第六節(jié)空間向量的概念及運(yùn)算課標(biāo)要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1.空間向量及其有關(guān)概念概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個(gè)平面的向量概念語(yǔ)言描述共線向量定理對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p＝xa＋yb概念語(yǔ)言描述空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12.空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算（1）兩個(gè)非零空間向量的數(shù)量積①a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞；②a⊥b?a·b＝0；③設(shè)a＝（x，y，z），則｜a｜2＝a2，｜a｜＝x2（2）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a≠0，b≠0）夾角公式cos＜a，b＞＝a1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.（√）（2）若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.（×）（3）對(duì)于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0.（×）（4）空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是（0，b，c），b，c∈R.（√）2.（人A選一P15習(xí)題3題改編）如圖，在三棱錐O-ABC中，CD＝13CB，OE＝13OA，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，則A.13a－23b－13c B.23a－1C.13a－13b－23c D.23a－1解析：CDE＝DC＋CO＋OE＝－13CB－OC＋13OA＝－13（OB－OC）－OC＋13OA＝13OA－13OB－3.已知點(diǎn)M在z軸上，且點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0，2）與到點(diǎn)B（1，－3，1）的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0，－3）.解析：設(shè)點(diǎn)M（0，0，m）.因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0，2）與到點(diǎn)B（1，－3，1）的距離相等，所以12＋02＋（2－m）2＝12＋(-34.已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），則3a－b＝（8，1，16），a·b＝8.解析：因?yàn)閍＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），所以3a－b＝（9，6，15）－（1，5，－1）＝（8，1，16），a·b＝3＋10－5＝8.5.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），則∠ABC＝3π4解析：cos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB｜·｜BC｜＝（2，4，0）·(-1，3，0）4+16×1+9＝－2+1225×空間向量的線性運(yùn)算（基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）1.已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝12x－2a，則x＝（0，6，－20）解析：∵b＝12x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－202.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，則實(shí)數(shù)x＋y＝3解析：AP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)A1O－12AB－12AD＝A1A；用AB，AD，AA1表示OC1，則解析：A1O－12AB－12AD＝A1O－12（AB＋AD）＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A；因?yàn)镺C＝12AC＝12（AB＋AD），所以O(shè)C1練后悟通空間向量線性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)共線、共面向量定理的應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝13（OA＋OB＋OC）.（1）判斷MA，MB，MC三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解：（1）由題知OA＋OB＋OC＝3OM，所以O(shè)A－OM＝（OM－OB）＋（OM－OC），即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，所以MA，MB，MC共面.（2）法一由（1）知，MA，MB，MC共面且過(guò)同一點(diǎn)M，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).法二因?yàn)镺M＝13（OA＋OB＋OC）＝13OA＋13OB＋13OC，又因?yàn)?3＋13＋13＝1，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).解題技法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)（P，A，B）共線空間四點(diǎn)（M，P，A，B）共面PA＝λPB且同過(guò)點(diǎn)PMP＝xMA＋yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OA＋tAB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OM＋xMA＋yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOA＋（1－x）OB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOM＋yOA＋（1－x－y）OB1.已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若BD＝6PA－4PB＋λPC，則λ＝（）A.2 B.－2C.1 D.－1解析：BBD＝6PA－4PB＋λPC，即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，由A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.2.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點(diǎn)共線，則m＋n＝－3.解析：∵AB＝（3，－1，1），AC＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得AC＝λAB，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴m+1=3λ，n－2=－λ，空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）（人A選一P13例2、例3改編）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求線段AC1的長(zhǎng)；（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；（3）求證：AA1⊥BD.解：（1）設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c則｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因?yàn)锳C1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋所以｜AC1｜＝｜a＋b＋c｜＝（a＝1+1+4+0－2－2＝2，所以線段AC（2）因?yàn)锳C1＝a＋b＋c，A1D＝b所以AC1·A1D＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4｜A1D｜＝｜b－c＝｜＝1+4+2＝7，設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜AC1，A1D＞｜＝｜AC1即異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147（3）證明：因?yàn)锳A1＝c，BD＝b－a所以AA1·BD＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即AA1⊥所以AA1⊥BD.解題技法空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用（1）求夾角：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜（2）求長(zhǎng)度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題；（3）解決垂直問(wèn)題：利用a⊥b?a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中其所在的中點(diǎn)，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，試采用向量法解決下列問(wèn)題：（1）求EF的模長(zhǎng)；（2）求EF與GH的夾角.解：（1）因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中其所在棱的中點(diǎn)，AB＝a，AC＝b，AD＝c，所以BE＝12BC＝12（AC－AB）＝12（AF＝12AD＝1所以EF＝EB＋BA＋AF＝－12（b－a）－a＋12c＝12（c－a所以｜EF｜2＝14（c－a－b）2＝14（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝14（1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°）＝12，故｜（2）在正四面體ABCD中，EF＝12（c－a－b），｜EF｜＝2同理，GH＝12（b＋c－a），｜GH｜＝2所以cos＜EF，GH＞＝EF＝12（c－a－b）·12（b＋c－a）22×22＝12[（c－a）2－b2]＝12（c2＋a2－2c·所以EF與GH的夾角為90°.1.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與BM相等的向量是（A.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－1解析：A由題意，得BM＝BB1＋B1M＝AA1＋12（AD－AB）＝c＋12（b－a）＝－2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，則λ＝（）A.9B.－9C.－3D.3解析：B由題意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴2x－y=7，3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c(diǎn)｜＝14，若（a＋b）·c＝7，則a與c的夾角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°解析：C由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又因?yàn)椋黙｜＝12＋22＋32＝14，所以cos＜a，c＞＝a·c｜a||c｜4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖，四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，則x＋y＋z＝（）A.1 B.2C.13 D.解析：A∵EC＝2PE，∴PE＝13PC，∴DE＝AE－AD＝AP＋PE－AD＝AP＋13PC－AD＝AP＋13（AC－AP）－AD＝23AP＋13AC－AD＝23AP＋13AC－BC＝23AP＋13AC－（AC－AB）＝23AP－23AC＋AB，∴x＝5.（2025·大連模擬）若點(diǎn)A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），則｜AB｜的取值范圍是（）A.[0，5] B.[1，5]C.（1，5） D.[1，25]解析：B因?yàn)锳B＝（2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0），所以｜AB｜2＝（2cosθ－3cosα）2＋（2sinθ－3sinα）2＝4＋9－12（cosθcosα＋sinθsinα）＝13－12cos（θ－α）.因?yàn)椋?≤cos（θ－α）≤1，所以1≤｜AB｜2≤25，即1≤｜AB｜≤5.6.〔多選〕下列說(shuō)法中正確的是（）A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共線的充要條件B.若AB，CD共線，則AB∥CDC.A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，則P，D.若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共線），則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件解析：CD由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，所以A不正確；若AB，CD共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，因?yàn)?4＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C正確；若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共線），當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ（PB－PC），即CA＝λCB，所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三點(diǎn)共線，則xy＝2.解析：由三點(diǎn)共線得向量AB與AC共線，即AB＝kAC，（3，4，－8）＝k（x－1，y＋2，4），x－13＝y(tǒng)+24＝4－8，解得x＝－12，8.在正三棱錐P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則PO·PA＝83解析：∵P-ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，AO＝23·AB·sin60°＝233，故PO·PA＝PO·（PO＋OA）＝｜PO｜2＝｜AP｜2－｜AO｜2＝4－49.已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），設(shè)a＝AB，b＝AC.（1）若｜c(diǎn)｜＝3，且c∥BC，求c；（2）求a與b夾角的余弦值；（3）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.解：（1）∵c∥BC，∴c＝mBC＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）.∴｜c(diǎn)｜＝(-2m）2＋(∴m＝±1.∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.（2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，又｜a｜＝12＋1｜b｜＝(-1）∴cos＜a，b＞＝a·b｜a||∴a與b夾角的余弦值為－1010（3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b與ka－2b互相垂直，∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52即當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時(shí)，k＝2或k＝－5210.（2024·金華模擬）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且滿足DE＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，則｜DE｜的最小值是（A.13 B.C.33 D.解析：C因?yàn)镈E＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，由共面向量定理可知，E，A，C，D1四點(diǎn)共面.即點(diǎn)E在平面ACD1上，所以｜DE｜的最小值即為點(diǎn)D到平面ACD1的距離d，由正方體的棱長(zhǎng)為1，可得△ACD1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則S△ACD1＝12×（2）2×sinπ3＝32，S△ACD＝12×1×1＝12，由等積法可得V三棱錐D-ACD1＝V三棱錐D1-ACD，所以1311.〔多選〕已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.（A1A＋A1D1＋AB.A1C·（A1BC.向量AD1與向量A1BD.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為｜AB·AA1·AD解析：AB由向量的加法運(yùn)算得到A1A＋A1D1＋A1B1＝A1C，∵A1C2＝3A1B12，∴A1C2＝3A1B12，故A正確；∵A1B1－A1A＝AB1，AB1⊥A1C，∴A1C·AB1＝0，故B正確；∵△ACD1為等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的角為60°，但是向量AD1與向量A1B的夾角是120°，故C12.〔多選〕（2025·梅州模擬）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.若D1M⊥MN，則下列命題正確的是（）A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.線段BN長(zhǎng)度的最大值為3D.三棱錐C1-A1D1M的體積不變解析：ACD在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），設(shè)M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），D1M＝（3，y，－3），MN＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，則D1M·MN＝y(tǒng)（3－y）－3z＝0，即z＝13y（3－y）.對(duì)于A，A1M＝（0，y，－3），則A1M·MN＝y(tǒng)（3－y）－3z＝0，則A1M⊥MN，MN⊥A1M，故A正確；對(duì)于B，CM＝（3，y－3，0），CM·MN＝（y－3）·（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，BN＝（0，0，z），則線段BN的長(zhǎng)度｜BN｜＝z＝13［－（y－32）2＋94］≤34，當(dāng)且僅當(dāng)y＝32時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，不論點(diǎn)M如何移動(dòng)，點(diǎn)M到平面A1D1C1的距離均為3，而V三棱錐C1-A1D1M＝13.已知半徑為2的球O內(nèi)切于正四面體ABCD，線段MN是球O的一條動(dòng)直徑（M，N是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)P是正四面體ABCD的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM·PN的取值范圍是[0，32].解析：設(shè)球O與底面BCD切于點(diǎn)E，連接AE，易知點(diǎn)O在AE上，AE為正四面體的高.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，根據(jù)正四面體的棱長(zhǎng)與其內(nèi)切球半徑間的關(guān)系，有612a＝2，解得a＝46，即正四面體的棱長(zhǎng)為46，所以AE＝63a＝8.連接OP（圖略），則PM＝OM－OP，PN＝ON－OP，所以PM·PN＝（OM－OP）·（ON－OP）＝OM·ON－OP·（OM＋ON）＋OP2，而OM·ON＝－4，ON＋OM＝0，則PM·PN＝OP2－4.由題意可知2≤｜OP｜≤OA＝8－2＝6，所以0≤OP2－4≤32，故PM·PN的取值范圍為[14.在①（DE＋CF）⊥（DE－CF），②｜DE｜＝172，③0＜cos＜EF，DB＞＜1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并完成問(wèn)題問(wèn)題：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.已知點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（0，0，2），E為棱D1C1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，，試問(wèn)是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)滿足EF⊥A1C？若存在，求AE·BF的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解：由題意得，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），設(shè)E（0，a，2）（0≤a≤2），F(xiàn)（b，2，2）（0≤b≤2），則EF＝（b，2－a，0），A1C＝（－2，2，－2），AE＝（－2，a，2），BF＝（b－2，0，則EF·A1C＝4－