???

∴△???≌△???，AAS

1

∵??=??，=2??

∴?在?⊥??中，，

1

∴Rt△?．????=2??

【變??式=訓?練?1】

1．（24-25八年級下·重慶·期中）如圖，在中，，，將繞點C順時針旋轉得

到．連接，與線段交于點F．△若???，??則=??一∠?定=等?于（△）???

△?????????∥??∠???

A．B．C．D．

【答案】2?D3?180°?2?180°?3?

【分析】本題主要考查旋轉的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉的性質(zhì)、

平行四邊形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵；由題意易得，根據(jù)旋轉的性

質(zhì)可知：，然后可得四邊形∠是?平=行∠?四?邊?形=，?進而根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)∠?及=三∠角?形=外∠?角?的?性=質(zhì)∠?可??進=行?求,?解?．=??????

【詳解】解：∵，，

∴??，=??∠?=?

由旋∠?轉=的∠性??質(zhì)?可=知?：，

∴，∠?=∠?=∠???=∠???=?,??=??

∵??=??，

∴?四?邊∥形??是平行四邊形，

∴????，

∴∠?=∠???=?，

∵∠???=180°?∠??，??∠???=180°?2?

∠???=∠?+∠???

5

∴；

故選∠?：??D．=∠????∠?=180°?3?

2．（2025八年級下·全國·專題練習）已知如圖，在中，，為銳角，將沿對角線

邊平移，得到，連接和，若使四邊?形????是?菱?形>，?需?添∠加?一??個條件，現(xiàn)有△三?種??添加方案，

′′′′′′′

?甲?方案：△?；?乙?方案：????；丙方案：????；其中正確的方案是（）

′′′′′′′′′

??=????⊥??∠???=∠???

A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲

【答案】B

【分析】本題主要考查了菱形的判定及平移的性質(zhì)，靈活選擇判定定理是解題的關鍵．先根據(jù)題意可知四

邊形是平行四邊形，再根據(jù)三種方案結合菱形的判定定理即可得出答案．

′′

【詳解??】?解?：∵四邊形為平行四邊形，

∴，，????

根據(jù)??平∥移?可?知??=??，，

′′′′

∴，??=??，??∥??

′′′′

四?邊?形∥???是?平=行??四邊形，

′′

∴???．?

′′

方案??甲=，?添?加不能判斷四邊形是菱形；

′′′′

方案乙，由??=?，?????

′′

平行四邊形??⊥??是菱形；

′′

∴方案丙，由????，

′′′′′

∵∠，???=∠???

''

∴??∥??，

''''

∴∠???=∠???，

′′′

∠???=∠，???

′

∴平?行?四=邊??形是菱形．

′′

∴所以正確的是?乙?和??丙．

故選：B．

6

3．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在中，，M，N分別是的中點，延長

至點D，使，連接，若△???，∠???=90°，則??,．????

1

??=3????,??,????=8cm??=6cm??=

【答案】

【分析】本5cm題考查的是三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形

的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．連接，根據(jù)三角形中位線定理得到

，，證明四邊形是平行四邊形，得到，根??據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到??=，

11

等2?量?代?換?即∥可??．??????=????=2??

【詳解】解：連接，如圖，

??

，，，

∵∠???=9．0°??=8cm??=6cm

22

∴??、=分?別?是+??、=1的0中cm點，

∵??，????，

1

又∴??=2??，??∥??

1

∴??=3??，

1

??=2??，

∴又??=??，

四?邊?形∥??是平行四邊形，

∴???，?

∴??=??，是的中點，

∵∠???=90°?，??

1

∴??=2??．=5cm

∴故?答?案=為5：cm．

考點二：矩5形cm的性質(zhì)與判定

7

例2．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，矩形的對角線交于點為邊上一動點（不與、

重合），在射線上，且，連接．?????,?????

?????⊥????

(1)如圖1，若為的中點，，則___________；

(2)如圖2，為??上?一動點，??=4,??=3??=

①根據(jù)題意?，補??全圖形；

②寫出、、的數(shù)量關系，并證明你的結論．

【答案】?(?1)????

5

(2)①見詳解2②，證明見詳解

222

【分析】（1）根據(jù)??矩形的+性??質(zhì)得=??，，結合為的中點，則

，再證明四邊形是∠矩??形?，=運90用°,勾??股=定?理?列式??計=算?，?即=可4作答．?????∥??,??=

13

（2?2?）=①2結合在射線?上?，??且，連接，且在圖2上補全圖形，即可作答．

②先延長交?于點??，連接??，運⊥用??矩形的性??質(zhì)，證明，再得出垂直平分，得

，則在????中，???，然后結合線段△的?等??量≌代△換?，??即可作答．??????=

222

?【?詳解】（1R）t△解?：?∵?四邊?形?+??是矩=形??，

∴，????，

∵∠為???=的9中0點°,?，?=????=??=4

∴???，是的中位線，

1

∴??=??=2??=2?，?△???

13

∴??∥??,??，=2??=2

∵∠???=，90°

∴??⊥??，

∴∠四?邊??形=90°是矩形，

∴????

2

??=??=3

在中，，

2295

故答Rt案△為?：??；??=??+??=4+4=2

5

（2）解：①2如圖所示：

??,??

8

②，證明如下：

222

延長??交+?于?點=?，?連接，如圖所示：

???????

∵四邊形是矩形，

∴??，??，，

∴??=????∥，??∠???=90°

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴△???≌△???，

∵??=??，,??=??

∴??垂⊥直??平分，

∴??，??

在??=??中，，

222

∵Rt△?????+??=??

∴??=??,??=?．?

222

【點??睛+】?本?題=考?查?了矩形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，

中位線的判定與性質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．

【變式訓練2】

1．（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點，

于，于，為的中點，則△?的?最?小值?為?（=3）??=4??=5???

??⊥?????⊥????????

9

A．B．2C．D．

【答案】2.4D1.61.2

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，先說明是直

角三角形，進而得出四邊形是矩形，可知當時，最小，然后根據(jù)面積相等得出△答??案?．

【詳解】解：連接，如圖?．?????⊥????

??

在中，，，，

∴△?????=3，??=4??=5

222

∴??+?是?直=角?三?角形，且．

∵△???，∠???=90°

∴?四?邊⊥形??,??是⊥矩??形，

∴與?互??相?平分，

∵??為??的中點，

∴?點M?在?上，且，

1

∴當最小??時，?最?小=，2??

根據(jù)直??線外一點到??直線上任意一點的距離，垂線段最短，即時，最短，同樣最短．

，??⊥??????

11

即?△???=2?????=，2?????

?????

∴??=??=2.4．

1

故選??：=D．2??=1.2

2．（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形中，點P是對角線上一點，，垂足分

別為E，F(xiàn)，連接．若，則??一??定等于（）????⊥??,??⊥??

??∠???=?∠???

A．B．C．D．

【答案】90A°??2?180°?3?45°+?

【分析】本題考查正方形，矩形的性質(zhì)及應用，解題的關鍵是掌握正方形的對稱性和矩形的判定定理和性

10

質(zhì)定理，連接交于O，可知，根據(jù)四邊形是正方形，，，可得四

邊形是矩?形?，?故?，從∠?而??=∠???，即得??????⊥????⊥，?故?

???．???=??∠???=∠???=?∠???=90°?∠???=90°??∠???=

9【0詳°?解?】解∶連接交于O．如圖∶

????

正方形的對稱性可知，，

四邊形????是正方形，∠???=∠???，

∵??????⊥??,??⊥??

∴四∠?邊?形?=∠??是?矩=形∠，???=90°

∴??．??

∴??=??

∴∠???=∠???=?．

∴∠???=90°?∠．???=90°??

∴故∠選?∶??A．=90°??

3．（24-25八年級下·陜西延安·期中）如圖，在四邊形中，，，，，

點，分別是，的中點，連接，．??????∥????⊥??∠?=60°??=2??

??????????

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)求的度數(shù)?．???

【答案∠?】?(?1)見解析

(2)

【分30析°】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．

（1）先求得，推出四邊形是平行四邊形，利用有一個是直角的平行四邊形是矩形即可判斷結

論成立；??=??????

（2）先證明四邊形是平行四邊形，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及角直角三角形的性質(zhì)證明

??，??推出，再證明30°，求得

1

??=2??=??=??∠???=∠???=∠???=60°△???≌△???SAS∠???=

11

，據(jù)此求解即可．

∠【?詳??解=】（301°）證明：，點是的中點，

，∵??=2?，????

11

∴??=2?，???=??=2??

∴∵??=?，?

四?邊?∥形??是平行四邊形，

∴??，??

∵??⊥??，

∴平∠?行?四?邊=形90°是矩形；

∴（2）解：如圖??，??連接，

??

∵，，

四?邊?∥形????是=平?行?四邊形，

∴?，???

??∥??，，

∴四∠?邊?形?=∠?是=矩60形°，∠???=∠???

∵????，

∴∠???=∠??，?=∠???=∠???=90°

∴點∠??為?=的30中°點，，

∵???，∠?=60°

∴∠???=30，°

1

∴??=2??，

1

∴??=2??=??=??，

∴又∠???=∠?，??=∠???=60°

∵??=??，

∴△???≌△???SAS，

∴∠???=∠???=30°．

∴考∠點?三??：=菱∠形?的??性?質(zhì)∠與??判?定?∠???=30°

例3．（24-25八年級下·全國·階段練習）如圖，在中，，點D是的中點，連接，

△???∠???=90°????

12

過點C作，過點A作，，交于點E，連接交于點O．

??∥????∥??????????

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)連接交于?點??F?，交于點G，若，，求的長．

【答案】??(1)見??解析；????=????=2??

(2)．

3

【分3析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關鍵是熟練掌握菱形的判定定理和勾股定理，準

確進行推理證明和計算．

（1）先根據(jù)，證明四邊形是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可；

（2）根據(jù)菱形??的∥?性?質(zhì)?得?出∥??，得出????為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理求解即可．

【詳解】（1）證明：∵??⊥??，點D△是???的中點，

∴∠?，??=90°??

1

∵??=?，?=??=，2??

∴?四?邊∥?形???∥是??平行四邊形，

∵??，??

∴?四?邊=形??是菱形；

（2）解：?∵??四?邊形是菱形，

∴，??，??，

∵??⊥??，??=??，??=??

∴??=????=2，為等邊三角形，

∴??=??=??=2△，???，，

∴∠???=，∠???=90°??=??=1∠???=60°

∵??∥??，

∴?四?邊∥?形?是平行四邊形，

∵??，??

∴?四?邊=形??是菱形，

∴????，

1

∴∠???=∠，???=2∠???=30°

由勾??股=定2理??得，即，

222222

解得．??=???????=(2??)?1

3

??=313

【變式訓練3】

1．（24-25八年級下·天津·期中）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，分別

以點，為圓心，大于的長為半徑作弧?，兩??弧?相?交于點，?作射線?交?于點，交于點??，若?，

1

??，則的長為2（??）???????????=13

??=24??

A．10B．9C．12D．6.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊行的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、

平行四邊行的性質(zhì)，是解題的關鍵．連接，由作圖知，平分，得到，根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到，，?求?得??，根∠據(jù)??等?腰三角形∠?的?性?質(zhì)=得∠?到??，

根據(jù)勾股定理即可??得∥到?結?論??．=??=13∠???=∠?????=??=13

【詳解】解：連接，

由作圖知：??，，平分，

??=????=????∠???

∴，

∵∠四?邊??形=∠??是?平行四邊形，

∴?，???，

∴??∥????=，??=13

∴∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∵??=??，=13

∴??=??，

∴?四?邊=形??是菱形，

∴???，?，，

11

∴??=2????=2??=2×24=12，??⊥??

2222

∴??=?????，=13?12=5

故選??：=A．2??=10

14

2．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在菱形中，，與交于點，為延長

線上的一點，且，連接分別交，于點??，??，連接∠?，?則?下=列60結°論?：???；????

；??；=??四邊形??是菱?形?．?其?中正?確的?有（??）①??⊥??②△???≌△

???③??∥??④????

A．B．C．D．

【答案】①A②③④①②③②③④①②④

【分析】由四邊形是菱形，得，，，然后根據(jù)平行四邊形的判定可證四邊形

是平行四邊形，然?后??通?過平行四邊?形?的⊥性??質(zhì)?即?可∥?判?斷??=；?由?平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方?法??即?

可判斷；由四邊形是平行四邊形，四邊形①是菱形，則，，然后通過中位線

定理即可②判斷；由四??邊?形?是菱形，得???，?則可證明??=是?等?邊?三?角=形??，故有，通

過菱形的判定方③法即可判斷??．????=??△?????=??

【詳解】解：∵四邊形④是菱形，

∴，，????，

∵??⊥??，??∥????=??

∴??=??，

∴?四?邊=形??是平行四邊形，

∴?，???

∴??∥??，故正確；

∵?四?邊⊥形??是①平行四邊形，

∴??，??，

∵??=??，??=??

∴??=??，故正確；

∵△四邊??形?≌△?是??平S行SS四邊形②，四邊形是菱形，

∴??，??，????

∴??是=???中?位=線??，

∴??△，?故??正確；

∵?四?邊∥?形?③是菱形，

∴??，??

∵??=??，

∴∠???=是6等0邊°三角形，

∴△???，

??=??

15

∵四邊形是平行四邊形，

∴??，??，

∴??=????=??，

∴?四?邊=形??=?是?菱=形??，故正確，

綜上可知：????正確④，

故選：．①②③④

【點睛】A本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．

3．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，矩形的對角線、相交于點．

?????????,??∥??,??∥??

(1)求證：四邊形為菱形；

(2)求證：??；??

(3)若??=??，則菱形的面積為_________．

【答案??】=(11)見,?解?析=3????

(2)見解析

(3)

2

【分2析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再利用矩形的性質(zhì)得出，即可得出答案；

（2）由（1）可得????，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可證??=??，進而得到，

結合，可??證=??,∠???=∠???，即可得出結論；∠???=∠???∠???=∠???

（3）?連?接=??交于△點?F?，?利≌△用矩??形?的SA性S質(zhì)結合勾股定理求出，，再根據(jù)四邊形是菱

形，證明??是??的中位線，求出，進而求出??=2??=1，最后由菱形???的?面積

12

公式計算即??可．△?????=2??=2??=2??=2????

【詳解】（1）證明：∵，，

∴四邊形是平行四?邊?形∥?，???∥??

∵矩形???的?對角線相交于點O，

∴????，??,??

∴?四?邊=形??是菱形；

（2）證明?：??由?（1）知四邊形是菱形；

∴，????

∴??=??

∠???=∠???

16

∵四邊形是矩形，

∴????，

∴∠???=∠???=90°，即，

∴∠???+∠???=∠??，?+∠???∠???=∠???

∴△???≌；△???SAS

（?3）?解=：??連接交于點F，

????

∵四邊形是矩形，

∴????，，

∵∠???=90°??，=??

∴??=1,??=3，，

22

∵?四?邊=形???是?菱?形=；2??=1

∴垂直?平??分?，即點F是的中點，

∵?四?邊形?是?矩形，??

∴??，??即點O是的中點，

∴??是=??的中位線?，?

∴??△???，

12

∴??=2??=2，

∴菱??形=2??的=面2積為．

12

【點睛】??此??題考查了矩2形??的·?性?質(zhì)=，2三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線，菱形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法是解題關鍵．

考點四：正方形的性質(zhì)與判定

例4．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在矩形中，，，菱形的三

個頂點、、分別在矩形的邊、、上，??，??連接??．=6??=8????

???????????????=2??

17

(1)若，求證：四邊形為正方形；

(2)若??=2，求的面?積?．??

【答案??】=(16)詳見解△析???

(2)6

【分析】（1）證明，推出，可得結論；

（2）過點P作Rt△，??交?≌的Rt延△長?線??于H點LG，連接∠??．?證=明∠???，推出，

利用三角形面積?公?式⊥進??一步解??答即可．??△???≌△???AAS??=??=2

【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，

∴，????

∵∠四?邊=形∠?=9為0°菱形，

∴??．??

∵??=??，

∴?在?=??=2和中,

Rt△?,??Rt△???

??=??

∴，

??=??

∴Rt△???≌Rt．△???HL

∵∠???=∠???,

∴∠???+∠???=90°,

∴∠???+∠???=90°,

∵∠四?邊?形?=180為°?菱9形0°，=90°

∴四邊形????為正方形；

（2）解：?如??圖?，過點P作，交的延長線于點G，連接，

??⊥??????

∴．

∵∠四?邊=形∠?=9為0°矩形，

∴?，???

∴??∥??，

∵∠四?邊??形=∠??為?菱形，

∴??，??，

??=????∥??

18

∴，

∴∠???=∠???．

∴∠????∠???，=∠????∠???

在∠???=和∠???中，

△???△???

，

∠?=∠?

∠???=∠???

∴??=??，

∴△???≌△??，?AAS

??=??=2．

11

?【△點??睛?=】2本?題?考×?查?正=方2形×的6×判2定=與6性質(zhì)，三角形的面積，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．

【變式訓練4】

1．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，中，為邊上一點，平分，過點作，

與交于點，作，與交于點，連△接???．則?以下?結?論中錯誤的?是?（）∠??????∥??

?????∥???????

A．四邊形是菱形

B．與?互??相?垂直且平分

C．當????時，四邊形是菱形

D．若??=??時，則四?邊??形?是正方形

【答案】C∠???=90°????

【分析】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、三角形中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的

判定等知識點，掌握菱形的判定與性質(zhì)成為解題的關鍵．

先判定四邊形是菱形可判定A選項；再根據(jù)菱形的性質(zhì)可判定B選項；再根據(jù)三角形等腰三角形的性

質(zhì)、三角形的中?位??線?可證明是平行四邊形；最后根據(jù)有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形可判定D選項．

【詳解】解：∵，????，

∴四邊形是?平?行∥?四?邊形??，∥??，

∵平分????，∠???=∠???

∴??∠???，

∴∠???=∠???，

∠???=∠???

19

∴，

∵?四?邊=形??是菱形，即A選項正確，不符合題意；

∴與?互??相?垂直且平分，即B選項正確，不符合題意；

當????時，由等腰三角形的性質(zhì)得；

∵?四?邊=形??是菱形，??⊥??

∴??，??；

∴??=????=；??

∵∠???=∠???，

∴∠???+∠?，=∠???+∠???=90°

∴∠?=∠?，??即，

∴?F?點=是??的中?點?；=??

同理：得?E?點是的中點，

∴是的?中?位線，

∴??△，???；

1

∵??∥??，??=2??

∴?四?邊∥?形?是平行四邊形；故選項C錯誤，符合題意；

∵四邊形????是菱形，，

∴四邊形????是正方形，∠?即??選=項9D0°正確，不符合題意．

故選C．????

2．（2025·貴州·模擬預測）如圖，是等腰直角三角形，，是的中點，連接并延長

至，使得，連接和△．???以點為圓心，的長∠?為??半=徑9畫0°弧交??于?點；分別以??點、

為圓?心，大?于?=?的?長為半?徑?畫弧??，兩①弧交于?點；作?射?線交于點，?連?接?．若②?，?

1

2?．??③?????????=22+2

??=

【答案】2

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是

矩形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形???是?正方形，求得，得到????

，求得?，??根?據(jù)全等三角形的?性?質(zhì)=得?到?=??=22+2??=，

根2據(jù)??等=腰4直+角2三2角形的性??質(zhì)=即?可?得?到?結?論=．2∠???=∠???=90°,??=??

【詳解】解：∵O是的中點，

??20

∴，

∵??=??，

∴?四?邊=形??是平行四邊形，

∵????，

∴∠四?邊??形=90°是矩形，

∵??，??

∴?四?邊=形??是正方形，

∴????，

∴??=??=??=22+，2

∵??=2??=4+2，2

∴??=??=22+2，

由作??圖=知?，???平?分=2，

∴??，∠???

∵∠???=∠???，

∴??=??,??=??，

∴△???≌△???(SAS)，

∴∠???=∠??，?=90°,??=??

∵∠???=90°，

∴∠???=45°，

∴??=??=2，

故答??案=為?：?2=．2

【點睛】本題考查了作圖基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，

等腰直角三角形的判定和性?質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．

3．（24-25八年級下·江蘇徐州·期中）如圖，在正方形中，，分別是，上兩點，交于點，

且．???????????????

??=??

(1)判斷與之間的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由：

(2)當點?是???的中點時，連接，求的度數(shù)．

【答案】?(1?)?，??，理由∠見?解??析

(2)??=????⊥??

45°

21

【分析】（）證明，得，，進而可得，即

得到1，即可△求??證?；≌△???SAS??=??∠???=∠???∠???+∠???=90°

（）?過?點⊥??作于，交的延長線于，可得四邊形是矩形，再證明

2?，得??⊥??，?利用??三⊥角?形?面積??得，?即得?，?即?可?得四邊形△是正??方?形≌△，

?即?可?求A解AS；??=????=????=??????

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：，，理由如下：

∵四邊形是正?方?=形，????⊥??

∴????，，

∵??=??，=??∠???=∠???=90°

∴??=??，

∴??=??，

∴△???≌，△???SAS，

∵??=??∠???=∠，???

∴∠???+∠???=90°，

∴∠???+∠??，?=90°

即∠???=；90°

（?2）?解⊥：??如圖，過點作于，交的延長線于，

???⊥?????⊥?????

∵，

則??⊥??，

∴∠四?邊=形∠???=是∠矩?形?，?=90°

∵點是??的?中?點，

∴???，

又?∵?=??，，

∴∠???=∠?=90°，∠???=∠???

∴△???≌△，???AAS

由（??=）知??，

∴1△???，≌△???

∵?△???=?，△???，，

??=????⊥????⊥??

22

∴，

∴??=??，

∴?四?邊=形??是正方形，

∴????．

考∠點?五??：=中4點5°四邊形

例5．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，，，，順

次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連?接?四??邊形??⊥??各?邊?中=點?，?得?到=四?邊形

……如??此?進?行下去，得到四邊形?1?1?1?．1給出下列結論：①四?邊1?形1?1?1是矩形；②四邊

?形2?2?2?2是菱形；③四邊形?的??周??長??是?；④四邊形的面?積3?是3?3?3．其中，正確的結

?+???

?+1

論有?4（?4?4）?．4?5?5?5?54????????2

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形中各邊長的長度關系規(guī)律，然后對選項作出

分析判斷：????

【詳解】解：①連接，，

∵在四邊形中，?順1?次1連?接1?四1邊形各邊中點，得到四邊形，

∴?，???，，????，?1?1?1?1

∴?1?1∥??，?1?1∥???1，?1∥???1?1∥??

∴?四1邊?1形∥?1?1?1?是1∥平?1行?1四邊形；

∵?1，?1?1?1

∴??⊥??，

∴?四1邊?1形⊥?1?1是矩形，

∴?1?1?（1?矩1形的兩條對角線相等）；

∴?1?1=?1?1（三角形的中位線定理），

∴?四2邊?2形=?2?2=?是2?菱2形=；?2?2

同理繼續(xù)連?2接?2，?2四?2邊形是矩形；故①②正確；

③每次連接新四邊形，?其3?邊3?長3?是3上一個四邊形對應邊長的一半,

23

經(jīng)過次連接得到四邊形，根據(jù)中位線的性質(zhì)得，

4?5?5?，5?5

111

?5?5=2?3?3=4?1?1=8??，

111

553311

∴?四?邊=形2??=4?的?周長=是8??，故③正確；

1?+?

④∵四邊?形5?5?5?5中，