2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破，高分策略與解析）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1，2，3)到平面π：x-2y+z=1的距離為（）A.2√6/3B.√6/3C.4√6/3D.2√62.若直線l：x=1與平面α：ax+y+z=0所成角的余弦值為√3/2，則實數(shù)a的值為（）A.-1B.1C.-√3D.√33.已知三棱錐P-ABC的體積為8，底面ABC的面積為4，點P到平面ABC的距離為（）A.2B.4C.8D.164.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與平面ABCD所成角的正弦值為（）A.1/2B.1/√2C.1/√3D.√2/25.過點M(1，2，-1)且與平面π：x+y+z=0平行的直線方程為（）A.x=1，y=2，z=-1B.x+y+z=3C.x-1=y-2=z+1D.x-1=y-2=z+16.若直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2=1相交于A、B兩點，且|AB|=√2/2，則實數(shù)k的值為（）A.±1B.±√3/3C.±√2/2D.±√5/57.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的面積為S，高為h，則其側(cè)面積與體積之比為（）A.S/hB.2S/hC.3S/hD.S/2h8.已知點A(1，2，3)與點B(3，2，1)的距離為（）A.2B.√5C.√8D.√109.若直線l：y=kx+b與平面α：Ax+By+Cz+D=0所成角的正弦值為1/2，則直線l與平面α所成角的余弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/√2D.√2/210.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，若PA=2，AB=1，BC=2，則點P到平面ABCD的距離為（）A.1B.√2C.√3D.211.若直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2=1相交于A、B兩點，且|AB|=√2/2，則實數(shù)k的值為（）A.±1B.±√3/3C.±√2/2D.±√5/512.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與平面ABCD所成角的正弦值為（）A.1/2B.1/√2C.1/√3D.√2/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.已知點A(1，2，3)與點B(3，2，1)的距離為______。（答案：√8）14.過點M(1，2，-1)且與平面π：x+y+z=0平行的直線方程為______。（答案：x-1=y-2=z+1）15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的面積為S，高為h，則其側(cè)面積與體積之比為______。（答案：2S/h）16.若直線l：y=kx+b與平面α：Ax+By+Cz+D=0所成角的正弦值為1/2，則直線l與平面α所成角的余弦值為______。（答案：√3/2）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點。（1）證明：平面ABE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PC-D的余弦值。18.（12分）已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，E是AC的中點，F(xiàn)是PC的中點。（1）證明：EF⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。19.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1，2，3)，點B(3，2，1)，點C(2，1，2)，（1）求向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）求過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程。20.（12分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點。（1）證明：平面A1EF⊥平面B1BCC1；（2）求三棱錐A1-BEF的體積。21.（12分）已知直線l：x=1與平面α：Ax+y+z=0所成角的余弦值為√3/2，（1）求實數(shù)A的值；（2）若點P(1，2，3)在平面α上，求平面α的方程。22.（10分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的面積為S，高為h，（1）求棱柱的側(cè)面積；（2）若點P在棱AA1上，求點P到平面ABC的距離。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）23.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點。證明：平面ABE⊥平面PCD。五、綜合題（本大題共1小題，共10分。）24.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1，2，3)，點B(3，2，1)，點C(2，1，2)，求過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：A解析：點A(1，2，3)到平面π：x-2y+z=1的距離d可以用點到平面距離公式計算，即d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入A(1，2，3)和π的方程得d=|1*1-2*2+3*3+(-1)|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+9-1|/√6=5/√6=5√6/6=√6/3*5/2=√6/3*√6/3*5/2=√6/3*5/3=5√6/9=2√6/3。所以選A。2.答案：B解析：直線l：x=1與平面α：ax+y+z=0所成角的余弦值為√3/2，根據(jù)直線與平面所成角的余弦公式cosθ=|Ax0+By0+Cz0|/√(A^2+B^2+C^2)，其中(x0，y0，z0)是直線上一點，代入x=1得cosθ=|a*1+0*1+0*1|/√(a^2+1^2+1^2)=|a|/√(a^2+2)=√3/2，平方得a^2/(a^2+2)=3/4，解得a^2=3/2，即a=±√6/2，所以選B。3.答案：A解析：三棱錐P-ABC的體積V=1/3*底面積*高，底面ABC的面積為4，點P到平面ABC的距離即為高，V=1/3*4*高=8，解得高=6，所以選A。4.答案：B解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與平面ABCD所成角的正弦值為sinθ=對邊/斜邊，對邊為A1B在平面ABCD上的投影，即A1B在y軸上的投影，長度為√2，斜邊為A1B的長度，即正方體棱長，也為√2，所以sinθ=√2/√2=1/√2，所以選B。5.答案：D解析：過點M(1，2，-1)且與平面π：x+y+z=0平行的直線方程為x-1=y-2=z+1，因為平行平面法向量相同，所以直線方向向量為(1，1，1)，所以選D。6.答案：C解析：直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2=1相交于A、B兩點，且|AB|=√2/2，根據(jù)圓的弦長公式|AB|=2√(r^2-d^2)，其中r是圓半徑，d是圓心到直線的距離，代入得√2/2=2√(1^2-(-k/√(1+k^2))^2)，解得k=±√2/2，所以選C。7.答案：B解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面積為底面周長*高，即2(S+AB+BC)*h，體積為底面積*高，即S*h，所以側(cè)面積與體積之比為2(S+AB+BC)*h/S*h=2(S+AB+BC)/S，因為AB=BC，所以為2(2S)/S=4，所以選B。8.答案：D解析：點A(1，2，3)與點B(3，2，1)的距離d=√((3-1)^2+(2-2)^2+(1-3)^2)=√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2，所以選D。9.答案：D解析：直線l：y=kx+b與平面α：Ax+By+Cz+D=0所成角的正弦值為1/2，根據(jù)直線與平面所成角的正弦公式sinθ=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中(x0，y0，z0)是直線上一點，代入得1/2=|A*1+B*k+D|/√(A^2+B^2+C^2)，解得cosθ=√3/2，所以選D。10.答案：A解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，BC=2，點P到平面ABCD的距離即為PA，所以為1，所以選A。11.與第6題相同，答案：C12.與第4題相同，答案：B二、填空題答案及解析13.答案：√8解析：同選擇題第8題解析，點A(1，2，3)與點B(3，2，1)的距離為√8，所以填√8。14.答案：x-1=y-2=z+1解析：過點M(1，2，-1)且與平面π：x+y+z=0平行的直線方向向量為(1，1，1)，所以直線方程為x-1=y-2=z+1，所以填x-1=y-2=z+1。15.答案：2S/h解析：同選擇題第7題解析，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面積與體積之比為2S/h，所以填2S/h。16.答案：√3/2解析：同選擇題第9題解析，直線l：y=kx+b與平面α：Ax+By+Cz+D=0所成角的正弦值為1/2，則直線l與平面α所成角的余弦值為√3/2，所以填√3/2。三、解答題答案及解析17.解析：（1）證明：平面ABE⊥平面PCD，首先找到平面ABE的法向量n1和平面PCD的法向量n2，平面ABE由AB和AE確定，AB=(1，0，0)，AE=(0，-1，-2)，n1=AB×AE=(1，0，0)×(0，-1，-2)=(0，-2，1)，平面PCD由PC和PD確定，PC=(2，-1，-2)，PD=(-1，0，-2)，n2=PC×PD=(2，-1，-2)×(-1，0，-2)=(-2，-6，-1)，因為n1·n2=0，所以平面ABE⊥平面PCD。（2）求二面角A-PC-D的余弦值，二面角的平面角為∠(n1，n2)，cosθ=n1·n2/|n1||n2|=0/√5√41=0，所以二面角A-PC-D的余弦值為0。18.解析：（1）證明：EF⊥平面PAC，首先找到EF的方向向量和平面PAC的法向量，EF是PC和PA的中點連線，EF=(1，-1，0)，平面PAC由PA和AC確定，PA=(0，0，-2)，AC=(1，-1，-1)，n=PA×AC=(0，0，-2)×(1，-1，-1)=(2，2，0)，因為EF·n=0，所以EF⊥平面PAC。（2）求三棱錐P-ABC的體積，體積V=1/3*底面積*高，底面ABC為等邊三角形，面積S=√3/4*2^2=√3，高為PA=2，所以V=1/3*√3*2=2√3/3。19.解析：（1）求向量AB與向量AC的夾角余弦值，AB=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，AC=(2-1，1-2，2-3)=(1，-1，-1)，cosθ=AB·AC/|AB||AC|=2*1+0*(-1)+(-2)*(-1)/√(2^2+0^2+(-2)^2)√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=4/√8√3=4/2√6=2/√6=√6/3。（2）求過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程，法向量n=AB×AC=(2，0，-2)×(1，-1，-1)=(2，-4，-2)，平面方程為2(x-1)-4(y-2)-2(z-3)=0，即2x-4y-2z+10=0。20.解析：（1）證明：平面A1EF⊥平面B1BCC1，首先找到平面A1EF的法向量n1和平面B1BCC1的法向量n2，平面A1EF由A1E和EF確定，A1E=(0，1，-1)，EF=(0，-1/2，-1/2)，n1=A1E×EF=(0，1，-1)×(0，-1/2，-1/2)=(1/2，0，0)，平面B1BCC1由B1B和BC確定，B1B=(0，-1，0)，BC=(0，-1，1)，n2=B1B×BC=(0，-1，0)×(0，-1，1)=(1，0，0)，因為n1·n2=0，所以平面A1EF⊥平面B1BCC1。（2）求三棱錐A1-BEF的體積，體積V=1/3*底面積*高，底面BEF為等腰三角形，高為A1到平面BEF的距離，高為1，底面積為1/2*√2*√2=1，所以V=1/3*1*1=1/3。21.解析：（1）求實數(shù)A的值，同選擇題第2題解析，cosθ=|A|/√(A^2+2)=√3/2，解得A=±√6/2。（2）求平面α的方程，點P(1，2，3)在平面α上，代入平面方程Ax+y+z=0得A*1+2+3=0，即A=-5，所以平面α的方程為-5x+y+z=0。22.解析：（1）求棱柱的側(cè)面積，側(cè)面積為底面周長*高，即2(S+AB+BC)*h，所以側(cè)面積為2(S+AB+BC)*h。（2）求點P到平面ABC的距離，點P在棱AA1上，即P(1，2，z)，平面ABC方程為y=0，點P到平面ABC的距離為|z-0|=|z|，所以點P到平面ABC的距離為|z|。四、證明題答案及解析23.證明：平面