PAGE1第1講二次根式與勾股定理（12大核心考點）內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1二次根式的概念與性質(zhì)1．二次根式的有關(guān)概念一般地，我們把形如_________________的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．注意：（1）必須含有二次根號“，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫作“”．（2）被開方數(shù)必須是________，如和都不是二次根式．（3）二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子．（4）式子a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有_______________性．2.二次根式的性質(zhì)：（1）．（2）．一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)（3）．一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值（4）．積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積（5）．兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根3．最簡二次根式被開方數(shù)不含________；被開方數(shù)中不含__________________________________．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．知識點2二次根式的有關(guān)計算1.二次根式的乘法：（1）．（2）逆用：（3）推廣：①②2．二次根式的除法：（1）（2）逆用：（3）推廣：①②，其中．3．二次根式的加減（1）法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成_____________，再將_____________的二次根式進行合并．（2）步驟：①將各個二次根式化成最簡二次根式；②找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合并被開方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．（3）注意：①化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分．②整式加減運算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用．③根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形式．4．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．（2）在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然適用．（3）二次根式混合運算的結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式．知識點3勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于_____________.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么_____________.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.知識點4勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點5勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足_____________，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．考點一：二次根式的有關(guān)定義例1．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級下·廣西河池·期中）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級下·廣東江門·期中）若最簡二次根式與可以合并，則的值為．考點二：二次根式的性質(zhì)例2．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）若，則．【變式訓(xùn)練】4．（24-25八年級下·重慶長壽·期中）已知實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，則化簡為（

）A． B．C． D．5．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）若，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．6．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）將一組數(shù)，2，，，，，…，，…，按以下方式進行排列：則第八行左起第2個數(shù)是（

）第一行

第二行

2

第三行

……A． B． C． D．考點三：二次根式的計算例3．（2025八年級下·湖北·專題練習(xí)）計算：；(2)．【變式訓(xùn)練】7．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：．8．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）計算：(1)；(2)．9．（2025八年級下·內(nèi)蒙古·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．考點四：二次根式的求值例4．（24-25八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：，．(1)求的值；(2)若m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，求的值．【變式訓(xùn)練】10．（24-25八年級下·安徽合肥·期中）若，則代數(shù)式的值為．11．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）已知，則的值為．12．（24-25八年級下·江西新余·期中）小明在解決問題：已知，求的值，他是這樣分析與解答的：．．，即．，．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)計算：______．(2)若，求的值．考點五：二次根式的應(yīng)用例5．（24-25八年級下·甘肅蘭州·期中）閱讀材料:若兩個正數(shù)，，則有下面不等式，當(dāng)時取等號，我們把叫作正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，把叫作正數(shù)，的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問題的有力工具．不等式可以變形為不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．(，均為正數(shù))例：已知x>0，求的最小值．解：由得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值，最小值為．根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)______；______；(用“”“”“”填空)(2)當(dāng)，則的最小值為，此時_____；(3)當(dāng)，則的最小值為______；(4)用籬笆圍一個面積為的長方形花園，問這個長方形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短籬笆是多少？【變式訓(xùn)練】13．（24-25八年級下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖用6個完全相同的小長方形拼成一個無重疊的大長方形，已知小長方形的長為，寬為，下列對大長方形的判斷不正確的是（

）A．大長方形的長為 B．大長方形的寬為C．大長方形的周長為 D．大長方形的面積為2414．（24-25八年級下·山東德州·期中）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③；…請你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：．15．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）（1）請用：“”、“”、“”填空：①______；②______；③______．（2）由（1）中各式猜想與（，）的大小關(guān)系，并說明理由．（3）學(xué)以致用：某園林設(shè)計師要用籬笆圍成一個矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體（墻體足夠長），為了圍成面積為的花圃，所用的籬笆至少是多少米？考點六：勾股定理的有關(guān)計算例6．（24-25八年級下·遼寧營口·期中）在中，，，點D是的中點，點E是線段上的動點，過點E作交于點F，連接，若．(1)求證：；(2)求的長．【變式訓(xùn)練】16．（2025·安徽蕪湖·二模）如圖，中為上的中線，，垂足為，，，，則的長為（

）A． B． C． D．17．（24-25八年級下·遼寧阜新·期中）中，，，的對邊分別為a，b，c，，，面積為1，則．18．（24-25八年級下·山東青島·期中）已知：如圖，在中，，，的垂直平分線分別交，于點D，E，連接．(1)求證：；(2)連接，與之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？請說明理由．考點七：勾股定理與平方關(guān)系例7．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，．(1)求證：；(2)當(dāng)，，時，求的值．【變式訓(xùn)練】19．（24-25八年級上·貴州貴陽·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，交于點．(1)若，，，，請求出，，，的值．(2)若，，求的值．(3)請根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論．20．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，四邊形的對角線，相交于點．若，則．21．（23-24八年級下·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D是線段上一點，且滿足條件：，．若，，，則．考點八：勾股定理與翻折問題例8．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，將矩形紙片沿對角線對折，點落在點的位置，與相交于點．

(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求．【變式訓(xùn)練】22．（24-25八年級下·北京房山·期中）如圖，折疊矩形紙片，先折出折痕（對角線），再折疊使落在對角線上，得到折痕，已知，，則折痕的長是（

）A． B． C． D．23．（23-24八年級下·四川南充·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC中點B(8，4)，若將沿AC折疊，使B落在處，則的縱坐標(biāo)是．24．（24-25八年級下·安徽合肥·期中）已知在長方形中，，．按下列要求折疊，試求出所要求的結(jié)果．(1)如圖（1）所示，把長方形沿對角線折疊得，交于點F，求：(2)如圖（2）所示，折疊長方形，使落在對角線上，求折痕的長；(3)如圖（3）所示，折疊長方形，使點D與點B重合，求折痕的長．考點九：勾股定理的證明例9．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，則．(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進行解答；(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）問中若時，，，，，設(shè)，求x的值．【變式訓(xùn)練】25．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B． C． D．26．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）某版本教材提供了一種勾股定理無字證明的方法：如圖所示，，古人把正方形沿，兩線段剪成四塊四邊形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他們通過這種簡單的剪切、拼接，就以實驗的方式驗證了勾股定理．現(xiàn)在，探究小組，經(jīng)過分析初步得出了下面一些結(jié)論：①．；②．若測得，，設(shè)，，則；③．．④．N，O，J，P分別為正方形四邊的中點．上面結(jié)論正確的是．27．（24-25八年級下·安徽亳州·期中）【背景介紹】千百年來，人們對勾股定理的證明樂此不疲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖1方式放置，其三邊長分別為．(1)請你利用圖1證明勾股定理；(2)如圖2，在中，，且，當(dāng)是鈍角三角形時，猜想與之間的關(guān)系，并說明理由；(3)已知的三邊為（為斜邊），其中滿足，求的斜邊的長．考點十：勾股定理的應(yīng)用例10．（24-25八年級下·河南三門峽·期中）八年級11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度，測得如下數(shù)據(jù)：①測得的長度為8米：（注：）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式訓(xùn)練】28．（24-25八年級下·廣東汕頭·期中）2025年1月1日，汕頭市區(qū)春節(jié)煙火晚會精彩呈現(xiàn)，吸引了近萬名市民共同感受“粵東之城，蛇年呈祥”的美好圖景．如圖，東海岸道路上有A、B兩個出口，相距250米，在公路北面不遠處的C地是煙火晚會煙花燃放處，已知C與A的距離為150米，與B的距離為200米，在煙花燃放過程中，為了安全起見，燃放點C周圍半徑130米范圍內(nèi)不得進入．(1)煙花燃放點C距離公路的垂直距離為多少米？(2)煙花燃放過程中，按照安全要求，A、B之間的公路是否需要暫時封鎖？若需要封鎖，請說明理由，并求出需要封鎖的公路長．29．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：現(xiàn)在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端．將繩子垂到地面時，繩子還有三尺余在地上．拉著繩子后退，離木頭根部八尺時，繩子被拉直用完．問繩子的長度是多少？30．（24-25八年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）消防云梯主要是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時間，減少救援難度和風(fēng)險．如圖，某棟樓房發(fā)生火災(zāi)，在這棟樓離地面24米的處有一老人需要救援，已知消防車高為4米，救人時消防車上的云梯必須伸長至最長25米．(1)求此時消防車的位置與樓房的距離的長；(2)完成處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在處的上方4米的處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小孩，消防車需從處駛近到處，云梯移動至，消防車高為，問消防車靠近的距離也為4米嗎？請說明理由．考點十一：勾股定理的逆定理例11．（24-25八年級下·重慶長壽·期中）如圖，長壽某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形），經(jīng)測量，在四邊形中，，，，，．(1)是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？【變式訓(xùn)練】31．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）為了響應(yīng)國家生態(tài)文明建設(shè)的號召，提升居民生活品質(zhì)，營造更加宜居和諧的居住環(huán)境，呼和浩特某小區(qū)全面啟動了綠化升級工程，以“生態(tài)、美觀、實用”為原則，科學(xué)規(guī)劃，精心布局，打造多功能的綠色空間．社區(qū)在住宅樓和臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知，，，，兩條街道互相垂直．(1)由于綠化區(qū)的存在，小區(qū)居民要想從點A走再到點C必須經(jīng)過點B繞行，為了方便居民出入，該小區(qū)計劃在該綠化區(qū)中開辟一條從點A直通點C的小路（小路寬度忽略不計）．若此計劃落實，則居民從點A到點C能少走多少米？(2)求這片綠化區(qū)的面積．32．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）如圖，在一條東西走向的河道的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，由于某種原因．由村莊到取水點的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點（點，，在同一條直線上），并新修一條路，測得，，．是否為從村莊到河邊最近的路？（即與是否垂直？）請通過計算加以說明．33．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，網(wǎng)格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段的端點均在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出以為邊的正方形，點E和點F均在小正方形的頂點上；(2)在圖中畫出以為斜邊的等腰直角，點H在小正方形的頂點上；(3)連接，請直接寫出線段的長．考點十二：勾股定理與最值問題例12．（24-25八年級上·甘肅蘭州·期中）綜合與實踐背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．(1)把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為、、．顯然，，．用含、、的式子分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理．上述圖形的面積滿足的關(guān)系式為________，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．(2)如圖2，鐵路上、兩點（看作直線上的兩點）相距千米，、為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為、，千米，千米，則兩個村莊的距離為________千米（直接填空）；(3)在（2）的條件下，要在上建造一個供應(yīng)站，使得，求出的距離．(4)借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．【變式訓(xùn)練】34．（24-25八年級下·河南三門峽·階段練習(xí)）如圖，A，B個村在河的同側(cè)，且，A，B兩村到河的距離分別為，．現(xiàn)要在河邊上建一水廠分別向A，B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費每千米需3000元．請你在河岸上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用W（元）．35．（24-25八年級下·四川自貢·期中）如圖，圓柱的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？36．（24-25八年級上·上海浦東新·期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．【小試牛刀】（1）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，，已知，，，，試證明．

【知識運用】（2）如圖2，鐵路上，兩點（看作直線上的兩點）相距24千米，，為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為、，千米，千米，則兩個村莊的距離為千米（直接填空）；（3）在（2）的背景下，要在上建造一個供應(yīng)站，使得，求的長．（4）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．一、單選題1．（23-24八年級下·廣西河池·期末）要使式子有意義，則x的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．22．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C． D．3．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）已知，則的值保留小數(shù)點后兩位是（

）A．6.93 B．3.47 C．3.46 D．1.734．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）如圖，中，．以的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為，若，則的值為（）A．18 B．20 C．22 D．255．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）已知，則的值為（）A． B． C． D．以上都不對6．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，、分別是的高線、中線，，，．則長為（

）A． B． C． D．17．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，它巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形的較長的直角邊為，較短的直角邊為，若圖2中大正方形的面積為32，線段的長為，圖2中4個全等的直角三角形面積和為（

）A．28 B．24 C．20 D．168．（24-25八年級下·四川德陽·期中）如圖，在中，，，D、E為上兩點，，F(xiàn)為外一點，且，，則以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④二、填空題9．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）填空：（1）若與最簡二次根式是同類二次根式，則；（2）若a、b都是無理數(shù)，且，請寫出一組符合條件的a、b的值：．10．（24-25八年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知點滿足，則點到原點的距離為．11．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高的樹頂飛到另一棵高的樹