[傳統(tǒng)文化訓(xùn)練二]單獨(dú)成冊(cè)一、選擇題1．(2017·長沙模擬)《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)問題及其解法，其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)、第3節(jié)、第8節(jié)竹子的容積之和為()A.eq\f(17,6)升 B.eq\f(7,2)升C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升解析：自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，因?yàn)閍2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6).選A.答案：A2．(2017·沈陽模擬)中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N≡n(modm)，例如11≡2(mod3)．現(xiàn)將該問題以程序框圖給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于()A．21 B．22C．23 D．24解析：當(dāng)n＝21時(shí)，21被3整除，執(zhí)行否．當(dāng)n＝22時(shí)，22除以3余1，執(zhí)行否；當(dāng)n＝23時(shí)，23除以3余2，執(zhí)行是；又23除以5余3，執(zhí)行是，輸出的n＝23.故選C.答案：C3．(2017·南昌模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：今有甲乙丙三人持錢，甲語乙丙：各將公等所持錢，半以益我，錢成九十(意思是把你們兩個(gè)手上的錢各分我一半，我手上就有90錢)；乙復(fù)語甲丙，各將公等所持錢，半以益我，錢成七十；丙復(fù)語甲乙：各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六，則乙手上有________錢．()A．28 B．32C．56 D．70解析：設(shè)甲、乙、丙三人各持有x，y，z錢，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y＋z,2)＝90,y＋\f(x＋z,2)＝70,z＋\f(x＋y,2)＝56))，解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝72,y＝32,z＝4))，所以乙手上有32錢．答案：B4．(2017·石家莊模擬)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A－BCD中，AB⊥平面BCD.且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是()解析：如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則由鱉臑的定義知PQ∥AB，QR∥CD.設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\f(x,\r(3))2＋\f(\r(3)－x,\r(3))2)＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(x－\f(\r(3),2)2＋\f(3,4))，故選A.答案：A5．歐拉公式eix＝cosx＋isinx是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)eeq\f(π,4)i·eeq\f(3π,4)i＋(1＋i)2的虛部是()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：依題意得，eeq\f(π,4)i·eeq\f(3π,4)i＋(1＋i)2＝(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))＋2i＝－1＋2i，其虛部是2，選D.答案：D6．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：程序運(yùn)行如下：n＝1，a＝5＋eq\f(5,2)＝eq\f(15,2)，b＝4，a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝2，a＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(15,2)＝eq\f(45,4)，b＝8，a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝3，a＝eq\f(45,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(45,4)＝eq\f(135,8)，b＝16，a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝4，a＝eq\f(135,8)＋eq\f(1,2)×eq\f(135,8)＝eq\f(405,16)，b＝32，此時(shí)，a＜b.輸出n＝4，故選C.答案：C7．(2017·衡水中學(xué)調(diào)研)今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，問：幾何日相逢？()A．12日 B．16日C．8日 D．9日解析：由題易知良馬每日所行里數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列其通項(xiàng)公式為an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，駑馬每日所行里數(shù)也構(gòu)成一等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝97－eq\f(1,2)(n－1)＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(195,2)，二馬相逢時(shí)所走路程之和為2×1125＝2250，所以eq\f(na1＋an,2)＋eq\f(nb1＋bn,2)＝2250，即eq\f(n103＋13n＋90,2)＋eq\f(n97－\f(1,2)n＋\f(195,2),2)＝2250，化簡得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)，故選D.答案：D8．埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除eq\f(2,3)用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的形式，例如eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,2)，不夠，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,3)，還余eq\f(1,3)，再將這eq\f(1,3)分成5份，每人分得eq\f(1,15)，這樣每人分得eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).形如eq\f(2,n)(n＝5,7,9,11，…)的分?jǐn)?shù)的分解：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，按此規(guī)律，eq\f(2,n)＝()A.eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1)B.eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,nn＋1)C.eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,nn＋2)D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋12n＋3)解析：根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個(gè)數(shù)的分母應(yīng)是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個(gè)數(shù)的原始分子都是1，即eq\f(2,n)＝eq\f(1,\f(n＋1,2))＋eq\f(1,\f(nn＋1,2))＝eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1).故選A.答案：A二、填空題9．某同學(xué)想求斐波那契數(shù)列0,1,1,2，…(從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和)的前10項(xiàng)和，他設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖，則滿足條件的整數(shù)P的值為________．解析：由題意，第1次循環(huán)：a＝0，b＝1，i＝3，S＝0＋1＝1，求出第3項(xiàng)c＝1，求出前3項(xiàng)和S＝0＋1＋1＝2，a＝1，b＝1，滿足條件，i＝4，執(zhí)行循環(huán)體；第2次循環(huán)：求出第4項(xiàng)c＝1＋1＝2，求出前4項(xiàng)和S＝0＋1＋1＋2＝4，a＝1，b＝2，滿足條件，i＝5，執(zhí)行循環(huán)體，……第8次循環(huán)：求出第10項(xiàng)c，求出前10項(xiàng)和S，此時(shí)i＝10，由題意不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出S的值，故判斷框內(nèi)應(yīng)為“i≤9？”，所以P的值為9.答案：910．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形數(shù)N(n,4)＝n2，五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n，……可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝________.解析：由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－1))n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－2))n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.答案：100011．(2017·貴陽模擬)輾轉(zhuǎn)相除法，又名歐幾里得算法，乃求兩個(gè)正整數(shù)之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中國則可以追溯至東漢時(shí)期出現(xiàn)的《九章算術(shù)》．圖中的程序框圖所描述的算法就是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法．若輸入m＝5280，n＝12155，則輸出的m的值為________．解析：法一：依題意，當(dāng)輸入m＝5280，n＝12155時(shí)，執(zhí)行題中的程序框圖，進(jìn)行第一次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝5280，m＝12155，n＝5280，r≠0；進(jìn)行第二次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝1595，m＝5280，n＝1595，r≠0；進(jìn)行第三次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝495，m＝1595，n＝495，r≠0；進(jìn)行第四次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝110，m＝495，n＝110，r≠0；進(jìn)行第五次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝55，m＝110，n＝55，r≠0；進(jìn)行第六次循環(huán)時(shí)，m除以n的余數(shù)r＝0，m＝55，n＝0，r＝0，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出的m的值為55.法二：依題意，注意到5280＝25×3×5×11,12155＝5×11×221，因此5280與12155的最大公因子是55，即輸出的m的值為55.答案：5512．(2017·合肥模擬)中國古代數(shù)學(xué)有著很多令人驚嘆的成就．北宋沈括在《夢(mèng)溪筆談》卷十八《技藝》篇中首創(chuàng)隙積術(shù)．隙積術(shù)意即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個(gè)，寬有b個(gè)，共計(jì)ab個(gè)木桶，每一層長寬各比上一層多一個(gè)，共堆放