第七節(jié)用空間向量研究線、面位置關系及距離課標要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關系.3.能用向量方法證明立體幾何中有關直線、平面位置關系的一些簡單定理.4.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.5.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.1.直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，稱此向量a為直線l的方向向量；（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面α的法向量.2.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n??λ∈R，使得u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝03.空間距離（1）點到直線的距離：設AP＝a，直線l的一個單位方向向量為u，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝｜AP｜2（2）點到平面的距離：已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ＝AP·n｜n｜（3）直線到平面的距離、平面到平面的距離都可以轉化為點到平面的距離.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）直線的方向向量是唯一確定的.（）（2）若一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行.（）（3）兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.（）（4）平面α外一點A到平面α的距離，就是點A與平面α內一點B所成向量AB的長度.（）2.（人A選一P31練習2題改編）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則（）A.x＝6，y＝15B.x＝3，y＝15C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝153.（人A選一P28例1改編）已知平面α內有兩點M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一個法向量為n＝（6，－3，6），則a＝（）A.4 B.3C.2 D.14.（人A選一P34例6（1）改編）在空間直角坐標系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），則點A到直線BC的距離為（）A.3 B.58C.2173 D5.平面α的法向量為n＝（1，－1，2），AB＝（2，0，－1），那么直線AB與平面α的位置關系是.用空間向量證明線面位置關系（師生共研過關）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.證明：（1）BE⊥DC；（2）BE∥平面PAD；（3）平面PCD⊥平面PAD.

解題技法利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1∥BC且B1C1＝12BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求證（1）A1B1⊥平面AA1C；（2）AB1∥平面A1C1C.用空間向量求空間距離（定向精析突破）考向1點線距如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點，△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA.當AO＝1時，求點E到直線BC的距離.考向2點面距已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.（1）求點D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離.解題技法1.利用向量求點到直線的距離設過點P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點，點A到直線l的距離d＝｜PA

2.利用向量法求點B到平