第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征通過(guò)具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.1.袋中有大小相同的6個(gè)黑球，5個(gè)白球，從袋中每次任意取出1個(gè)球且不放回，直到取出的球是白球，記所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為（）A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5解析：B因?yàn)槿〉桨浊驎r(shí)停止，所以最少取球次數(shù)為1，即第一次就取到了白球；最多取球次數(shù)是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次數(shù)可以是1，2，3，…，7.2.某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，則m－n2＝（ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2 B.0.2C.0.1 D.－0.1解析：B由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－n2＝3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示，且E（X）＝2.5，則a－b＝（）X1234P13abA.34 B.3C.316 D.解析：C由題意得，14＋316＋a＋b=1，14.隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若P（X＝0）＝14，E（X）＝1，則D（X）＝（A.14 B.C.34 D.解析：B設(shè)P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，由題意得E（X）＝0×14＋p＋2q＝1，14＋p＋q＝1，解得p＝12，q＝14，∴D（X）＝14×（0－1）2＋12×（1－1）2＋14×（2－11.若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k為常數(shù)；（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；（5）若X1，X2相互獨(dú)立，則E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.2.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.1.已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，則m＝（）ξ1234P1mn1A.13 B.C.16 D.解析：A∵η＝12ξ＋7，由結(jié)論1得E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝12（1×14＋2×m＋3×n＋4×112）＋7＝34，∴2m＋3n＝53，①.又14＋m＋n＋112＝1，∴m＋n＝23，②.由①②2.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為.答案：0.8解析：由結(jié)論2易得E（X）＝0.8.分布列的性質(zhì)1.（2024·濟(jì)寧一模）離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P（X＝n）＝an（n+1）（n＝1，2，3，4），其中a是常數(shù)，則P（12＜XA.23B.C.45 D.解析：D因?yàn)镻（X＝n）＝an（n+1）（n＝1，2，3，4），所以a2＋a6＋a12＋a20＝1，即a＝54，所以P（12＜X＜52）＝P（X＝1）＋P（X＝22.（2024·云南一中檢測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則下列各式正確的是（）ξ－10123P11112A.P（ξ＜3）＝25 B.P（ξ＞1）＝C.P（2＜ξ＜4）＝25 D.P（ξ＜0.5）＝解析：CP（ξ＜3）＝110＋15＋110＋15＝35，A錯(cuò)誤；P（ξ＞1）＝15＋25＝35，B錯(cuò)誤；P（2＜ξ＜4）＝P（ξ＝3）＝25，C正確；P（ξ＜0.5）＝3.已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝，公差d的取值范圍是.答案：23［－13，解析：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，因此P（｜X｜＝1）＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，練后悟通離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.離散型隨機(jī)變量的均值與方差考向1均值與方差的性質(zhì)【例1】（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有（）A.q＝0.1B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2解析：ACD因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；由已知可得E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正確.解題技法與均值、方差的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E（Y）或D（Y）.考向2離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例2】在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手（編號(hào)為1至5號(hào)）登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾必須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，可以在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.（1）求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；（2）設(shè)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和期望.解：（1）設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，觀眾甲必選1號(hào)，不選2號(hào)，還要從3，4，5號(hào)中選2位歌手，因此樣本空間共有C32個(gè)樣本點(diǎn)，事件A有C21個(gè)樣本點(diǎn)，因此P（A）＝觀眾乙在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手，樣本空間有C53個(gè)樣本點(diǎn)，事件B有C42個(gè)樣本點(diǎn)，因此P（B）＝由題意知，事件A與B相互獨(dú)立，故所求概率為P（AB）＝P（A）P（B）＝23×（1－35）＝（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，因?yàn)槿挥^眾的投票相互獨(dú)立，所以P（X＝0）＝13×25×25P（X＝1）＝23×25×25＋13×35×25＋13×2P（X＝2）＝23×35×25＋13×35×35＋23×2P（X＝3）＝23×35×35＝18所以X的分布列為X0123P44116X的期望為E（X）＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×6解題技法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫(xiě)出X可能的全部值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫(xiě)出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.1.已知ξ的分布列如表所示：ξ012P？??？其中，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正確的個(gè)數(shù)是（A.0 B.1C.2 D.3解析：C設(shè)“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正確；③P（ξ＝0）＝a＝1－b2≤12，2.為推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為14，16；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為12，23；（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E（ξ），方差D（ξ）.解：（1）兩人所付滑雪費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)離開(kāi)的概率分別為1－14－12＝14，1－16－兩人都付0元的概率為P1＝14×16＝兩人都付40元的概率為P2＝12×23＝兩人都付80元的概率為P3＝14×16＝則兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P（ξ＝0）＝14×16＝P（ξ＝40）＝14×23＋12×1P（ξ＝80）＝14×16＋12×23＋14P（ξ＝120）＝12×16＋14×2P（ξ＝160）＝14×16＝所以ξ的分布列為ξ04080120160P11511E（ξ）＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160D（ξ）＝（0－80）2×124＋（40－80）2×14＋（80－80）2×512＋（120－80）2×14＋（160－80）2×均值與方差在決策中的應(yīng)用【例3】（2021·新高考Ⅰ卷18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）當(dāng)小明先回答A類問(wèn)題時(shí)，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題.解題技法利用樣本的數(shù)字特征解決有關(guān)決策問(wèn)題的關(guān)鍵（1）建立模型，根據(jù)題意準(zhǔn)確建立解決問(wèn)題的概率模型，要注意各種概率模型的差異性，不能混淆；（2）分析數(shù)據(jù)，分析題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，確定概率模型中的相關(guān)參數(shù)；（3）求值，利用概率知識(shí)求出概率模型中的數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征；（4）做出決策，比較概率模型中的數(shù)字特征，確定解決問(wèn)題的最優(yōu)方案，做出決策.1.某投資公司在2024年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30％，也可能虧損15％，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50％，可能損失30％，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，13和針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.解：若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元，則X1的所有可能取值為300，－150，分布列為X1300－150P72∴E（X1）＝300×79＋（－150）×29＝200，D（X1）＝（300－200）2×79＋（－150－200）2×2若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬(wàn)元，則X2的所有可能取值為500，－300，0，分布列為X2500－3000P311∴E（X2）＝500×35＋（－300）×13＋0×115D（X2）＝（500－200）2×35＋（－300－200）2×13＋（0－200）2×1∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利的期望相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.2.近年來(lái)，全國(guó)旅游業(yè)蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目：在參觀某特色景點(diǎn)入口處會(huì)為每位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷毀.該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平均只有30％游客會(huì)選擇帶走照片.為改善運(yùn)營(yíng)狀況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿關(guān)系做了市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費(fèi)與消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05.假設(shè)平均每天約有5000人參觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每位游客是否購(gòu)買(mǎi)照片相互獨(dú)立.（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價(jià)？解：（1）當(dāng)收費(fèi)為20元時(shí)，每張照片被帶走的概率為0.3，不被帶走的概率為0.7，設(shè)此時(shí)每張照片的利潤(rùn)為Y1元，則Y1的分布列為Y115－5P0.30.7E（Y1）＝15×0.3－5×0.7＝1，則每天的平均利潤(rùn)為5000元.當(dāng)收費(fèi)為10元時(shí)，每張照片被帶走的概率為0.3＋0.05×10＝0.8，不被帶走的概率為0.2，設(shè)每張照片的利潤(rùn)為Y2元，則Y2的分布列為Y25－5P0.80.2E（Y2）＝5×0.8－5×0.2＝3，則每天的平均利潤(rùn)為5000×3＝15000（元）.調(diào)整價(jià)格后，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多10000元.（2）設(shè)在20元/張基礎(chǔ)上降價(jià)x元，則0≤x＜15，照片被帶走的可能性為0.3＋0.05x，不被帶走的可能性為0.7－0.05x.設(shè)每張照片的利潤(rùn)為Y元，則Y的分布列為Y15－x－5P0.3＋0.05x0.7－0.05xE（Y）＝（15－x）（0.3＋0.05x）－5（0.7－0.05x）＝0.05[69－（x－7）2]，當(dāng)x＝7時(shí)，E（Y）有最大值3.45，故當(dāng)定價(jià)為13元時(shí)，日平均利潤(rùn)取最大值，為5000×3.45＝17250（元）.1.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則P（｜ξ－3｜＝1）＝（）ξ1234P1a11A.712 B.C.512 D.解析：A∵112＋a＋13＋13＝1，∴a＝14，由｜ξ－3｜＝1，解得ξ＝2或ξ＝4，∴P（｜ξ－3｜＝1）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝4）＝14＋12.（2024·寧波模擬）隨機(jī)變量X的分布列為X01mP1n310若E（X）＝1.1，則D（X）＝（）A.0.49 B.0.69C.1 D.2解析：A由分布列性質(zhì)知：15＋n＋310＝1，解得n＝12，∴E（X）＝0×15＋1×12＋m×310＝1.1，∴m＝2，∴D（X）＝（0－1.1）2×15＋（1－1.1）2×12＋（2－1.1）3.已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝i）＝ia（i＝1，2，3，4），則P（2≤X＜4）＝（A.12 B.C.710 D.解析：A依題意，1a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝10，即P（X＝i）＝i10（i＝1，2，3，4），所以P（2≤X＜4）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝210＋4.（2024·合肥模擬）小林從A地出發(fā)去往B地，1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的概率為0.4，1小時(shí)10分到達(dá)的概率為0.3，1小時(shí)20分到達(dá)的概率為0.3.現(xiàn)規(guī)定1小時(shí)內(nèi)到達(dá)的獎(jiǎng)勵(lì)為200元，若超過(guò)1小時(shí)到達(dá)，則每超過(guò)1分鐘獎(jiǎng)勵(lì)少2元.設(shè)小林最后獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為X元，則E（X）＝（）A.176 B.182C.184 D.186解析：B依題意可得X的所有可能取值為200，180，160.P（X＝200）＝0.4，P（X＝180）＝0.3，P（X＝160）＝0.3，X的分布列如下，X200180160P0.40.30.3則E（X）＝200×0.4＋（180＋160）×0.3＝182，故選B.5.（多選）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下，則（）X12P0.60.4Y1－2P0.50.5A.D（Y）＝9D（X） B.E（1－X）＝0.5C.D（1－Y）＝2.25 D.E（X＋Y）＝0.9解析：CDE（X）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E（Y）＝1×0.5－2×0.5＝－0.5，D（X）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝0.24，D（Y）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所以D（Y）≠9D（X），E（1－X）＝－E（X）＋1＝－0.4，D（1－Y）＝（－1）2D（Y）＝2.25，E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0.9，故選C、D.6.（多選）已知14＜p＜1，隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（X012Pp－p21－pp2A.P（X＝2）的值最大B.P（X＝0）＜P（X＝1）C.E（X）隨p的增大而減小D.E（X）隨p的增大而增大解析：BD當(dāng)p＝12時(shí)，P（X＝2）＝14，P（X＝1）＝1－12＝12＞14，A錯(cuò)誤；因?yàn)?4＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），B正確；E（X）＝1－p＋2p2＝2（p－14）2＋78，因?yàn)?4＜p＜1，所以E（X）隨7.若離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝p，4－5P（X＝0）＝p，則p＝.答案：1解析：因?yàn)閄服從兩點(diǎn)分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1，由4－5P（X＝0）＝p，得4－5[1－P（X＝1）]＝p，所以p＝148.（2022·全國(guó)甲卷19題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.解：（1）設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為A，則甲學(xué)校必須獲勝2場(chǎng)或者3場(chǎng).P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為0.6.（2）X的取值可以為0，10，20，30.P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.9.現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則E（ξ）＝（）A.35 B.C.712 D.解析：D由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，P（ξ＝1）＝C62C73＝1535＝37，P（ξ＝2）＝C21C42＋C22C41C73＝1635，P（ξ1234P31631E（ξ）＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝10.已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P111111若P（X2＜x）＝1112，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是答案：（4，9]解析：由隨機(jī)變量X的分布列知，X2的可能取值為0，1，4，9，P（X2＝0）＝P（X＝0）＝13，P（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝14＋112＝13，P（X2＝4）＝P（X＝－2）＋P（X＝2）＝112＋16＝14，P（X2＝9）＝P（X＝3）＝112，所以P（X2≤4）＝1112，因?yàn)镻（X2＜x）＝1112＝13＋11.一個(gè)袋中共有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是25；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79，則白球的個(gè)數(shù)為；從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝答案：53解析：設(shè)白球的個(gè)數(shù)為y，從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79，則Cy2＋Cy1C10－y1C102＝79，化簡(jiǎn)得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14（舍），由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，P（ξ＝0）＝C53C103＝112，P（ξ＝1）＝C51C52Cξ0123P1551所以E（ξ）＝512＋512×2＋112×312.（2022·北京高考18題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A.因?yàn)楸荣惓煽?jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲以往的10次比賽成績(jī)中達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的有9.80m，9.70m，9.55m，9.54m，共4次，所以甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率P（A）＝0.4.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由（1）知，甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率P（A）＝0.4.設(shè)乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)分別為事件B，C，則P（B）＝0.5，P（C）＝0.5.P（X＝0）＝（1－0.4）×（1－0.5）×（1－0.5）＝0.15，P（X＝1）＝0.4×（1－0.5）×（1－0.5）＋（1－0.4）×0.5×（1－0.5）＋（1－0.4）×（1－0.5）×0.5＝0.4，P（X＝2）＝0.4×0.5×（1－0.5）＋0.4×（1－0.5）×0.5＋（1－0.4）×0.5×0.5＝0.35，P（X＝3）＝0.4×0.5×0.5＝0.1，所以E（X）＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，按以往比賽成績(jī)的平均數(shù)、方差來(lái)看，甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大；按以往比賽的最好成績(jī)來(lái)看，丙獲得冠軍的概率估計(jì)值最大.13.（多選）已知隨機(jī)變量X的取值為不大于n（n∈N*）的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為X0123…nPp0p1p2p3…pn其中pi（i＝0，1，2，3，…，n）滿足pi∈[0，1]，且p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1.定義由X生成的函數(shù)f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，E