第2課時雙曲線的綜合問題直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】（1）（2023·全國甲卷8題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B兩點，則A.55 B.2C.355 （2）（2024·長春質(zhì)檢）已知雙曲線C：x2－y24＝1，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有答案：（1）D（2）4解析：（1）法一根據(jù)雙曲線的離心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知漸近線y＝2x與圓相交.由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝165，x1x2法二由法一知，圓心（2，3）到漸近線y＝2x的距離d＝｜2×2－3｜22＋(-1）2＝55，（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x＝1，顯然與雙曲線只有一個公共點（1，0）；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為y－1＝k（x－1），與雙曲線方程聯(lián)立，消y得（4－k2）x2＋2k（k－1）x－（k2－2k＋5）＝0，當(dāng)4－k2＝0，即k＝±2時，方程有唯一實根，符合題意；當(dāng)4－k2≠0，即k≠±2時，若方程有唯一實根，則Δ＝4k2（k－1）2＋4（4－k2）（k2－2k＋5）＝0，解得k＝52.故滿足與C有且只有一個公共點的直線l共有4條解題技法直線與雙曲線位置關(guān)系問題的解題策略（1）直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0為例：①若a≠0且Δ＞0，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；②若a≠0且Δ＝0，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點；③若a≠0且Δ＜0，直線與雙曲線相離，沒有公共點；④若a＝0，直線與雙曲線的漸近線平行，只有一個公共點；⑤若a＝0且b＝0，直線為雙曲線的漸近線，與雙曲線相離，沒有公共點；（2）對于雙曲線中的弦長和中點弦等問題，可以類比橢圓的處理思路，借助方程思想，將問題進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的其中一個焦點為（5，0），一條漸近線方程為（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為3π4的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標(biāo)為4，求直線l解：（1）由焦點可知c＝5，又一條漸近線方程為2x－y＝0，所以ba＝2由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y24（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點的坐標(biāo)為（x0，4），則x12－y124x22－y224②－①得x22－x12＝即k＝4x04＝x0，又k＝tan3π4＝－1，所以所以直線l的方程為y－4＝－（x＋1），即x＋y－3＝0.雙曲線中的最值（范圍）問題【例2】（1）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝36的左、右焦點，A是雙曲線C右支上（頂點除外）任意一點，若∠F1AF2的角平分線與以AF1為直徑的圓交于點B，則△BF1F2的面積的最大值為（）A.182 B.183C.362 D.363（2）已知直線l過雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦點F1，與雙曲線的左、右兩支分別交于P，Q兩點，若（QP＋QF2）·PF2＝0，其中∠PQF2∈答案：（1）C（2）[6，22）解析：（1）由題可知，C的實軸長2a＝12，｜F1F2｜＝122.如圖，延長AF2，F(xiàn)1B交于點D，∵點B在以AF1為直徑的圓上，∴AB⊥F1B，又AB為∠F1AF2的角平分線，∴｜AF1｜＝｜AD｜，B為F1D的中點.連接OB，則OB是△DF1F2的中位線.由雙曲線的定義知｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝12，故｜F2D｜＝｜AD｜－｜AF2｜＝｜AF1｜－｜AF2｜＝12，∴｜OB｜＝12｜F2D｜＝6，故點B的軌跡是以原點O為圓心，6為半徑的圓，軌跡方程為x2＋y2＝36.顯然，當(dāng)點B的坐標(biāo)為（0，6）或（0，－6）時，△BF1F2的面積取得最大值，最大值S＝12｜F1F2｜×6＝12×122×6＝（2）如圖，∵（QP＋QF2）·PF2＝0，∴｜QP｜＝｜QF2｜，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a＝｜PF1｜，則有｜PF1｜＝2a，｜PF2｜＝4a，不妨設(shè)∠F1PF2＝θ，則有∠F1QF2＝π－2（π－θ）∈［π3，π），可得θ∈［2π3，π），在△F1PF2中，由余弦定理可知，cosθ＝16a2+4a2－4c216a2∈（－1，－12］，∴7a2≤c2＜9a2，則6解題技法與雙曲線有關(guān)最值（范圍）問題的解題方法（1）幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何特征，則考慮利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識確定極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；（2）代數(shù)法：①構(gòu)建函數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值；②構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.1.（2024·泰安適應(yīng)性考試）若雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）與直線y＝3x有交點A.（2，＋∞） B.（1，2]C.（1，2） D.[2，＋∞）解析：A由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，一條漸近線方程為y＝bax，這條漸近線的斜率應(yīng)大于直線y＝3x的斜率，即ba＞3，則e＝1+2.已知點M（－5，0），點P在曲線x29－y216＝1（x＞0）上運動，點Q在曲線（x－5）2＋y2＝1上運動，則答案：20解析：如圖，在雙曲線x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5，圓（x－5）2＋y2＝1的圓心為C（5，0），半徑r＝1.所以雙曲線x29－y216＝1的左、右焦點分別為M，C，由雙曲線的定義可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以｜PM｜2｜PQ｜≥(|PC｜+6）2｜PC｜+1＝（｜PC｜＋1雙曲線與圓、橢圓的綜合問題【例3】（1）設(shè)F為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點.若｜PQ｜＝｜OF｜，A.2 B.3C.2 D.5（2）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為32，與雙曲線x2－y2＝1的漸近線有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為答案：（1）A（2）45解析：（1）設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點F的坐標(biāo)為（c，0），則c＝a2＋b2，如圖所示，由圓的對稱性及條件｜PQ｜＝｜OF｜可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則｜OP｜＝a，｜OM｜＝｜MP｜＝c2.在Rt△OPM中，由｜OM｜2＋｜MP｜2＝｜OP｜2得，（c2）2＋（c2）2＝（2）由題意，雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，易知以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，且面積為16，故邊長為4，所以（2，2）在橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以4a2＋4b2＝1，因為e＝32，所以a2－b2a2＝34，即a2＝4b2，所以a2＝20，解題技法雙曲線與圓、橢圓的綜合問題主要是幾何性質(zhì)方面的綜合，往往用一種曲線的性質(zhì)來研究另一種曲線的性質(zhì)，特別是在雙曲線與橢圓中都涉及a，b，c，e四個基本量，而幾何含義卻不同，特別容易混淆，處理這類問題一是切實理解三種曲線的定義，二是厘清三種曲線的幾何性質(zhì).1.（多選）已知橢圓C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點為M，且MF1·MF2＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個公共點.若∠FA.e2e1＝2 B.e1eC.e12＋e22＝52 D.解析：BD因為MF1·MF2＝0且｜MF1｜＝｜MF2｜，所以△MF1F2為等腰直角三角形.設(shè)橢圓的半焦距為c，則c＝b＝22a，所以e1＝22.在△PF1F2中，∠F1PF2＝π3，設(shè)｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y(tǒng)，雙曲線C2的實半軸長為a'，則x2＋y2－xy=4c2，x＋y=22c，｜x－y｜=2a',故xy＝43c2，故（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝8c23，所以（2.已知雙