高數(shù)期末考試題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x1)}\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)2.已知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinkx}{2x}=2\)，則\(k\)的值為（）A.1B.2C.3D.43.函數(shù)\(y=x^33x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)4.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x\lnx\)，則\(\intxf'(x)dx=\)（）A.\(x^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\lnx)+C\)B.\(x^2(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\lnx)+C\)C.\(x\lnx+x+C\)D.\(x\lnxx+C\)5.微分方程\(y''4y'+4y=0\)的通解是（）A.\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)B.\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)C.\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)D.\(y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}\)二、填空題（每題3分，共15分）1.設(shè)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\e^x,&x\geq0\end{cases}\)，則\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\)______。2.曲線\(y=x^33x^2+1\)在點\((1,-1)\)處的切線方程為______。3.已知\(\intf(x)dx=x^2e^x+C\)，則\(f(x)=\)______。4.定積分\(\int_{0}^{1}(2x+e^x)dx=\)______。5.設(shè)\(z=x^2y+\cos(xy)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)______。三、計算題（每題8分，共40分）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}\)。2.設(shè)\(y=\ln(1+x^2)\)，求\(y'\)。3.計算不定積分\(\intx\cosxdx\)。4.計算定積分\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx\)。5.求微分方程\(y'+2y=e^{-x}\)的通解。四、解答題（每題10分，共20分）1.求函數(shù)\(f(x)=x^33x^29x+5\)的極值。2.求由曲線\(y=x^2\)與\(y=2x^2\)所圍成的平面圖形的面積。五、證明題（10分）證明：當\(x\gt0\)時，\(x\gt\ln(1+x)\)。答案一、選擇題1.C。要使函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x1)}\)有意義，則\(\begin{cases}x1\gt0\\\ln(x1)\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x\gt1\\x1\neq1\end{cases}\)，解得\(x\gt1\)且\(x\neq2\)，所以定義域為\((1,2)\cup(2,+\infty)\)。2.D。根據(jù)等價無窮小\(\sinkx\simkx(x\to0)\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinkx}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{kx}{2x}=\frac{k}{2}=2\)，解得\(k=4\)。3.B。對\(y=x^33x\)求導(dǎo)得\(y'=3x^23\)，令\(y'\lt0\)，即\(3x^23\lt0\)，\(x^21\lt0\)，\((x+1)(x1)\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt1\)，所以單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)。4.C。因為\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x\lnx\)，所以\(f(x)=(x\lnx)'=\lnx+1\)。由分部積分法\(\intxf'(x)dx=xf(x)-\intf(x)dx=x(\lnx+1)-x\lnx+C=x\lnx+xx\lnx+C=x+C\)。5.B。特征方程為\(r^24r+4=0\)，即\((r2)^2=0\)，特征根\(r_1=r_2=2\)，所以通解為\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)。二、填空題1.1。\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x+1)=0+1=1\)。2.\(y=-3x+2\)。對\(y=x^33x^2+1\)求導(dǎo)得\(y'=3x^26x\)，\(y'\vert_{x=1}=3\times1^26\times1=-3\)，切線方程為\(y(-1)=-3(x1)\)，即\(y=-3x+2\)。3.\(2xe^x+x^2e^x\)。根據(jù)求導(dǎo)與積分的互逆關(guān)系，\(f(x)=(x^2e^x+C)'=2xe^x+x^2e^x\)。4.\(e\)。\(\int_{0}^{1}(2x+e^x)dx=(x^2+e^x)\vert_{0}^{1}=(1^2+e^1)-(0^2+e^0)=e\)。5.\(2xyy\sin(xy)\)。對\(z=x^2y+\cos(xy)\)關(guān)于\(x\)求偏導(dǎo)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xyy\sin(xy)\)。三、計算題1.解：分子有理化，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}\)根據(jù)平方差公式\((ab)(a+b)=a^2b^2\)，則上式\(=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}\)。2.解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。先對\(y\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)，\(y'_u=\frac{1}{u}\)，再對\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)，\(u'_x=2x\)。所以\(y'=y'_u\cdotu'_x=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。3.解：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。根據(jù)\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx\)。而\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，所以\(\intx\cosxdx=x\sinx+\cosx+C\)。4.解：根據(jù)\(\sin^2x=\frac{1\cos2x}{2}\)，則\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1\cos2x}{2}dx\)。展開得\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)\vert_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)。計算\(\frac{1}{2}[(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin\pi)-(0-\frac{1}{2}\sin0)]=\frac{\pi}{4}\)。5.解：這是一階線性非齊次微分方程，其通解公式為\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)，其中\(zhòng)(P(x)=2\)，\(Q(x)=e^{-x}\)。先計算\(e^{-\intP(x)dx}=e^{-\int2dx}=e^{-2x}\)，\(e^{\intP(x)dx}=e^{\int2dx}=e^{2x}\)。則\(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx=\inte^{-x}\cdote^{2x}dx=\inte^{x}dx=e^{x}\)。所以通解\(y=e^{-2x}(e^{x}+C)=e^{-x}+Ce^{-2x}\)。四、解答題1.解：函數(shù)\(f(x)=x^33x^29x+5\)的定義域為\(R\)。求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x+1)(x3)\)。令\(f'(x)=0\)，即\(3(x+1)(x3)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)。當\(x\lt-1\)時，\(f'(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當\(-1\ltx\lt3\)時，\(f'(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當\(x\gt3\)時，\(f'(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(f(x)\)在\(x=-1\)處取得極大值，\(f(-1)=(-1)^33\times(-1)^29\times(-1)+5=-13+9+5=10\)；在\(x=3\)處取得極小值，\(f(3)=3^33\times3^29\times3+5=272727+5=-22\)。2.解：先求兩曲線的交點，聯(lián)立\(\begin{cases}y=x^2\\y=2x^2\end{cases}\)，則\(x^2=2x^2\)，\(2x^2=2\)，\(x^2=1\)，解得\(x=\pm1\)。兩曲線所圍成的平面圖形的面積\(S=\int_{-1}^{1}[(2x^2)-x^2]dx=\int_{-1}^{1}(22x^2)dx\)。因為被積函數(shù)\(22x^2\)是偶函數(shù)，所以\(S=2\int_{0}^{1}(22x^2)dx=2(2x-\frac{2}{3}x^3)\vert_{0}^{1}\)。計算\(2[(2\times1-\frac{2}{3}\times1^3)-(2\times0-\frac{2}{3}\times0^3)]=\frac{8}{3}\)。五、證明題證明：設(shè)\(f(x)=x-\ln(1+x)\)，\(x\gt0\)。對\(f