7．2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解四個基本事實(shí)、三個推論和等角定理，并能應(yīng)用它們解決問題．1．“四個”基本事實(shí)基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行Ｗ．2．“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且,只有一個公共點(diǎn),平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有,公共點(diǎn))),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有,公共點(diǎn)))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系項(xiàng)目圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l無數(shù)個5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)Ｗ．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).教材拓展關(guān)于唯一性的常用結(jié)論(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過點(diǎn)A的任意一條直線．(×)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．(×)(3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合．(×)(4)兩兩相交的三條直線共面．(×)2．（人教A版必修第二冊P147例1改編）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則直線AF與BE所成角的余弦值為(B)A．eq\f(\r(5),10) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),10) D．eq\f(2\r(5),5)解析：連接CA，CF，如圖所示．易得BE∥CF，所以直線AF與BE所成的角為∠CFA（或其補(bǔ)角）.不妨設(shè)AB＝2.在△CFA中，易得AF＝3，AC＝2eq\r(2)，CF＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠CFA＝eq\f(AF2＋CF2－AC2,2AF·CF)＝eq\f(\r(5),5)，即直線AF與BE所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選B.3．（人教A版必修第二冊P128T1改編）下列說法正確的是(B)A．四邊形一定是平面圖形B．不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個平面C．梯形不一定是平面圖形D．平面α和平面β一定有交線解析：四邊形不一定是平面圖形，也可能是空間四邊形，故A錯誤；不共線的三點(diǎn)確定一個平面，故B正確；梯形中，有一組對邊平行，可以確定一個平面，故梯形一定是平面圖形，故C錯誤；若平面α和平面β平行，則其沒有交線，故D錯誤．故選B.4．（人教A版必修第二冊P132T9改編）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則(D)A．B1D與A1E相交，且B1D＝A1EB．B1D與A1E相交，且B1D≠A1EC．B1D與A1E是異面直線，且B1D＝A1ED．B1D與A1E是異面直線，且B1D≠A1E解析：如圖所示，因?yàn)锳1E∩平面AA1B1B＝A1，B1D?平面AA1B1B，A1?B1D，所以B1D與A1E是異面直線，B1D＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)＋\f(1,4)AB2)，A1E＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋\f(1,4)AC2).因?yàn)锳A1＝BB1，AB≠AC，所以B1D≠A1E.故選D.考點(diǎn)1基本事實(shí)的應(yīng)用【例1】已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．【證明】(1)如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C，如圖所示，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．(3)因?yàn)镋F∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】如圖，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是梯形，BC∥AD，BE∥AF，且BC＝eq\f(1,2)AD，BE＝eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．證明：(1)因?yàn)镚，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，則GH∥AD，GH＝eq\f(1,2)AD，又因?yàn)锽C∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，則GH∥BC，GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)因?yàn)锽E∥FA，BE＝eq\f(1,2)FA，G為FA中點(diǎn)，則BE∥FG，BE＝FG，可知四邊形BEFG為平行四邊形，則EF∥BG，EF＝BG，由(1)知CH∥BG，CH＝BG，可得CH∥EF，CH＝EF，所以四邊形CEFH為平行四邊形，則CE∥FH，即CE∥FD，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．考點(diǎn)2空間位置關(guān)系的判斷【例2】（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則以下四個結(jié)論中，正確的有(BD)A．直線AM與CC1是相交直線B．直線BN與MB1是異面直線C．AM與BN平行D．直線A1M與BN共面【解析】M，C，C1三點(diǎn)在平面CDD1C1內(nèi)，點(diǎn)M不在直線CC1上，點(diǎn)A不在平面CDD1C1內(nèi)，A，M，C，C1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故A錯誤；B，N，B1三點(diǎn)在平面BCC1B1內(nèi)，B1不在直線BN上，點(diǎn)M不在平面BCC1B1內(nèi)，B，N，M，B1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確；如圖，取DD1的中點(diǎn)E，連接AE，EN，又N為C1C的中點(diǎn)，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，則AM與BN不平行，故C錯誤；連接MN，BA1，CD1，因?yàn)镸，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，所以MN∥D1C，由正方體的性質(zhì)可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，則有A1，B，M，N四點(diǎn)共面，所以直線A1M與BN共面，故D正確．故選BD.判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法一是構(gòu)造幾何體（如長方體、空間四邊形等）模型來判斷．二是排除法．特別地，對于異面直線的判定常用到結(jié)論：“經(jīng)過平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．”【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（多選）如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是(BD)A．MA∥BD B．MA與BD異面C．MA與BD相交 D．MA⊥BD解析：因?yàn)锽D?平面ABCD，MA∩平面ABCD＝A，A?BD，所以可知MA與BD異面，即A錯誤，B正確，C錯誤；如圖，連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，又因?yàn)镸C⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥MC，又因?yàn)镸C∩AC＝C，MC?平面AMC，AC?平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又因?yàn)镸A?平面AMC，所以MA⊥BD，即D正確．故選BD.考點(diǎn)3異面直線所成的角【例3】(1)（2024·陜西咸陽三模）如圖，已知各棱長都為1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，AB，AD兩兩的夾角均為eq\f(π,3)，則異面直線BA1與CB1所成的角為(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,12)【解析】如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1D，BD，因?yàn)锳1B1∥AB∥CD，A1B1＝AB＝CD，則四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以B1C∥A1D，所以∠BA1D是異面直線BA1與CB1所成的角或其補(bǔ)角，由AA1＝AB＝AD＝1，棱AA1，AB，AD兩兩的夾角均為eq\f(π,3)，得△ABD，△ABA1，△ADA1都是正三角形，即A1B＝BD＝A1D＝1，則∠BA1D＝eq\f(π,3)，所以異面直線BA1與CB1所成的角為eq\f(π,3).故選C.(2)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(6)，若A1C⊥BC1，則BC1＝(C)A．2eq\r(6) B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．3eq\r(6)【解析】如圖，分別取A1C1，CC1，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則EF∥A1C，F(xiàn)G∥BC1，因?yàn)锳1C⊥BC1，所以EF⊥FG，則∠EFG＝90°.由題意可知，EF＝eq\r(3)，設(shè)BC＝x，則FG＝eq\f(\r(x2＋6),2)，EG＝eq\f(\r(30),2)，由勾股定理可知，EF2＋FG2＝EG2，即3＋eq\f(x2＋6,4)＝eq\f(30,4)，解得x＝2eq\r(3)，所以BC1＝3eq\r(2).故選C.異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)（2024·河北保定二模）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(C)A．eq\f(7,17) B．eq\f(14,17)C．eq\f(16,17) D．eq\f(8,17)解析：連接BC1，A1C1，如圖所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，則四邊形ABC1D1為平行四邊形，則BC1∥AD1，則∠A1BC1就是異面直線A1B與AD1所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)AB＝1，則BC1＝A1B＝eq\r(17)，A1C1＝eq\r(2)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(BCeq\o\al(2,1)＋A1B2－A1Ceq\o\al(2,1),2BC1·A1B)＝eq\f(17＋17－2,2×17)＝eq\f(16,17).故選C.(2)如圖，已知圓柱O1O2的底面半徑和母線長均為1，B，A分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線O1B，O2A所成的角為eq\f(π,3)，則AB＝(D)A．1 B．eq\r(2)C．1或2 D．2或eq\r(2)解析：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥上底面于點(diǎn)D，則AD是母線，連接DB，O1D，∵O1O2⊥上底面，∴AD∥O1O2，AD＝O1O2，則四邊形ADO1O2是平行四邊形，O1D∥O2A，∴O2A與O1B所成的角就是∠DO1B或其補(bǔ)角．當(dāng)∠DO1B＝eq\f(π,3)時，△DO1B是等邊三角形，BD＝1，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(BD2＋AD2)＝eq\r(2)；當(dāng)∠DO1B＝eq\f(2π,3)時，在△DO1B中，BD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(BD2＋AD2)＝2.綜上，AB＝2或AB＝eq\r(2).故選D.課時作業(yè)461．（5分）下列說法正確的是(B)A．若空間兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線異面B．與兩條異面直線都相交的兩直線可能是異面直線，也可能是相交直線C．空間三點(diǎn)確定一個平面D．過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直解析：若空間兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，故A錯誤；與兩條異面直線都相交的兩直線若交于不同的四個點(diǎn)，則兩直線為異面直線，若交于三個點(diǎn)，則兩直線為相交直線，故B正確；由平面的基本性質(zhì)可知，空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面，故C錯誤；在空間中，過直線外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故D錯誤．故選B.2．（5分）在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若EF與HG相交于一點(diǎn)M，則M(A)A.一定在直線AC上B．一定在直線BD上C．可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：由于ABCD是空間四邊形，故AB，BC確定平面ABC，CD，DA確定平面ACD.∵E∈AB，F(xiàn)∈BC，G∈CD，H∈DA，∴EF?平面ABC，GH?平面ACD，∵EF∩GH＝M，∴M∈平面ABC，M∈平面ACD，∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC.故選A.3．（5分）若直線l不平行于平面β，且直線l?β，則下列說法正確的是(C)A．β內(nèi)存在與l平行的直線B．β內(nèi)所有直線都與l異面C．l與β有交點(diǎn)D．β內(nèi)所有直線都與l相交解析：由直線l不平行于平面β，且直線l?β，得直線l與平面β相交，則l與β有交點(diǎn)，C正確；平面β內(nèi)不存在直線與l平行，否則l∥β，與已知矛盾，因此β內(nèi)所有直線都與l異面或相交，A，B，D錯誤．故選C.4．（5分）（2024·山東日照一模）已知l，m是兩條不同的直線，α為平面，m?α，下列說法中正確的是(B)A．若l與α不平行，則l與m一定是異面直線B．若l∥α，則l與m可能垂直C．若l∩α＝A，且A?m，則l與m可能平行D．若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m一定不垂直解析：若l與α不平行，則l與α的位置關(guān)系為相交或直線在平面內(nèi)，又m?α，則l與m的位置關(guān)系為平行、相交或異面，故A錯誤；若l∥α，則l與m可能垂直，如圖所示，l∥l′，l′?α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正確；若l∩α＝A，且A?m，m?α，則l與m異面，故C錯誤；若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取α為平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合題意，但l⊥m，故D錯誤．故選B.5．（5分）（2024·陜西西安模擬）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，且BE⊥PC，則異面直線BE與AC所成角的余弦值為(D)A．eq\f(\r(2),6) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(6),6)解析：如圖，連接BD交AC于O，取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，PO，則EF∥AC，所以∠BEF為所求角或其補(bǔ)角，在△PBC中，E為PC的中點(diǎn)，且BE⊥PC，所以PB＝BC，所以正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等．設(shè)四棱錐P-ABCD的棱長均為2，在△BEF中，EF＝eq\r(2)，BE＝BF＝eq\r(3)，所以cos∠BEF＝eq\f(BE2＋EF2－BF2,2BE·EF)＝eq\f(2＋3－3,2\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),6).故選D.6．（5分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，則與直線A1D1，EF，DC都相交的直線(D)A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有且僅有三條D．有無數(shù)條解析：如圖，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與點(diǎn)M確定一個平面，這個平面與DC有且僅有1個交點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與DC有不同的交點(diǎn)E，而直線ME與這3條異面直線都有交點(diǎn)，故在空間中與三條直線A1D1，EF，DC都相交的直線有無數(shù)條．故選D.7．（6分）（多選）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(BCD)A．B，B1，O，M四點(diǎn)共面B．A，M，O，A1四點(diǎn)共面C．A，O，C，M四點(diǎn)共面D．A，M，O三點(diǎn)共線解析：如圖，連接AO，A1C1，AC，在矩形A1B1C1D1中，由O為對角線B1D1的中點(diǎn)，知A1C1∩B1D1＝O，則平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，由M∈平面AB1D1，M∈A1C，A1C?平面ACC1A1，則M∈AO.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1?平面ABB1A1，由AO∩平面ABB1A1＝A，所以BB1與MO異面，故A錯誤；由A可知M∈AO，故A，M，O，A1四點(diǎn)共面，A，O，C，M四點(diǎn)共面，A，M，O三點(diǎn)共線，故B，C，D正確．故選BCD.8．（6分）（多選）在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(BD)解析：對于A，如圖，連接GM，∵G，M為所在棱的中點(diǎn)，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直線GH，MN共面，故A錯誤；對于B，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，故直線GH，MN是異面直線，故B正確；對于C，如圖，連接GM，∵G，M為所在棱的中點(diǎn)，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直線GH，MN共面，故C錯誤；對于D，G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，故直線GH，MN是異面直線，故D正確．故選BD.9．（5分）已知異面直線l1，l2所成角的大小為45°，直線OA∥l1且OB∥l2，則∠AOB＝45°或135°．解析：由題意知OA∥l1，OB∥l2，且異面直線l1，l2所成角為45°，則∠AOB為異面直線l1，l2所成的角或其補(bǔ)角，所以∠AOB＝45°或135°.10．（5分）在四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的余弦值為eq\f(\r(10),10)，則四面體的體積為eq\f(8,3)．解析：取CD的中點(diǎn)F，連接BF，EF，如圖，因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，則EF∥AD，于是∠BEF是異面直線AD與BE所成的角或其補(bǔ)角，令BD＝a，而AB，BC，BD兩兩互相垂直，則BF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4)，EF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4)，在等腰△BEF中，BE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，cos∠BEF＝eq\f(\f(1,2)BE,EF)＝eq\f(\r(2),\r(a2＋4))＝eq\f(\r(10),10)，解得a＝4，所以四面體的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BC×BD×BA＝eq\f(1,6)×2×4×2＝eq\f(8,3).11．（16分）如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3).求證：(1)四邊形EFGH為梯形；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．證明：(1)如圖，連接EF，HG，因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，所以HG∥AC，且HG＝eq\f(1,2)AC，又因?yàn)閑q\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，所以EF∥AC，且EF＝eq\f(3,4)AC，所以HG∥EF，且HG≠EF，故四邊形EFGH為梯形．(2)由(1)知四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，所以EH，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．設(shè)交點(diǎn)為P，如圖，因?yàn)镋H?平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故點(diǎn)P是直線EH，BD，F(xiàn)G的公共點(diǎn)，即直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．12．（17分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面；(2)求異面直線D1E與BC所成角的余弦值．解：(1)證明：如圖，連接EF，CD1，A1B.在△A1AB中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，AB的中點(diǎn)，則EF∥A1B，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，AD∥BC，∴A1D1∥BC，且A1D1＝AD＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C，則EF∥D1C，故E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面．(2)由(1)知，A1D1∥BC，則∠ED1A1即為異面直線D1E與BC所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長為2，在Rt△A1ED1中，A1E＝eq\f(1,2)A1A＝1，A1D1＝2，則D1E＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴cos∠ED1A1＝eq\f(A1D1,D1E)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).故異面直線D1E與BC所成角的余弦值為eq\f(2\r(5),5).13．（5分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，異面直線AB1與A1C1所成的角的余弦值為eq\f(\r(2),4)，則該三棱柱的高為(C)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，連接B1C，如圖，△ABC是等邊三角形，且邊長為2，設(shè)三棱柱的高為h，在Rt△ABB1與Rt△CBB1中，AB1＝eq\r(4＋h2)＝CB1，即△B1AC是等腰三角形，底邊AC＝2，因?yàn)锳1C1∥AC，所以∠B1AC是異面直線AB1與A1C1所成的角，cos∠B1AC＝eq\f(\r(2),4)，而cos∠B1AC＝eq\f(\f(1,2)AC,AB1)＝eq\f(1,\r(4＋h2))，即eq\f(1,