第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用課標(biāo)要求1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會(huì)運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角.1.向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)向量a，b，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角，記作＜a，b＞；（2）范圍：夾角θ的范圍是.提醒當(dāng)a與b同向時(shí)，θ＝0；a與b反向時(shí)，θ＝π；a與b垂直時(shí)，θ＝π22.平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影向量：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝a，ON＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1＝a·（3）運(yùn)算律①交換律：a·b＝b·a；②數(shù)乘結(jié)合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不滿足消去律.即a·b＝a·cb＝c.3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθa·b＝模｜a｜＝a｜a｜＝夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）｜x1x2＋y1y2｜≤（提醒（1）向量平行與垂直的坐標(biāo)公式不要記混；（2）a⊥b?a·b＝0是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論（1）兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立）；（2）兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立）.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）兩個(gè)向量的夾角的范圍是［0，π2］.（（2）向量在另一個(gè)向量上的投影向量為數(shù)量，而不是向量.（）（3）若非零向量a，b滿足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，則a∥b.（）（4）若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.（）2.（人A必修二P17例9改編）已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，a·b＝5，則a與b的夾角θ＝（）A.45° B.135°C.－45° D.30°3.（蘇教必修二P37習(xí)題10題改編）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，則｜a－b｜＝（）A.42B.52C.62D.72

4.（人A必修二P24習(xí)題21題改編）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M是CD的中點(diǎn).則AD在BM上的投影向量為（）A.15BM BC.35BM D5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），當(dāng)λ＝時(shí)，λa＋b與b垂直.平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（）A.－3 B.－2C.2 D.32.已知向量a，b夾角的余弦值為－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，則（a－b）·（b－2a）＝（A.－36 B.－12C.6 D.363.（2024·湖北七市州聯(lián)合測(cè)試）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若BP＝PC，則AP·BD＝（）A.2 B.－2C.4 D.－44.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP·AB的取值范圍是.用結(jié)論極化恒等式設(shè)a，b為兩個(gè)平面向量，則a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2].如圖所示（1）在?ABDC中，AB＝a，AC＝b，則a·b＝14（｜AD｜2－｜BC｜2（2）在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM為中線，則a·b＝｜AM｜2－14｜BC｜2已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB＋PC）的最小值是（）A.－2 B.－3C.－43 D.－

練后悟通求兩個(gè)向量的數(shù)量積的三種方法平面向量數(shù)量積的應(yīng)用（定向精析突破）考向1平面向量的模（人A必修二P61復(fù)習(xí)參考題13（6）題改編）若平面向量a，b，c兩兩夾角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝4，則｜2a＋2b－c｜＝（）A.0 B.6C.0或6 D.0或6聽課記錄解題技法求平面向量的模的兩種方法考向2平面向量的夾角與平面向量的垂直（1）（2024·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），則x＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2（2）（2024·蘭州高三診斷考試）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則cos＜AE，BD＞＝（）A.－2114 B.C.－214 D.聽課記錄

解題技法1.求平面向量的夾角的方法2.兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.1.（2024·新高考Ⅱ卷3題）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，則｜b｜＝（）A.12 B.C.32 D.2.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.63.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是線段BC上的一點(diǎn)，已知AE·AD＝－1，則線段CE的長(zhǎng)為（）A.32 B.C.14 D.投影向量（師生共研過關(guān)）（2025·南寧適應(yīng)性測(cè)試）已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO＝AB＋AC，｜OA｜＝｜AC｜，則向量CA在向量CB上的投影向量為（）A.14CBB.34CBC.－1聽課記錄解題技法投影向量的兩種求法（1）用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量；（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量為｜a｜·cos＜a，b＞·b｜1.（2025·深圳一調(diào)）已知a，b是夾