第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性、周期性的概念和幾何意義.2.能夠通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式及推論.3.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.1.已知f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝（）A.－13 B.C.12 D.－解析：B∵f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），∴b＝0，∴a＋b＝12.（2024·咸陽一模）定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）＝x，則f（－32）＝（A.22 B.C.－22 D.－解析：C因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以f（x）＝f（－2－x），因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）＝x，所以f（－32）＝f（－2＋32）＝f（－12）＝－f（12）＝－123.（多選）（2024·濟(jì)寧模擬）給出下列函數(shù)，其中是奇函數(shù)的為（）A.f（x）＝x4B.f（x）＝x5C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝1解析：BC對于f（x）＝x4，f（x）的定義域?yàn)镽，由f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），可知f（x）＝x4是偶函數(shù)，同理可知f（x）＝x5，f（x）＝x＋1x是奇函數(shù)，f（x）＝1x2是偶函數(shù)，故選4.若f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＝2－x，則f（2025）＝.答案：1解析：∵f（x）的周期為2，∴f（2025）＝f（1）＝2－1＝121.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f（x）定義域內(nèi)任一自變量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），則T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），則T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），則T＝2a（a3.函數(shù)圖象的對稱性（1）若函數(shù)y＝f（x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；（2）若函數(shù)y＝f（x＋b）是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對稱.1.已知函數(shù)f（x）＝kx＋b（k≠0），則“f（0）＝0”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C由f（0）＝0，所以b＝0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（x）＝kx＋b（k≠0）的定義域?yàn)镽，由結(jié)論1知，f（0）＝0.所以“f（0）＝0”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的充要條件.故選C.2.已知函數(shù)f（x＋1）是偶函數(shù)，當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0恒成立，設(shè)a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（A.b＜a＜c B.c＜b＜aC.b＜c＜a D.a＜b＜c解析：A由結(jié)論3知，函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0，則f（x2）＞f（x1），∴函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，∴a＝f－12＝f1－32＝f1+32＝f52，∵3＞52＞2＞1，因此3.已知定義在R上的函數(shù)滿足f（x＋2）＝－1f（x），當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝2x－1，則f（答案：1解析：由結(jié)論2知T＝4，f（9）＝f（1）＝1.函數(shù)的奇偶性考向1函數(shù)奇偶性的判斷【例1】（1）（2021·全國乙卷4題）設(shè)函數(shù)f（x）＝1－x1+x，A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1（2）（多選）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y＝ex－1D.y＝xln（x2+1－答案：（1）B（2）AD解析：（1）法一因?yàn)閒（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1-(x－1）1+（x－對于A，F(xiàn)（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不滿足F（x對于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足G（x）＝－G對于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1＝－x－x－對于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1＝－x＋x+2x+2法二f（x）＝1－x1+x＝2-(x+1）1+x＝21+x－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為（2）A中，y＝xsinx為偶函數(shù).B中，函數(shù)y＝xlnx的定義域?yàn)椋?，＋∞），為非奇非偶函數(shù).C中，f（－x）≠－f（x），且f（－x）≠f（x），則y＝ex－1為非奇非偶函數(shù).D中，y＝xln（x2+1－x）解題技法函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質(zhì)法：設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例2】（1）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f（x）＝aex＋1＋1e，若f（1）＝1，則f（0）＝（A.e B.－eC.1e D.－（2）（2023·新高考Ⅱ卷4題）若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1為偶函數(shù)A.－1 B.0C.12 D.（3）設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝.答案：（1）C（2）B（3）－e－x＋1解析：（1）因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則f（－1）＝f（1），即ae＋1＋1e＝1，解得a＝－1，所以f（0）＝－1＋1＋1e＝1（2）法一要使函數(shù)f（x）有意義，必須滿足2x－12x+1＞0，解得x＜－12或x＞12.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，所以對任意x∈（－∞，－12）∪（12，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln－2x－1－2x+1＝（x＋a）ln2x－12x+1，則（x－a）ln2x－12x+1＝（x法二因?yàn)閒（x）＝（x＋a）ln2x－12x+1為偶函數(shù)，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，（3）當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－1，∴f（－x）＝e－x－1.又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）＝－f（－x）＝－e－x＋1.解題技法函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性，進(jìn)而得出參數(shù)的值.對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.1.若q（x），g（x）均為奇函數(shù)，f（x）＝aq（x）＋bg（x）＋1在（0，＋∞）上有最大值5，則在（－∞，0）上，f（x）有（）A.最小值－5 B.最小值－2C.最小值－3 D.最大值－5解析：C設(shè)φ（x）＝aq（x）＋bg（x），∵q（x），g（x）均為奇函數(shù)，∴φ（－x）＝aq（－x）＋bg（－x）＝－aq（x）－bg（x）＝－φ（x），∴φ（x）為奇函數(shù).∵在（0，＋∞）上，f（x）＝φ（x）＋1有最大值為5，∴φ（x）在（0，＋∞）上有最大值為4，則φ（x）在（－∞，0）上有最小值為－4，∴f（x）＝φ（x）＋1在（－∞，0）上有最小值為－4＋1＝－3.2.（2021·新高考Ⅰ卷13題）已知函數(shù)f（x）＝x3（a·2x－2－x）是偶函數(shù)，則a＝.答案：1解析：法一因?yàn)閒（x）＝x3（a·2x－2－x）的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f（－x）＝f（x）對任意的x∈R恒成立，所以（－x）3（a·2－x－2x）＝x3（a·2x－2－x）對任意的x∈R恒成立，所以x3（a－1）（2x＋2－x）＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二因?yàn)閒（x）＝x3（a·2x－2－x）的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f（－1）＝f（1），所以－a2－2＝2a－12，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）＝x3（2x－2－x）為偶函數(shù)，函數(shù)的周期性與對稱性【例3】（1）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）的奇函?shù)，且滿足f（1－x）＝f（1＋x）.若f（1）＝2，則f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（）A.－50 B.0C.2 D.50（2）（多選）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sinx＋1sinx有如下四個(gè)命題，其中正確的是（A.f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱B.f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π2D.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱答案：（1）C（2）BCD解析：（1）法一∵f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（1－x）＝f（1＋x）.∴f（x＋1）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x）.因此f（x＋4）＝f（x），則函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，由于f（1－x）＝f（1＋x），f（1）＝2，故令x＝1，得f（0）＝f（2）＝0，令x＝2，得f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝－2，令x＝3，得f（4）＝f（－2）＝－f（2）＝0，故f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋0－2＋0＝0，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×0＋f（1）＋f（2）＝2.法二由題意可設(shè)f（x）＝2sin（π2x），作出f（x）的部分圖象如圖所示.由圖可知，f（x）的一個(gè)周期為4，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f（1）＋f（2）＝（2）∵f（x）＝sinx＋1sinx的定義域?yàn)閧x｜x≠kπ，k∈Z}，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx－1sinx＝－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A錯誤，B正確；∵f（π2－x）＝cosx＋1cosx，f（π2＋x）＝cosx＋1cosx，∴f（π2－x）＝f（π2＋x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π2對稱，故C正確；又f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋1sin（x+2π）＝sinx＋1sinx，f（－x）＝－sinx－1sinx，∴f（x＋解題技法1.求解與函數(shù)周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期，將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.2.求解與函數(shù)的對稱性有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對稱性的定義，結(jié)合函數(shù)圖象，求出函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心進(jìn)而解決求值或參數(shù)問題.1.（2024·金華調(diào)研）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋6）＝f（x），當(dāng)－3≤x＜－1時(shí)，f（x）＝－（x＋2）2，當(dāng)－1≤x＜3時(shí)，f（x）＝x，則f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝.答案：339解析：因?yàn)閒（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期T＝6，于是f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－（－3＋2）2＝－1，f（4）＝f（－2）＝－（－2＋2）2＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝1，而2025＝6×337＋3，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝337×1＋1＋2－1＝339.2.已知函數(shù)y＝f（x）－2為奇函數(shù)，g（x）＝2x+1x，且f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)分別為（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），則y1＋y2＋…＋y6答案：12解析：∵函數(shù)y＝f（x）－2為奇函數(shù)，∴函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對稱，又g（x）＝2x+1x＝1x＋2，其圖象也關(guān)于點(diǎn)（0，2）對稱，∴兩函數(shù)圖象交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（0，2）對稱，則y1＋y2＋…＋y6＝3函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【例4】（2024·石家莊模擬）已知函數(shù)f（x＋2）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若f（x）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減，則不等式f（lnx）＜f（1）的解集是（）A.（0，1）∪（3，＋∞） B.（1，3）C.（0，e）∪（e3，＋∞） D.（e，e3）解析：C因?yàn)閒（x＋2）的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到f（x）的圖象，且f（x＋2）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱.由f（x）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減可得f（x）在（－∞，2）上單調(diào)遞增，由f（lnx）＜f（1），所以lnx＜1或lnx＞3，解得0＜x＜e或x＞e3.解題技法綜合應(yīng)用奇偶性與單調(diào)性的解題技巧（1）比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f（x1）＞f（x2）的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1＜x2（或x1＞x2）求解.考向2函數(shù)的奇偶性與周期性【例5】定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2－x）＝f（x），且當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，f（x）＝2x－1，則f（log220）＝（）A.14 B.C.－15 D.－解析：B依題意，知f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），則f（4＋x）＝f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，且周期為4.又2＜log25＜3，則－1＜2－log25＜0，所以f（log220）＝f（2＋log25）＝f（log25－2）＝－f（2－log25）＝－（22－log25－1解題技法綜合應(yīng)用奇偶性與周期性的解題技巧（1）根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；（2）利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值，直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）代入已知的解析式求解即得要求的函數(shù)值.考向3函數(shù)的對稱性與周期性【例6】（多選）已知f（x）的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對稱，且f（x＋3）＝f（x－3），若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）＝4x＋2x－11，則下列結(jié)論正確的是（）A.f（x）為偶函數(shù)B.f（x）在[－6，－3]上單調(diào)遞減C.f（x）關(guān)于x＝3對稱D.f（100）＝9解析：ACDf（x）的圖象關(guān)于x＝－3對稱，則f（－x）＝f（x－6），又f（x＋3）＝f（x－3），則f（x）的周期T＝6，∴f（－x）＝f（x－6）＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）＝4x＋2x－11單調(diào)遞增，∵T＝6，故f（x）在[－6，－3]上也單調(diào)遞增，故B不正確；f（x）關(guān)于x＝－3對稱且T＝6，∴f（x）關(guān)于x＝3對稱，故C正確；f（100）＝f（16×6＋4）＝f（4）＝f（－2）＝f（2）＝9，故D正確.解題技法綜合應(yīng)用對稱性與周期性的解題技巧函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b