第五節(jié)一元二次不等式及其解法1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義；能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.1.已知不等式ax2＋2x＋c＞0的解集為{x｜－13＜x＜12}，則a＋c＝（A.10 B.－5C.－10 D.5解析：C由題意得－13和12為方程ax2＋2x＋c＝0的兩個根，且a＜0，所以－2a＝－13＋12，ca＝－13×12，解得a＝－12，c＝2，所以2.不等式3x2－7x≤10的解集為.答案：［－1，103解析：由3x2－7x≤10得，3x2－7x－10＝（3x－10）·（x＋1）≤0，解得－1≤x≤1033.不等式2x+5x－2答案：（－7，2）解析：2x+5x－2＜1，即2x+5x－2－1＜0，即x+7x－2＜0，解得－4.（2024·昆明模擬）一元二次不等式ax2＋ax－1＜0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：（－4，0）解析：依題意知a<0，Δ<0，即a<0，一元二次不等式的解法考向1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例1】（1）不等式－2x2＋x＋3＜0的解集為（）A.x｜－1＜x＜32 B.x｜－32＜x＜1C.x｜x＜－1或x＞32 D.x｜x＜－32或x＞1（2）不等式0＜x2－x－2≤4的解集為.答案：（1）C（2）[－2，－1）∪（2，3]解析：（1）－2x2＋x＋3＜0可化為2x2－x－3＞0，即（x＋1）（2x－3）＞0，∴x＜－1或x＞32（2）由題意得x2－x－2>0，x2－x－6≤0，故x>2或x＜解題技法解不含參一元二次不等式的步驟考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－（1－4a）x－4＜0（a∈R）.解：（1）當(dāng)a＝0時，原不等式可化為－x－4＜0，解得x＞－4；（2）當(dāng)a＞0時，原不等式可化為x－1a（x＋4）＜0，解得－4＜x（3）當(dāng)a＜0時，原不等式可化為x－1a（x＋4）①當(dāng)1a＜－4，即－14＜a＜0時，解得x＜1a或x②當(dāng)1a＝－4，即a＝－14時，解得x≠－③當(dāng)1a＞－4，即a＜－14時，解得x＜－4或x＞綜上所述，當(dāng)a＜－14時，不等式的解集為{x｜x＜－4或x＞1a當(dāng)a＝－14時，不等式的解集為{x｜x≠－4當(dāng)－14＜a＜0時，不等式的解集為{x｜x＜1a或x＞－當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x｜x＞－4}；當(dāng)a＞0時，不等式的解集為x|解題技法解含參一元二次不等式的步驟（1）若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；（2）判斷方程根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系；（3）確定方程無根時，可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定不等式的解集.1.不等式5－x2＞4x的解集為（）A.{x｜－5＜x＜1} B.{x｜－1＜x＜5}C.{x｜x＞1或x＜－5} D.{x｜x＞5或x＜－1}解析：A不等式可化為x2＋4x－5＜0，即（x－1）·（x＋5）＜0，所以－5＜x＜1，故解集為{x｜－5＜x＜1}，故選A.2.解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）.解：原不等式可化為12x2－ax－a2＞0，即（4x＋a）（3x－a）＞0，令（4x＋a）（3x－a）＝0，解得x1＝－a4，x2＝a當(dāng)a＞0時，不等式的解集為（－∞，－a4）∪（a3，＋∞當(dāng)a＝0時，不等式的解集為（－∞，0）∪（0，＋∞）；當(dāng)a＜0時，不等式的解集為（－∞，a3）∪（－a4，＋三個二次間的關(guān)系【例3】（1）（2024·濟(jì)南模擬）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2－bx＋c＜0的解集為{x｜－2＜x＜3}，則不等式bx2－ax＋c＜0的解集是（）A.（－2，3）B.（－∞，－2）∪（3，＋∞）C.（－3，2）D.（－∞，－3）∪（2，＋∞）（2）（多選）（2024·棗莊調(diào)研）已知關(guān)于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），則（）A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6答案：（1）A（2）ABD解析：（1）不等式ax2－bx＋c＜0的解集是（－2，3），所以方程ax2－bx＋c＝0的根是－2和3，且a＞0，則(-2）+3=ba，(-2）×3=ca，解得b＝a，c＝－6a，所以不等式bx2－ax＋c＜0可化為ax2－ax－6a＜0，即x2－x－6＜0，解得－（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的兩個根.所以x1＋x2＝2，故A正確；x1x2＝a－8＜－8，故B正確；x2－x1＝（x2＋x1）2－4x1x2＝29－a＞6，故D正確；由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，解題技法1.一元二次方程的根就是對應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是對應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了對應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).1.（多選）若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是（－1，2），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.a＜0B.b＜0且c＞0C.a＋b＋c＞0D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R解析：AB由題意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是（－1，2），可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的兩根，且a＜0，所以－1+2=ba，－1×2=ca，A正確；則b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正確；當(dāng)x＝－1時，a＋b＋c＝0，C不正確；把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因?yàn)閍＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即（x＋1）2＞0，2.已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象如圖所示，則不等式bx2－cx＋3≤0的解集為.答案：（－∞，－1]∪[3，＋∞）解析：根據(jù)二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象可知，－1，2為方程x2＋bx＋c＝0的兩根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，則bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式解集為（－∞，－1]∪[3，＋∞）.一元二次不等式恒成立問題【例4】（教材題改編）不等式kx2＋2kx－3＜0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為.答案：（－3，0]解析：∵kx2＋2kx－3＜0對一切實(shí)數(shù)x都成立，∴當(dāng)k＝0時，－3＜0對一切實(shí)數(shù)x都成立；當(dāng)k≠0時，k<0，Δ＝（2k）2－4k(-31.（變條件）本例中條件“不等式kx2＋2kx－3＜0對一切實(shí)數(shù)x都成立”改為：“不等式kx2＋2kx－3＜0的解集為A，且[1，3]?A，當(dāng)x∈[1，3]時”，則k的取值范圍為.答案：（－∞，15解析：因?yàn)椴坏仁絢x2＋2kx－3＜0的解集為A，且[1，3]?A，所以x∈[1，3]是不等式kx2＋2kx－3＜0的充分條件，令g（x）＝k（x＋1）2－k－3，x∈[1，3].當(dāng)k＞0時，g（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，所以g（x）max＝g（3），即15k－3＜0，所以k＜15，所以0＜k＜15；當(dāng)k＝0時，－3＜0恒成立；當(dāng)k＜0時，g（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，所以g（x）max＝g（1），即3k－3＜0，所以k＜1，所以k＜0.綜上所述，k的取值范圍是（－∞，2.（變條件，變設(shè)問）本例改為：不等式kx2＋2kx－3＜0對任意的k∈[1，3]恒成立，則x的取值范圍為.答案：（－1－2，－1＋2）解析：把不等式的左端看成關(guān)于k的函數(shù)，記f（k）＝（x2＋2x）k－3，則由f（k）＜0對于任意的k∈[1，3]恒成立，得f（1）＝（x2＋2x）－3＜0，且f（3）＝3（x2＋2x）－3＜0，解不等式組x2+2x－3<0，x2+2x－1<0解題技法一元二次不等式恒成立問題求參數(shù)的策略（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.1.對?x∈R，不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0恒成立，則a的取值范圍是（）A.－2＜a≤2 B.－2≤a≤2C.a＜－2或a≥2 D.a≤－2或a≥2解析：A不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0對一切x∈R恒成立，當(dāng)a－2＝0，即a＝2時，－4＜0恒成立，滿足題意；當(dāng)a－2≠0時，要使不等式恒成立，需a－2<0，Δ<0，即有a<2，4（a－2）22.函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋3.若當(dāng)x∈[－2，2]時，f（x）≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.若當(dāng)a∈[4，6]時，f（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.答案：[－7，2]（－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞）解析：若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，令g（x）＝x2＋ax＋3－a，則有①Δ≤0或②Δ>0，－a2＜－2，g(-2）=7－3a≥0或③Δ>0，－a2>2，g（2）=7+a≥0，解①令h（a）＝xa＋x2＋3.當(dāng)a∈[4，6]時，h（a）≥0恒成立.只需h（4）≥0，h（6）≥0，即x2+4x+3≥0，x2+6x+3≥0，解得x≤－3－6或x1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集為（）A.（－2，5）B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.（－5，2）D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）解析：A由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.2.（2024·棗莊一模）設(shè)m＋n＞0，則關(guān)于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（）A.{x｜x＜－n或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m}C.{x｜x＜－m或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n}解析：B不等式（m－x）（n＋x）＞0可化為（x－m）（x＋n）＜0，因?yàn)閙＋n＞0，所以m＞－n，所以原不等式的解為－n＜x＜m，故選B.3.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集為（）A.（－12，0）∪［1，32］ B.（－12，0］∪［1C.（－12，0］∪［1，32］ D.（－12，0］∪（1解析：B由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－12＜x≤0或1≤x＜32.4.（2024·臨泉模擬）已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（）A.[0，1] B.（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞） D.（－∞，0]∪[1，＋∞）解析：A當(dāng)k＝0時，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化為8≥0，恒成立；當(dāng)k≠0時，要滿足關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ=36k2－4k（k+8）≤0，5.（2024·南寧一模）若關(guān)于x的不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間（1，5）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（－∞，5） B.（5，＋∞）C.（－4，＋∞） D.（－∞，4）解析：A設(shè)f（x）＝x2－4x－a，則f（x）的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間（1，5）內(nèi)有解，只要f（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－∞，5）.6.（多選）下列說法正確的有（）A.不等式2x2－x－1＞0的解集是{x｜x＞2或x＜1}B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是{xx≤－23或C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x｜－7＜x＜－1}，那么a＝3D.關(guān)于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是（q，1），則p＋q＝－1解析：BCD對于A，∵由2x2－x－1＞0得（2x＋1）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－12，∴不等式的解集為x｜x＞1或x＜－12，故A錯誤；對于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴（2x－1）（3x＋2）≥0，∴x≥12或x≤－23，故B正確；對于C，由題意可知－7和－1為方程ax2＋8ax＋21＝0的兩個根.∴－7×（－1）＝21a，∴a＝3，故C正確；對于D，依題意可知q，1是方程x2＋px－2＝0的兩根，∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故7.不等式x+2x－1＞答案：{x｜1＜x＜4}解析：原不等式可化為x+2x－1－2＞0，即（x+2)-2（x－1）x－1＞0，即4－xx－1＞0，即（x－1）（x－4）8.已知f（x）＝－3x2＋a（6－a）x＋6.（1）若f（1）＞0，求a的取值范圍；（2）若不等式f（x）＞b的解集為（－1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值.解：（1）由題意知f（1）＝－3＋a（6－a）＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23.∴a的取值范圍為{a｜3－23＜a＜3＋23}.（2）∵f（x）＞b的解集為（－1，3），∴方程－3x2＋a（6－a）x＋6－b＝0的兩根為－1，3，∴(-1故a的值為3±3，b的值為－3.9.（2024·華南師大附中檢測）“m＜4”是“2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立，即m＜2x＋1x在x∈（1，＋∞）上恒成立，2x＋1x∈（3，＋∞），故m≤3，“m＜4”是“m≤3”的必要不充分條件，10.（2024·宿遷模擬）若不等式x2＋px＞4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍為（）A.[－1，3] B.（－∞，－1]C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞）解析：D不等式x2＋px＞4x＋p－3可化為（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），可得f（0）＝x2－411.（多選）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋b（a＞0）有且只有一個零點(diǎn)，則（）A.a2－b2≤4B.a2＋1b≥C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集為（x1，x2），則x1x2＞0D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集為（x1，x2），且｜x1－x2｜＝4，則c＝4解析：ABD因?yàn)閒（x）＝x2＋ax＋b（a＞0）有且只有一個零點(diǎn)，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b＞0.對于A，a2－b2≤4等價于b2－4b＋4≥0，顯然（b－2）2≥0，故A正確；對于B，a2＋1b＝4b＋1b≥24b×1b＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4b＝1b＞0，即b＝12時，等號成立，故B正確；對于C，因?yàn)椴坏仁絰2＋ax－b＜0的解集為（x1，x2），故x1x2＝－b＜0，故C錯誤；對于D，因?yàn)椴坏仁絰2＋ax＋b＜c的解集為（x1，x2），且｜x1－x2｜＝4，則方程x2＋ax＋b－c＝0的兩根為x1，x2，故可得（x1＋x2）2－4x112.一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一負(fù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案：（－∞，0）解析：kx2－kx＋1＝0有一正一負(fù)根，∴Δ＝k2－13.（2024·河北模擬）若不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：（－235，＋∞解析：對于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8＞0，∴方程x2＋ax－2＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，又∵兩根之積為負(fù)，∴必有一正根一負(fù)根，設(shè)f（x）＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解的充要條件是f（5）＞0，即5a＋23＞0，解得a＞－235，故a的取值范圍是（－235，＋14.（2024·黑龍江一模）若關(guān)于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4個整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案：[－3，－2）∪（6，7]解析：不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）·（x－m）＜0，當(dāng)m＞2時，不等式的解集為（2，m），