出局統(tǒng)圖等

教育科學(xué)系

第一章緒論

?一、什么是教育統(tǒng)計(jì)學(xué)二、教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容

?三、學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義四、如何學(xué)好教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

一、什么是教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

?一（）統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念

?客觀現(xiàn)象分：確定現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象

?不確定現(xiàn)象：在相同條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；可能發(fā)生這樣的結(jié)果，也可能發(fā)生那

樣的結(jié)果。也稱隨機(jī)現(xiàn)象。如：拋硬幣

?一般來說，統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)其規(guī)律性的科學(xué)。

〔二）教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念

?教育統(tǒng)計(jì)學(xué)：運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理和方法，來研究教育問題的一門應(yīng)用科學(xué)。

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。

二、教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容

?一（）描述統(tǒng)計(jì)

?對(duì)已獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、概括，顯現(xiàn)其分布特征的統(tǒng)計(jì)方法，稱為描述統(tǒng)計(jì)。

?主要研究如何整理心理與教育研究中獲得的大量數(shù)據(jù)，描述一組數(shù)據(jù)的全貌，表達(dá)一件事物的

性質(zhì)，以充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息。

（二）推論統(tǒng)計(jì)

?推論統(tǒng)計(jì)是研究如何通過局部（樣本）所提供的信息夾推論全局（總體）的情形。

?內(nèi)容包括：總體參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)

?這是統(tǒng)計(jì)學(xué)上比擬重要且應(yīng)用較多又較困難的一局部。

［三）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

?實(shí)驗(yàn)者為了揭示實(shí)驗(yàn)中自變量與因變量的關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)之前所制訂的實(shí)驗(yàn)方案，稱為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

?主要研究如何科學(xué)地、經(jīng)濟(jì)地以及更有效地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。作為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)研究，在實(shí)驗(yàn)以前

就要對(duì)研究的步驟，被試的取樣方法，實(shí)驗(yàn)條件的控制，以及對(duì)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法等等做出

嚴(yán)格的設(shè)計(jì)。

?實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的內(nèi)容不一樣，統(tǒng)計(jì)所用的方法也不一樣

?以上三局部內(nèi)容，相互聯(lián)系

三、學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)為科學(xué)研究提供一種科學(xué)方法

?2、教育統(tǒng)計(jì)學(xué)是教育科研定量分析的重要工具

?3、廣闊教育工作者學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的具體意義

?①可以順利閱讀運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行定量分析的科研報(bào)告和文獻(xiàn)，從中可間接了國外內(nèi)先進(jìn)的研

究成果

?②可以提高教育工作者的科學(xué)性和效率

?③為學(xué)習(xí)教育測量及教育評(píng)價(jià)打下根底

四、如何學(xué)好教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

?㈠克服畏難情緒

-仁）在學(xué)習(xí)時(shí)要注意重點(diǎn)掌握各種統(tǒng)計(jì)方法使用的條件

?㈢克服“統(tǒng)計(jì)無用”與“統(tǒng)計(jì)萬能”的思想，要注意科研道德.認(rèn)直分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)?,正偏選用統(tǒng)計(jì)

方法

王、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)根本概念

?一（）隨機(jī)變量

?隨機(jī)現(xiàn)象：具有以下三種特性的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。第一，一次試驗(yàn)有多種可能結(jié)果，其所

有可能結(jié)果是的；第二，試驗(yàn)之前不能預(yù)料哪一種結(jié)果會(huì)出現(xiàn)；第三，在相同條件下可以重復(fù)

試驗(yàn)

?隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的每一種結(jié)果叫做一個(gè)隨機(jī)事件

?隨機(jī)變量：表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量

?統(tǒng)計(jì)處理的變量都是隨機(jī)變量，如學(xué)生的身高、體重、考試成績等，一般用英文大寫字母X、

Y等表示

（二）總體和樣本

?總體：某一類所欲研究的對(duì)象的全體，或指具有某種特征的一類事物的全體。

?個(gè)體:構(gòu)成總體的每個(gè)根本單位

?樣本:從總體中抽出n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)個(gè)體就組成了樣本。

-樣本中包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量，一般用n表示。按容量的多少分為大樣本（n>30）,

小樣本（nW30）

（三）統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)

?統(tǒng)比重是根據(jù)一組觀察值計(jì)算出來的一切鼠數(shù)，它是描述一組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

?參報(bào)是描述總體情況的各種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

?終城參數(shù)相對(duì)于總體而言，統(tǒng)計(jì)量相對(duì)于樣本而言

〔四）次數(shù)、頻率、概率

?1、次強(qiáng)：某一隨機(jī)事件在某一類別中出現(xiàn)的數(shù)目，又稱為頻數(shù)，一般用符號(hào)f表示。

?如：某班進(jìn)行某測驗(yàn)，戊績?yōu)?0分的共有幾個(gè)，這便是90分這一事件出現(xiàn)的次數(shù)。

?2、頻率:又稱相對(duì)次數(shù)，即某一事件的次數(shù)被總的事件數(shù)目除。通常用比例、百分?jǐn)?shù)表示

?3、概率:某事件在無限次觀察中可能出現(xiàn)的頻率，用符號(hào)p表示。

第二章數(shù)據(jù)的初步整理

?第一節(jié)數(shù)據(jù)的來源、種類和統(tǒng)計(jì)分類第二節(jié)統(tǒng)計(jì)表第三節(jié)統(tǒng)計(jì)圖

第一節(jié)數(shù)據(jù)的來源、種類和統(tǒng)計(jì)分類

?一、教育統(tǒng)計(jì)資料的來源

?（一）經(jīng)常性資料

?主耍指文字記載的資料，包括日常工作記錄和統(tǒng)計(jì)報(bào)表等。

?如：教育工作情況記錄、畢業(yè)生登記表

?（二）專題性資料

?主要指通過專題性的調(diào)查或?qū)嶒?yàn)所獲得的資料。

1.教育調(diào)查

?教育調(diào)查指在沒的預(yù)定的因子、不施行控制的條件下，對(duì)現(xiàn)成的教育方面有關(guān)客觀事實(shí)所進(jìn)行的觀察

和分析。

?調(diào)杳的方法、種類很多：

?A、從調(diào)查方法來分，可分為現(xiàn)情調(diào)查、回憶調(diào)查和追蹤調(diào)查；

?B、從調(diào)查范圍來分，可分為全面調(diào)查和非全面調(diào)杳

?通過教育調(diào)查可以獲得客觀、真實(shí)可靠的資料

?2、教育實(shí)驗(yàn)

?教育實(shí)驗(yàn)是指在預(yù)定的控制因子影響卜，對(duì)教育方面有關(guān)客觀事實(shí)所進(jìn)行的觀察和分析。

??般設(shè)立兩種實(shí)驗(yàn)處理（控制實(shí)驗(yàn)和對(duì)照實(shí)驗(yàn)）進(jìn)行對(duì)照和比擬

二、數(shù)據(jù)的種類

?數(shù)據(jù)：隨機(jī)變昂的觀察信，用來描述對(duì)客觀事物觀察測后結(jié)果的數(shù)值。

?（-）按數(shù)據(jù)的來源分

?1、計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)：指計(jì)算個(gè)數(shù)所獲得的數(shù)據(jù)。

?如:學(xué)生數(shù)、教室數(shù)

?2、測晟數(shù)據(jù)：指用一定的工只或一定的標(biāo)準(zhǔn)測量所獲得的數(shù)據(jù)。

（二）按測量水平不同劃分

?1、比率數(shù)據(jù)：具有相等的單位、絕對(duì)的零點(diǎn)

?這一類數(shù)據(jù)可進(jìn)行加、減、乘、除，如身高、體重

?2、等距數(shù)據(jù)：有相等的單位，沒有絕對(duì)的零點(diǎn)

?能加減，不能乘除。如溫度計(jì)上的讀數(shù)

?3、順序數(shù)據(jù)：沒有相等的單位，也沒有絕對(duì)的零點(diǎn)，但可以進(jìn)行排序。這類數(shù)據(jù)不能進(jìn)行加減乘除

?如：等級(jí)一甲、乙、丙、丁；名次一第一名、第二名

?4、分類數(shù)據(jù)：沒有相等的單位和絕對(duì)的零點(diǎn)，也不能進(jìn)行排序，它只是把事物按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,

對(duì)事物有區(qū)分作用（只能進(jìn)行計(jì)數(shù)）。如：性別、名字

｛三）按數(shù)據(jù)是否具有連續(xù)性劃分

?1、間斷型隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)：取值個(gè)數(shù)有限的數(shù)據(jù)。通常取整數(shù)，數(shù)軸上用點(diǎn)表示

?這種數(shù)據(jù)的單位是獨(dú)立的，兩個(gè)單位之間不能再劃分成細(xì)小的單位。如計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)

?2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)：取值個(gè)數(shù)無限的數(shù)據(jù)。數(shù)軸上用線表示，所用的數(shù)值，只是表示該連續(xù)變

量的中央點(diǎn)。

?如：連續(xù)變量1是表示0.57.499??

?50秒表示（）

?67寸是66.5寸以67.499??寸，即但凡測量時(shí)尺寸在66.5-67.499寸這間的數(shù)，我們都記為67寸

三、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分類

?數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分類是指根據(jù)研究對(duì)象的特征，將所得數(shù)據(jù)劃分到各個(gè)類別。

?（-）統(tǒng)計(jì)分類應(yīng)注意的問題

?1、做好分類前的準(zhǔn)備

?⑴如果有理由證明某些數(shù)據(jù)受到過失誤差影響，應(yīng)該把它刪去。

?誤差：隨機(jī)誤差（沒法控制）、系統(tǒng)誤差（有一定方向）、過失誤差（明顯歪曲）

?但不能隨心所欲的去抻那些不符合自己主觀假設(shè)的數(shù)據(jù)

⑵要遵循三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差法則（3o法則）

,大十或小于3。則去掉

2、根據(jù)與被研究對(duì)象本質(zhì)有關(guān)的特性來分類；這些作為分類依據(jù)的特性，稱為分類標(biāo)志

3、分類標(biāo)志要明確，前后一致，包括所有數(shù)據(jù)

［二）性質(zhì)類別和數(shù)量類別

1、性質(zhì)類別：按事物的不同性質(zhì)進(jìn)行分類

2,數(shù)量類別：依數(shù)值的大小分類，并進(jìn)行排序

⑴直接按數(shù)據(jù)大小來排序

⑵等級(jí)排序：將數(shù)據(jù)按等級(jí)大小排列，等級(jí)上下根據(jù)事物性質(zhì)來定。

方法

?A、給數(shù)據(jù)定等級(jí)：有相同數(shù)據(jù)時(shí)，不管相同數(shù)據(jù)有幾個(gè)，應(yīng)該將所有相同數(shù)據(jù)所占有的等級(jí)相加再

平均，作為這幾個(gè)數(shù)據(jù)的共同等級(jí)

?B、等級(jí)級(jí)數(shù)應(yīng)與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相同

?洌：

?數(shù)據(jù)：61、60、60、58、57、57、57、55

?等級(jí)：1（等）2.5、2.5、4、6、6、6、8

第二節(jié)統(tǒng)計(jì)表

?一、統(tǒng)計(jì)表的構(gòu)造和要求

?（-）內(nèi)容

?1、序號(hào)：在表的左上角，如：表2—1,表2?1

?2、名稱（標(biāo)題）：一般在表的上方

?3、標(biāo)目：表格中對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分類的工程。標(biāo)目的好壞決定統(tǒng)計(jì)表的質(zhì)量。按標(biāo)目在表中上位置分橫標(biāo)

目、縱標(biāo)目，必要時(shí)，，在橫縱標(biāo)目的上方加上適當(dāng)?shù)目倶?biāo)目

?4、線條：表頭、表尾兩橫線有粗線，左右兩邊不用邊線

?5、數(shù)字：整齊劃一，整數(shù)超過3位數(shù)要用分位點(diǎn)，有效位數(shù)要一致，小數(shù)點(diǎn)后缺位的要補(bǔ)零，無數(shù)字

的用“——“

?6、表注：補(bǔ)充，不是表的必要組成局部

【二）要求：簡單明了

例：

表2.1上海市區(qū)男幼兒20米跑步用時(shí)

年齡組8歲一4歲一6歲一6歲一

平均秒數(shù)（X）7.717.166.046.63

資料來源：引自《華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)》（教育科學(xué)版）1985年第2期第30頁

二、統(tǒng)計(jì)表的種類

?簡單表：只列出觀察對(duì)象的名稱、地點(diǎn)、時(shí)序或統(tǒng)計(jì)指標(biāo)名稱的統(tǒng)計(jì)表

?（-）分組表：只有一個(gè)分類標(biāo)志分組的統(tǒng)計(jì)表

?（三）復(fù)合表：按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)志分組的統(tǒng)計(jì)表

三、次數(shù)分布表1頻數(shù)分布表）

?次數(shù)分布表:對(duì)于一組大小不同的數(shù)據(jù)劃出等距的分組區(qū)間（稱為組距），然后將數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小列入各

個(gè)相應(yīng)的組別內(nèi)，便可以出現(xiàn)一個(gè)有規(guī)律的表式,稱之。

?（一）一般次數(shù)分布表

?編制步驟:

?k求全距:R二Nmax—Nmin

?2、決定組數(shù)與組距

?（1）組距常采用2、3、5、10、20等，目的是便于計(jì)算分組區(qū)間、組中值

?⑵據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)數(shù)目大于100時(shí)，可分為10-20組，常取12—16組，當(dāng)數(shù)據(jù)數(shù)目較少時(shí)，可分為7—9

組

⑶采用經(jīng)驗(yàn)公式；當(dāng)數(shù)據(jù)總體分布接近于正態(tài)分布時(shí)，用

2

K=L87（TV—1尸

（N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，最后K取整數(shù)）

3、決定組限（列出分組區(qū)間）

⑴最高組區(qū)間應(yīng)包含最大數(shù)據(jù)，最低組區(qū)間包含最小數(shù)據(jù)。

⑵最高（最低）組下限最好是組距的整數(shù)倍

⑶書寫時(shí)數(shù)據(jù)大的區(qū)間寫在左側(cè).上方一行

4,登記次數(shù)

5、計(jì)算次數(shù)

6,抄錄新表

（二）累加次數(shù)分布表

?可在一般次數(shù)分布表上再增加一欄

?可從上往下累加，也可從下往上累加

?實(shí)際累積次數(shù)表示某一組上限以下的次數(shù)

?相對(duì)累積次數(shù)表示為實(shí)際累加次數(shù)與最高次數(shù)之比

如山府精確上限+精確下限興主確不呻組距

組中值=---------------------=木青確卜限+

表2.2師大附小二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高實(shí)測數(shù)值

1980.9

135134129133131131131134125128

135127127133*30132，3129124132

122124127131137132133134124128

135133)31123115132134138J24132

128)36127120125131136127124129

】29132138125131120121144128133

12B127130120121122127121125130

140121126130122128127125127131

R=144-115=29(cm)

表2.3師大附小二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高的頻數(shù)分布

1980.3

身高?記獨(dú)政

(1)(2?(3)

.115—

118―III3

121—的川8

1111111110

124—rTTTIYTT

Hitmiini411120

12，一ITTTHTTTHTWT

130―州州州川19

133—■HttttttII12

136—川I4

13a―2

142—1

&和80

表2?4二年以80個(gè)學(xué)生身育的事效、JR積第效、率積

百分比分布事

?離m中他累枳X敢零班百分比

<1)(2)(8)<<>C5）

115-116.511J”

118—119.5345.00

121—122.581215.00

124—125.5102227.30

127—128.5204252.25

130—131.5196176.25

133—131.5127391.25

13G-137.547796.25

139-140.527998.75

142—143.51C0100.00

e和80

第三節(jié)統(tǒng)計(jì)圖

?一、統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)

?統(tǒng)計(jì)圖由標(biāo)題、圖號(hào)、標(biāo)目、圖形、圖注等項(xiàng)構(gòu)成

?二、統(tǒng)計(jì)圖的類型

?直條圖、圓形圖、線形圖、頻數(shù)分布圖

第三章集中量數(shù)

?集中量是代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢(shì)的量。它能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況

?第一節(jié)：算術(shù)平均數(shù)第二節(jié)：中數(shù)第三節(jié)：眾數(shù)

第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

一、概念

算術(shù)平均數(shù)指觀測數(shù)的總和除以觀測數(shù)的個(gè)數(shù)所得的商，又稱均數(shù)、均值。用符號(hào)M表示.

常用表示總體平均數(shù)，表示樣本平均數(shù)

天=X|+X?+X3一……+x“=Z￡（3-1）

NN

式中：Xi、X?、X3.Xn為各次觀測數(shù);

N為觀測次數(shù)

算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)：

于及

1、X的總和等于平均數(shù)的N倍，一X=N?

2、離均差（各變量與其均數(shù)之差）之和為零Z（X一.）=°

3、由各局部變量值的均數(shù)和變量值的個(gè)數(shù)，可以求出全部變量值的均數(shù)

q：N.Xa+NbXb

Na+Nb

4、每一組數(shù)據(jù)都+（或一）一個(gè)常數(shù)，那么所得的平均數(shù)等于原來的平均數(shù)+（或一）這個(gè)常數(shù)

x+c=又+cY^c=x-c

5、一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)常數(shù)C,那么所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)的C倍

CX=C-X

二、平均數(shù)的計(jì)算

〔一）未分組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算

歹二X1+X2+X3+……+X〃=Z1(3-1)

NN

例1：10名學(xué)生的數(shù)學(xué)期考分?jǐn)?shù)為：79、62、84、90、71、76、83、98、77、78,求其算術(shù)平均數(shù)。

（二）分組數(shù)據(jù)平均數(shù)計(jì)算

工于Xc

X=(3—2)

N

式中：Xc為各區(qū)間的組中值

f為各區(qū)間的次數(shù)

N為數(shù)據(jù)的總次數(shù),

例2：48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)算術(shù)平均數(shù)組中值計(jì)算法

分組區(qū)組中值次數(shù)f-Xc計(jì)算

間(Xc)(f)

95-976582

90925460

85—877609A------------

SO-827574N

75—777539

70—7285763816

65-673201

60-622124~48

55-5700

50—522104=79.5

45-47147

總和483816

三、算術(shù)平均數(shù)的意義與應(yīng)用

?均數(shù)是真值的最好的會(huì)計(jì)值

?優(yōu)點(diǎn)：1、反響靈敏2、簡明易解3、較少受抽樣變動(dòng)的影響

?缺點(diǎn)：1、易受極端數(shù)據(jù)影響2、出現(xiàn)數(shù)據(jù)模糊不清時(shí)，無法計(jì)算平均數(shù)

?適用條件：一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都比擬準(zhǔn)確、可靠乂同質(zhì)；無極端數(shù)值影響；需要通過它計(jì)算其它統(tǒng)

計(jì)量

第二節(jié)中數(shù)

?一、概念

?中數(shù)是指位于一組數(shù)據(jù)中較大的一半與較小一半中間位置的那個(gè)數(shù)。又稱中點(diǎn)數(shù)、中位數(shù)，用符號(hào)Md

表示。

?中數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個(gè)，也可能根本不是原有的數(shù)。如果將數(shù)據(jù)依大小順序排列，中數(shù)恰于中間，

它將數(shù)據(jù)的數(shù)目分成較大的一半和較小的一半。

一、中數(shù)的計(jì)算方法

?(-)原始數(shù)據(jù)計(jì)算法

?苜先將數(shù)據(jù)從小到大排列，位置在此序列中間的數(shù)據(jù)就是中數(shù)。

?1、中間的個(gè)數(shù)不是重復(fù)數(shù)

7V+1YZZ

?⑴當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，第2個(gè)數(shù)據(jù)為中數(shù)

?例3：3、5、10、7、6,求中數(shù)

NN

?⑵當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，第2個(gè)數(shù)與第2+1個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中數(shù)

例4：求以下8個(gè)數(shù)的中數(shù)

2、8、5、19、3、15、10、7

能：把這8個(gè)數(shù)依大小排列為：

2、3、5、7、8、10、15、19

中數(shù)=(7+8)-4-2=7.5

2、位于中間位置的幾個(gè)數(shù)據(jù)為重復(fù)數(shù)時(shí)：

把這個(gè)重復(fù)數(shù)看作是連續(xù)數(shù)并且讓這幾個(gè)重復(fù)數(shù)均分這個(gè)連續(xù)數(shù)所占領(lǐng)的區(qū)間，計(jì)算出位于上、下各

個(gè)數(shù)據(jù)的分界線位置的數(shù)為中數(shù)。

例5：求2、3、5、5、7、7、7、II、13的中數(shù)

解：N/2是4.5,序列中上下各4.5的那一點(diǎn)恰好是第一個(gè)數(shù)7的中點(diǎn)，可將連續(xù)數(shù)7理解為：6.5?

7.5之間有三個(gè)數(shù)據(jù)分布其中，而三個(gè)7是均勻分布在這區(qū)間之內(nèi)的，如圖：

Md=(6.5+6.83)/2=6.67

例6：求2、3、5、5、7、7、7、II、13、15的中數(shù)

［二)次數(shù)分布表求中數(shù)方法

Md=Lj十xi(3-3)

JMd

N

_Fa

Md=L「2-xi(3-4)

fMd

式中：Ld=中數(shù)所在組的精確下限:

Fb=中數(shù)所在組精確下限以下的觀測值的個(gè)數(shù)

fvid二中數(shù)所在組內(nèi)的觀測值個(gè)數(shù)

N=分布中觀測值的總個(gè)數(shù)；i二組距

La二中數(shù)所在組的精確上限；

Fa=中數(shù)所在組精確上限以上的觀測值的個(gè)數(shù)

例7：48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)中位數(shù)計(jì)算法

分組區(qū)間次數(shù)累積次數(shù)計(jì)算中位數(shù)

(f)(cf)

95-648⑴N/2=48/2=24

9()542⑵第與第+1個(gè)數(shù)中間即中數(shù)所在組區(qū)間

85—737是79.5—84.5

SO-730⑶中數(shù)所在組以下的次數(shù)和Fb=23

75—723⑷fMd=7.i=5

70—816⑸利用公式(3-3)計(jì)算中數(shù):

65-38

60-2524-23

55-03Md=19.5+——-x5=80.21

50—237

45-11

N=48

注意:當(dāng)由小往大計(jì)算中數(shù)時(shí)，如果小于某一組下限的累積頻數(shù)正好等于總次數(shù)的一半，那么該組的下限

就是中數(shù)；當(dāng)由大往小計(jì)算中數(shù)時(shí)，大于某一組上限的累積頻數(shù)正好等于總次數(shù)的一半，那么該組的上

限就是中數(shù)。

三、中數(shù)的意義和作用

優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單、容易理解?，適用于某些特殊情況

缺點(diǎn)：反響不靈敏，受抽樣影響較大，不如平均數(shù)穩(wěn)定；對(duì)中數(shù)不能做出進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算

應(yīng)用：1、當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時(shí)

2、當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)為清楚時(shí)

3、當(dāng)需要快速估計(jì)組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)

第三節(jié)眾數(shù)

?一、眾數(shù)的概念(密集數(shù))

?眾數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。用M。表示

?二、眾數(shù)的求法

?(一)直接觀察求眾數(shù)

?】、原始數(shù)據(jù)中，次數(shù)出現(xiàn)最多的數(shù)值，即為眾數(shù)

?例8：求3、4、5、5、7、5的眾數(shù)

?2、次數(shù)分布表中，次數(shù)最多的一組的組中值為眾數(shù)

［二）用公式求眾數(shù)

?1、皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法（當(dāng)分布接近正態(tài)時(shí)使用）

?Mo=3Md-2M（3—5）

?2、金氏補(bǔ)插法（當(dāng)分布呈偏態(tài)時(shí)使用）

f

M0=LM"彳+xi（3-6）

JaJb

?式中：LM。二眾數(shù)所在組的精確下限

?fa二包含眾數(shù)所在組的上一組的次數(shù)

?￡=包含眾數(shù)所在組的下一組的次數(shù)

三、眾數(shù)的意義和應(yīng)用

?優(yōu)點(diǎn)：簡單明了

?缺點(diǎn)：1、不穩(wěn)定，受分組影響

?2、不靈敏，較少受極端數(shù)據(jù)影響

?3、不能做出進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算

?應(yīng)用：1、當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)

?2、當(dāng)次數(shù)分布中有極端數(shù)據(jù)時(shí)（一般用中數(shù)）

?3、當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)，可用眾數(shù)來表示典型情況。

?如：工資收入、學(xué)生成績等常以次數(shù)最多者為代表。

四、平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系

?1、在正態(tài)分布中，三者重合：M=Md=Mo

?2、在偏態(tài)分布中，M-Md=（M-Mo）4-3

?Md居中，M與Md距離較近，而Mo與Md距離較遠(yuǎn)

?練習(xí)：

?以下數(shù)據(jù)，使用何種集中量數(shù)表示集中趨勢(shì)，其代表性更好？并計(jì)算出來。

??4、5、6、6、7、29

?②3、4、5、5、7、5

?③2、3、5、6、7、8、9

第四章差異量數(shù)

第一節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差第二節(jié)其它差異尾數(shù)

差異量數(shù)：描述一組數(shù)據(jù)的變異量或者離中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量

?集中量數(shù)指量尺上的一點(diǎn)，差異量數(shù)是量尺上的i段距離。

?一組數(shù)據(jù)集中量的代表性如何，可由表示差異情況的量數(shù)來說明。差異量數(shù)愈小，那么集中量數(shù)的代

表性愈大：反之，那么代表性愈小。

?例：甲、乙、丙三個(gè)班學(xué)生各50人，其數(shù)學(xué)的平均成績各為75分，但甲班最高成績?yōu)?5分，最低分

為45分，乙班最高成績?yōu)?5分，最低分為65分，內(nèi)班最高成績?yōu)?8分，最低分為73分

?一三個(gè)班的成績并不相同

第一節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

?一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念

?方差是指離差平方的算術(shù)平均數(shù)。即每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值。

［田s2）

-----------2

一￡（x—X）

.S=----N------（4-1）

?式中：X表示原數(shù)據(jù)；x表示數(shù)據(jù)平均數(shù)

N為數(shù)據(jù)總數(shù)目;（X—X]表示離差

2

(4-2)

方差的平方根為標(biāo)準(zhǔn)差:N

標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，即數(shù)據(jù)越參差不齊，分布范圍越廣；反之，那么說明

數(shù)據(jù)越集中整齊，分布范圍小。

二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

?（一）由未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1、經(jīng)由平均數(shù)來求（定義公式計(jì)算法）

例1：求6、5、7、4、6、8的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

?1、經(jīng)由平均數(shù)來求（定義公式計(jì)算法）

解：

6+5+7+4+6+8

X=-------------------=o

6

2222

中(6—6)+(5—6)+(7—6)+(4—6)+(6—6)=(8—6y

S'---------------------6---------------------

=1.67

S=，L67=1.29

2、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法

2

(4-3)

L(4—4》

上例1：

NX2=22636

2

22636

S?)=1.67

6

3、次數(shù)分布表計(jì)算法

2

EfXc(4—5)

TVN

2

工于X

S—￡)(4-6)

TVN

式中：Xc為組中值；f為各組次數(shù)

或者：

s—―一_一/黑)]?e(4-7)

s=3」

(4—8)

式中：

Y-AM

d;冬--------

AM為估計(jì)平均數(shù)

Xc為組中值f為各組次數(shù)

N=￡fI為組距

例2:

次數(shù)分制表求方差與標(biāo)準(zhǔn)差

分期區(qū)同1Xcfdfdfd1計(jì)算

f

96—97I26112721S1-3>x［嗎-<?)?J

93-94351575100100

90-91441664

?50.5944

37-1H9I&32472

|n

84—R522244$-7.113

81-821711717

78―7919000

75-76U-1-1414

72-7310-2-2040

69-707-3-2163

66—673-4一1248

63-641一-525

60—611-6-636

1

i=3sr-￡fd=￡ftP

10928-570

練習(xí)：48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

分?jǐn)?shù)計(jì)算

Xcfdfdfd2

95-6

90—5

857

80—7

75-7

70-8

65—3

60-2

55—0

50-2

45—1

分組次數(shù)d計(jì)算

x(-fdfd2

區(qū)間(f)

95-97642496

9()925315453oo/24J「2

n2r

877214285=[

8548(《J'S

SO827i77

75777000=150

728-1-88

70S=7l50=12.2

65673-2-612

60622-3-618

55570-400

50—522-5-1050

45471-6-636

?

1W加=24Z〃=300

Z/=48

=5

三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的用途及優(yōu)缺點(diǎn)

?優(yōu)點(diǎn)：1、反響靈敏2、受抽樣變動(dòng)影響較小，較穩(wěn)定3、適合于進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算

?缺點(diǎn)：不太易理解，容易受兩極端數(shù)值影響

?應(yīng)用：是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)

四、由各小組的方差求總方差

2

ST二

2222

(N:+N+…+NSn)+(N小+N2d2Nd

M+M+…+M(4—9)

式中：

2

s〃為各小組方差;M為各組次數(shù)

dn=Xr-Xn

XT為總平均數(shù);x〃為各小組的平均數(shù)

例3：某年級(jí)4個(gè)班，其某科成績?nèi)缦?

?一班：35人，平均成績80分，標(biāo)準(zhǔn)差8分；

?二班：40人，平均成績75分，標(biāo)準(zhǔn)差10分;

?三班：40人，平均成績78分，標(biāo)準(zhǔn)差9分：

?四班：37人,平均成績70分，標(biāo)準(zhǔn)差10分;

?求四個(gè)班的平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差

解：⑴平均成績

80x354-75x40H-78x404-70x37

35+40+40+37

11510

=75.72

152

⑵

dI=75.72-80=-4.28^^75.72-75=0.72

%=75.72-78=-2.28/=75m-70=5.72

?7779

^-=[(35xg-4-40xlQ-+40x9-+37xlQ-)4-

2)2o

[35x(-4.28)+40x0.72+4。、(-2?28)+37x5.721]

+(35+40+40+37)

15260.3968

=100.3973

152

總標(biāo)準(zhǔn)差:5=10.02

王、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用

?（-）差異系數(shù)

?也稱變異系數(shù)、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，用CV表示

CV=。X100%==X100%(4—10)

XX

式中：

bx或s為某樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

X為該樣本的算術(shù)平均數(shù)

百分制的考試成績標(biāo)準(zhǔn)差一般要求在5~35之間

CV的用途：

?1、當(dāng)兩種單位不同時(shí)；

?2、單位相同但平均數(shù)差異較大時(shí)

?（以上兩種情況只能用差異系數(shù)來比擬離散程度）

?CV的應(yīng)用條件：

?］、測量的數(shù)據(jù)要保證具有等距的尺度

?2、測量工具應(yīng)具備絕對(duì)零點(diǎn)

?3、CV不能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論，只能用于一般的相對(duì)差異量的描述

例4：某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為25公斤，體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7公斤，平均身高110厘米，標(biāo)準(zhǔn)差

為6.2厘米，間體重與身高的離散程度哪個(gè)大？

MlCV體！=3,X100%=14.8%

CYQ”；；；X100%?5.64%

超過比較上異系數(shù)可知，體質(zhì)的分做程度比身高的分散程度

大(11.8%>5.64%).

例5：通過同一個(gè)測驗(yàn)，一年級(jí)的學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.02分，五年級(jí)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)

為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.04分，問這兩個(gè)年級(jí)的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)中哪一個(gè)分散程度大？

Mlcv一年假>4^X100%-6.7%

GO

CVg0=6盤x100%=755%

KS>M4/9^WrlRKUK4

將i五年級(jí)的測驗(yàn)分散分股程度大.

（二）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（Z分?jǐn)?shù)）

?是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。

?標(biāo)準(zhǔn)分的概念：

?廣義：有固定的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的分?jǐn)?shù)，如高考的平均分為500,標(biāo)準(zhǔn)差為100

?狹義：平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的Z分?jǐn)?shù)

(4-11)

S

注意：z分?jǐn)?shù)表示其原分?jǐn)?shù)在以平均數(shù)為中心時(shí)的相對(duì)位置，不是表示--組數(shù)據(jù)的特征

例6：某班平均成績?yōu)?0分,標(biāo)掂差為3分，甲生得94.2分乙生得89.1分，求甲乙二學(xué)生的Z分?jǐn)?shù)各

是多少?

解：

94.2-90891-90

=1.47z=-...........=-0.3

Z甲3乙乙3

解釋：甲生的成績高于平均數(shù)L4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差,

乙生的成績低于平均數(shù)0.3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差

Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì):

?1、Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1

2、線性Z分?jǐn)?shù)不改變?cè)挤謹(jǐn)?shù)的分布形態(tài)，（單科）Z分?jǐn)?shù)保持原始分的大小順序不變。

?3、Z的范圍通常在-3與+3之間

?Z分?jǐn)?shù)的功用：

?1、比擬不同的觀察值在各自分?jǐn)?shù)分布中的相對(duì)位置

?2、對(duì)不同質(zhì)的觀察值求和

?3、任何其他標(biāo)準(zhǔn)分的轉(zhuǎn)換，都要先將原始分轉(zhuǎn)換為Z分?jǐn)?shù)

練習(xí)：

1、在一次算術(shù)測驗(yàn)中，

X尸60分,3尸7分，X甲「74分

Xz=25分，§2=3分，X甲「30分

在?次語文測驗(yàn)中.

問甲生在兩次測驗(yàn)中哪一次成績?cè)诎嘀械奈恢幂^高？

解：

74-6030-25

=

Z1=-=2Z2^—^1.7

答：兩次測驗(yàn)中甲生的算術(shù)能力成績?cè)诎嘀械奈恢幂^高。

2、高考甲、乙兩名考生的成績比擬:

Z分

科H

甲乙平均數(shù)甲乙

:ft?

Hl乂858970101.5001.900

數(shù)和706265S-L000-0.600

外語6S72]698「0.1230.375

收？,5S405000.500-1.67

理化7287758-0.3751.500

總計(jì)(3483502.5001.505

如果按總分錄取那么應(yīng)取乙生，假設(shè)按標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)錄取那么應(yīng)取甲生。因?yàn)楦骺瞥煽冸y易程度不同，不等

價(jià)，故用Z分?jǐn)?shù)合成更科學(xué)合理

2,由Z分?jǐn)?shù)到其他標(biāo)準(zhǔn)分的轉(zhuǎn)換

y=SvN+y

式中W是新口勺y分?jǐn)?shù)口勺干均分

S'yfi勺標(biāo)準(zhǔn)裝，7Sv可事先確定

例如：韋克斯勒智力量表：IQ=i5Z+100

高考標(biāo)準(zhǔn)分為：Y=100Z+500

高考標(biāo)準(zhǔn)分的平均分、標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)定：

?先確定高考標(biāo)準(zhǔn)分的最高分為900分，最低分為100,中間分?jǐn)?shù)500定為平均數(shù)，平均數(shù)與最高或最低

分相差400。由于高考人數(shù)眾多，Z可定為-4~+4。

?由SYZ=400可得SY=100

?所以，高考標(biāo)準(zhǔn)分的平均分是500,標(biāo)準(zhǔn)差是100,最高分900,最低分為100。

?根本公式：Y=l()()Z+500

?討論：高考標(biāo)準(zhǔn)分的看法

由于高考各科的標(biāo)準(zhǔn)差不一樣，高考標(biāo)準(zhǔn)分總分可能會(huì)改變?cè)挤挚偡值捻樞颍?/p>

在標(biāo)準(zhǔn)差小的科目上，原始分?jǐn)?shù)上下對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分總分影響很大；

高考標(biāo)準(zhǔn)分的局限：對(duì)于四平八穩(wěn)、均衡開展的學(xué)生有利，但可能埋沒了某方面的特長生；

一般來說，原始分處于中間分?jǐn)?shù)段的(平均分附近的分?jǐn)?shù))，標(biāo)準(zhǔn)分的增減量不大，而原始分為高、低

分的，標(biāo)準(zhǔn)分的增減量較大，這樣，難F估分；

標(biāo)準(zhǔn)分照顧到全面開展，忽略個(gè)體、特長牛.的開展

多科成績的標(biāo)準(zhǔn)分線性合成

?A、單科高考標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算

「、求出各科原始分的平均數(shù)X,X,j

、標(biāo)準(zhǔn)差Sj,由高考原始分,算出考生單

zXXj

科Z分?jǐn)?shù)sj

y..=100Z+50

lJIJ。

2、求考生單科標(biāo)準(zhǔn)分：

B、綜合分的計(jì)算

Z匕

J

Y=—（K是科目數(shù)）

1、求每個(gè)考生的單科標(biāo)準(zhǔn)分的平均分：'K

2、求Yi分?jǐn)?shù)的平均數(shù)Y,標(biāo)準(zhǔn)差Sy,然后，求每個(gè)考生的綜合Z分?jǐn)?shù)

Y-Y

Z=L-----

Sy

3、求綜合分M=100Z,+500

第二節(jié)其它差異量數(shù)

?一、全距［兩極差）:

R=xmaxXmm

?二、平均差:

yx-x

=------

N

第五章正態(tài)分布

一、正態(tài)分布的密度函數(shù)二、正態(tài)曲線表的編制與使用三、正態(tài)分布理論在測驗(yàn)上的

應(yīng)用

正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或常態(tài)分配，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，它是1733年由阿伯拉罕?德莫弗爾

發(fā)現(xiàn)的，其他幾位學(xué)者如拉普加斯?高斯對(duì)正態(tài)分布的研究也做了奉獻(xiàn)，故有時(shí)稱正態(tài)分布為高斯分布。

一、正態(tài)分布的密度函數(shù)

N(X—//)

e

Y=bE2b2

式中：Y為概率密度，即正態(tài)分布上的縱坐標(biāo)；

“是圓周率3.14159……；

e是自然對(duì)數(shù)之底2.71828……；

X為隨機(jī)變量，取值-8<x<8；

N為理論上的平均數(shù)，。為理論上的標(biāo)準(zhǔn)差

z=-X-—-

所有的正態(tài)分布都可通過b轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

根據(jù)Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

p=o,6=1

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布通常寫作N(0,I)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為：

1Z2z=X—N

2

y=/7r

72Y為概率密度：0

相應(yīng)于各Z值的Y值，可由正態(tài)分布表查得

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的特點(diǎn):

除*正Wdk蛾

?1、曲線在Z=0處為最高點(diǎn)，Y值最大，Y=0.3989

?2、曲線以Z=0為中心，雙側(cè)對(duì)稱，曲線下面積為1,對(duì)稱軸左右各為0.5

?3、曲線從最高點(diǎn)向左右緩慢下降，并無限伸延，但永不與基線相交，即Y值永不等于0

?4、曲線從最高點(diǎn)向左右伸延時(shí)，在正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，既向下又向內(nèi)彎：從