考教銜接兩類概率模型的辨析對(duì)于2023年全國(guó)甲卷理19題的第一小問，學(xué)生們給出了三種不同解法，三種解法的期望一樣，但是概率分布列不同，孰對(duì)孰錯(cuò)？如何才能正確區(qū)分超幾何分布和二項(xiàng)分布呢？一、真題呈現(xiàn)（2023·全國(guó)甲卷理19題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）略本題主要考察了離散型隨機(jī)變量的分布列以及獨(dú)立性檢驗(yàn)問題.第二問沒有分歧，下面主要研究第一小問的解法.二、解法賞析解法1：兩只小白鼠分在兩個(gè)組，每只小白鼠都各有兩種分配方案，總的分配方案為4種，兩只小白鼠全部分配到試驗(yàn)組有1種情況，有一只分配到對(duì)照組有2種情況，全部分配到對(duì)照組的有1種情況，X的可能取值為0，1，2，由古典概型的概率計(jì)算公式可得：P（X＝0）＝14，P（X＝1）＝12，P（X＝2）＝所以X的分布列為：X012P111E（X）＝0×14＋1×12＋2×14解法2：每只小白鼠都可能被分到對(duì)照組和試驗(yàn)組，所以每只小白鼠被分到對(duì)照組的概率均為12，依題意，X的可能取值為0，1，2P（X＝0）＝C20×（1－12）×（1－12P（X＝1）＝C21×12×（1－12P（X＝2）＝C22×12×1所以X的分布列為：X012P111E（X）＝0×14＋1×12＋2×14解法3：依題意，X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝C200C202C402＝1978，P（X＝1）＝C201C20所以X的分布列為：X012P192019故E（X）＝0×1978＋1×2039＋2×1978三、真假辨析我們先看教材.在人A選三的7.4.2節(jié)，有這樣一個(gè)問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件，設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.這個(gè)問題旨在讓學(xué)生通過具體情境感知，如果采用放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布，如果采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但是每次抽取不是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，而且各次抽取的結(jié)果也不獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，X服從超幾何分布.也就是說，有無放回是區(qū)別二項(xiàng)分布和超幾何分布的重要特征.結(jié)合本題，小白鼠抽取，顯然是不再放回的，也就是屬于不放回抽取，從而本題應(yīng)該是超幾何分布問題.這樣解法3就是正確的，解法1錯(cuò)誤在把特定的兩只小白鼠等同于其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能性相等，事實(shí)上，這兩只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，相當(dāng)于40件產(chǎn)品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性不等.解法2錯(cuò)誤在把抽兩只小白鼠當(dāng)作2次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事實(shí)上每次抽取并不獨(dú)立，會(huì)影響第二次抽取.反思感悟一般地，我們辨別是超幾何分布還是二項(xiàng)分布，有兩點(diǎn)，其一是看總體數(shù)大小，其二是有無放回.當(dāng)總體數(shù)目較大或者沒有給出時(shí)，或者是無放回抽取時(shí)，屬于超幾何分布，反之，為二項(xiàng)分布.一個(gè)車間有3臺(tái)車床，它們各自獨(dú)立工作，設(shè)同時(shí)發(fā)生故障的車床數(shù)為X，在下列兩種情形下分別求X的分布列.（1）3臺(tái)車床型號(hào)相同，它們發(fā)生故障的概率是20%；（2）3臺(tái)車床中有A型號(hào)2臺(tái)，B型號(hào)1臺(tái)，A型號(hào)車床發(fā)生故障的概率是10%，B型號(hào)車床發(fā)生故障的概率是20%.在這里并沒有明確的說明是“有放回”還是“無放回”的抽取，但是，（1）中車床型號(hào)相同，且發(fā)生故障的概率相同，可以理解為在相同試驗(yàn)條件下進(jìn)行3次獨(dú)立試驗(yàn)，滿足n重伯努利試驗(yàn)的條件，所以X服從的是二項(xiàng)分布，而在（2）中車床分不同的型號(hào)，有差異，每種型號(hào)車床發(fā)生故障的概率有差異，那么發(fā)生故障的概率跟車床有關(guān)，所以服從超幾何分布.?高考還可以這樣考1.某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動(dòng)，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個(gè)紅球記2分，摸出一個(gè)黑球記－1分，得分在5分以上（含5分）則獲獎(jiǎng).（1）求在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率；（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值.解：（1）設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)紅球”為事件Ai（i＝0，1，2，3，4），設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B＝A3∪A4，且A3，A4互斥，P（A3）＝C32C21C21＋C31C21C所以在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率為P（B）＝P（A3∪A4）＝P（A3）＋P（A4）＝310＋120＝（2）依題意，X所有可能取值為－4，－1，2，5，8，由（1）知，P（X＝－4）＝P（A0）＝C22CP（X＝－1）＝P（A1）＝C31C21P（X＝2）＝P（A2）＝C32C22P（X＝5）＝P（A3）＝310P（X＝8）＝P（A4）＝120所以X的分布列為：X－4－1258P11731均值E（X）＝（－4）×160＋（－1）×16＋2×715＋5×310＋8×2.某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中有兩個(gè)“擲骰子贏獎(jiǎng)品”的登臺(tái)階游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級(jí)臺(tái)階，否則上二級(jí)臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級(jí)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束.規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時(shí)學(xué)生位于第8級(jí)臺(tái)階可獲得一本課外讀物，位于第9級(jí)臺(tái)階可獲得一套智力玩具，位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗.（1）某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級(jí)臺(tái)階，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；（2）甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率.解：（1）由題意可知：每次擲骰子上兩級(jí)臺(tái)階的概率為46＝23，上三級(jí)臺(tái)階的概率為26且X的可能取值為6，7，8，9，P（X＝6）＝（23）3＝8P（X＝7）＝C31×13×（23）P（X＝8）＝C32×（13）2×2P（X＝9）＝（13）3＝1所以X的分布列為：X6789P8421X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝6×827＋7×49＋8×29＋9×1（2）因?yàn)槲挥诘?0級(jí)臺(tái)階則