考教銜接基本不等式鏈的探究與應用一、基本不等式鏈的幾何解釋與證明幾何解釋由人A必修一P45探究可知.如圖，以O為圓心，AD＝a，DB＝b，過點O作AB的垂線交半圓O于C，再過點D作AB的垂線，交半圓O于E，連接OE，CD，再過點D作OE的垂線，垂足為F.則OC＝OE＝a＋b2（算術平均數(shù)），CD＝OC2＋O由△FED∽△DEO可得，DE＝ab（幾何平均數(shù)），EF＝21a＋由圖形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD，故21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞0代數(shù)證明證明：若實數(shù)a＞0，b＞0.（1）由21a＋1b＝2aba＋b，所以即證2aba＋b≤ab，即證2aba＋b≤1，即證2ab≤a＋b，即證（2）由基本不等式得，ab≤a＋b2成立（當且僅當a＝（3）要證a＋b2≤a2＋b22，即證（a＋b2）2≤a2＋b22，即證a2+2ab＋b24≤a2＋b22，即證a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即證a2＋b2－2ab≥0，即證（a－b）2≥0，顯然上式成立.所以a＋b2≤a2＋二、基本不等式鏈的應用利用基本不等式鏈求最值（1）〔多選〕設正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則（ACD）A.ab有最大值1B.1a+2b＋C.a2＋b2有最小值1D.a＋b有最大值2解析：（1）對于A，由基本不等式可得ab≤a＋b2＝12，當且僅當a＝b＝12時，等號成立，A正確；對于B，由21a+2b＋12a＋b≤（a+2b）＋（2a＋b）2＝3（a＋b）2＝32，得1a+2b＋12a＋b≥43，當且僅當a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝12時等號成立，B錯誤；對于C，由a2＋b22≥a＋b2（2）函數(shù)y＝2x－1＋5－2x解析：（2）函數(shù)的定義域為x∈［12，52］，由a＋b2≤a2＋b22，得a＋b≤2a2＋b22，則y＝2x－1＋5利用基本不等式鏈判斷（證明）〔多選〕（2022·新高考Ⅱ卷12題）若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則（）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1解析：BC因為x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤（x＋y）24，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－34（x＋y）2＝14（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，即－2≤x＋y≤2，故A錯誤，B正確；由xy≤x2＋y22得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－x2＋y22，即x2＋y2≤2，基本不等式鏈應用中的創(chuàng)新問題〔多選〕設a，b為兩個正數(shù)，定義a，b的算術平均數(shù)為A（a，b）＝a＋b2，幾何平均數(shù)為G（a，b）＝ab.上個世紀五十年代，美國數(shù)學家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝ap＋bpap－A.L0.5（a，b）≤L1（a，b） B.L0（a，b）≤G（a，b）C.L2（a，b）≤A（a，b） D.Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b）解析：AB對于A，L0.5（a，b）＝a＋b1a＋1b＝ab≤L1（a，b）＝a＋b2，當且僅當a＝b時，等號成立，故A正確；對于B，L0（a，b）＝21a＋1b＝2aba＋b≤2ab2ab＝ab＝G（a，b），當且僅當a＝b時，等號成立，故B正確；對于C，L2（a，b）＝a2＋b2a＋b＝a2＋b2＋a2＋b22（a＋b）≥a2＋b2+2ab2（a＋b）＝（a＋b）?高考還可以這樣考1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，則（1＋x）（1＋2y）的最大值為（）A.36 B.4C.16 D.9解析：D由題意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［（1+x）＋（1+2y）2］2＝9，當且僅當1＋x＝1＋2y，即x＝2，y2.若a＞b＞0，則下列不等式中恒成立的是（）A.2aba＋b＜a＋b2＜ab C.a＋b2＞ab＞2aba＋b 解析：Ca＞b＞0，a＋b2＞ab，2aba＋b＜2ab2ab＝ab.3.已知x＞0，