第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質課標要求1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關系，歸納出有關垂直的性質定理和判定定理，并加以證明.2.能用基本事實、定理和已獲得的結論證明有關空間基本圖形垂直關系的簡單命題.1.直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內的直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.（2）直線與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條直線垂直，那么該直線與此平面垂直?性質定理垂直于同一個平面的兩條直線?a∥（3）直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，它們所成的角是，一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是；②范圍：[0°，90°].2.平面與平面垂直（1）二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角；③范圍：[0°，180°].（2）平面和平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直.（3）平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直a?αa⊥性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直α⊥βl?β3.空間距離（1）點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離；（2）直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；（3）兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.1.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.2.垂直于同一條直線的兩個平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.4.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.5.三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC.6.三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）直線l與平面α內的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.（）（2）垂直于同一個平面的兩平面平行.（）（3）若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.（）（4）若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數(shù)條直線，則α⊥β.（）2.（人A必修二P162習題1（2）題改編）已知直線m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.（人A必修二P158例8改編）如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD⊥圓柱的底面，則必有（）A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD4.〔多選〕下列說法正確的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βD.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β5.（人A必修二P152例4改編）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是.線面垂直的判定與性質（師生共研過關）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質（a⊥α，α∥β?a⊥β）；（4）面面垂直的性質（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）.2.判定定理證明線面垂直的步驟如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.平面與平面垂直的判定與性質（師生共研過關）在如圖所示的多面體中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.證明：平面ACF⊥平面BCE.解題技法證明面面垂直的2種方法（1）定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題；（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把證明面面垂直問題轉化成證明線面垂直問題.如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點.（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐F-ABC的體積.平行與垂直的綜合問題（師生共研過關）如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，SB的中點.（1）求證：AF∥平面SEC；（2）求證：平面ASB⊥平面SBC.解題技法立體幾何中平行、垂直關系的兩種轉