第4課解一元二次方程(2)——配方法第二章一元二次方程

根據(jù)完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2填空：(1)x2＋6x＋9＝(x＋

)2；(2)x2－10x＋

＝(x－

)2.3

25

5

用配方法解一元二次方程

“a＝1，b為偶數(shù)”型1母題演變(教材P37)用配方法解方程：x2＋6x＋5＝0.解：移項(xiàng)，得x2＋6x＝

?.配方，得x2＋6x＋

＝－5＋

?，即(x＋

)2＝

?.兩邊開(kāi)平方，得x＋

＝

?，即x＝

±

?.∴x1＝

，x2＝

?.－5

32

32

3

4

3

±2

－3

2

－5

－1

2變式訓(xùn)練用配方法解方程：x2－11＝10x.解：x2－10x＝11，x2－10x＋52＝11＋52，(x－5)2＝36，x－5＝±6，x＝5±6，x1＝11，x2＝－1.3經(jīng)典例題用配方法解方程：x2－5x＋4＝0.

“a＝1，b為奇數(shù)”型4變式訓(xùn)練用配方法解方程：x2＋3x＋2＝0.

5母題演變

(教材P38)用配方法解方程：5x2＋1＝6x.

可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.

“a≠1”型6變式訓(xùn)練用配方法解方程：4x2－7x＋2＝0.

用配方法解一元二次方程的步驟：①移項(xiàng)：方程左邊為二次項(xiàng)

和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；②二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二

次項(xiàng)系數(shù)；③配方：根據(jù)完全平方公式，在方程的兩邊各加上一次

項(xiàng)系數(shù)一半的平方，化為(x＋m)2＝p的形式；④求解：用直接開(kāi)方

法解一元二次方程(注意：當(dāng)p＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根).

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.

用配方法解x2－4x－5＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是(

C

)A.

(x－2)2＝5B.

(x－4)2＝5C.

(x－2)2＝9D.

(x－2)2＝12.

(2023·肇慶懷集縣期末)用配方法將方程x2－4x－1＝0變形為(x－

2)2＝m，則m的值是(

D

)A.1B.3C.4D.5CD3.

解方程：x2－10x＋5＝0.

4.

解方程：2x2－4x－1＝0.

能力過(guò)關(guān)5.

用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0時(shí)，將它化為(x＋a)2＝

b的形式，則

a＋b的值為(

B

)A.

B.

C.2D.

6.

已知a，b，c是等腰三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2＋b2－4b

－6a＋13＝0，則△ABC的周長(zhǎng)為

?.

原方程可化為a2－6a＋9＋b2－4b＋4＝0，即(a－

)2＋(b－

)2＝0.B7或8

3

2

思維過(guò)關(guān)7.

(2024·揭陽(yáng)期中)閱讀材料：我們知道x2≥0，(a±b)2≥0這一性質(zhì)

在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式3x2＋6x－2的最小值

時(shí)，我們可以這樣處理：3x2＋6x－2＝3(x2＋2x)－2＝3(x2＋2x＋12－12)－2＝3[(x＋1)2－12]

－2＝3(x＋1)2－5.∵(x＋1)2≥0，∴3(x＋1)2－5≥0－5.∴當(dāng)x＝－1時(shí)，3(x＋1)2－5取得最小值－5.(1)求多項(xiàng)式2x2－8x＋3的最小值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的值.解：2x2－8x＋3＝2(x2－4x)＋3＝2(x2－4x＋4－4)＋3＝2[(x－2)2－4]＋3＝2(x－2)2－5.∵(x－2)2≥0，∴2(x－2)2－5≥－5.∴當(dāng)x＝2時(shí)，2x2－8x＋3取得最小值－5.(2)求多項(xiàng)式x2－2x＋y2－4y＋7的最小值.解：x2－2x＋y2－4y＋7＝(x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＋2＝(x－1)2