一、選擇題(每題3分，共30分)1.用三根木棒首尾相接圍成△ABC，其中AC＝6cm，BC＝9cm，則AB的長可能是()A．2cm B．3cm C．14cm D．15cm2．如圖，一個(gè)三角形被墨跡污染了一部分，亮亮根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快畫出了一個(gè)與原來完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是()A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS(第2題)(第3題)3．如圖，在△ABC中，O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD∥AB交BC于點(diǎn)D，OE∥AC交BC于點(diǎn)E.若BC＝10cm，則△ODE的周長為()A．10cm B．8cm C．12cm D．20cm4．[2025寧波期末]下列命題的逆命題是假命題的是()A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．三條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．同角的余角相等5．過直線l外一點(diǎn)P作直線l的垂線PQ，下列尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是()A．B．C．D．6．如圖，分別以直角三角形的三邊為一邊向外作等邊三角形，它們的面積從小到大依次記為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是()A．S1＋S2>S3B．S1＋S2<S3C．S1＋S2＝S3D．S12＋S22>S32(第6題)(第7題)7．如圖，長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則△ABE的面積為()A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm28．[2025杭州期末]如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，已知S1＋S2＝9，且AC＋BC＝10，則AB的長為()A．6 B．7 C．8 D.eq\r(62)(第8題)(第9題)9．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，D為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是點(diǎn)D關(guān)于AB，AC的對稱點(diǎn)，則PQ的最小值是()A．2 B．4 C.eq\r(6) D.eq\r(8)10．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝AB.下列說法中正確的是()A．若AC＝2AB，則∠C＝30°B．若3AC＝4AB，則7BD＝18CDC．若∠B＝2∠C，則AC＝2ABD．若∠B＝2∠C，則S△ABD＝2S△ACD二、填空題(每題4分，共24分)11．在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，則CD＝________．12．如圖，在△ABC的邊AB上取點(diǎn)D，以D為圓心，DA長為半徑畫圓弧，交AC于點(diǎn)E；以E為圓心，ED長為半徑畫圓弧，交AB于點(diǎn)F.若∠CEF＝∠BFE，則∠A＝________°.(第12題)(第13題)(第14題)13．[2025溫州期末]如圖，在等腰三角形ABC中，AD是底邊BC上的高線，CE⊥AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F.若∠BAC＝45°，AF＝6，則BD的長為________．14．如圖，G是△ABC的重心，若S△ABC＝30，則圖中陰影部分的面積是________．15．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，長方形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延長CP交AD于點(diǎn)E，則AE等于________．16.已知∠BAD＝105°，AC在∠BAD內(nèi)，連結(jié)BC，其中△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是等腰三角形，則△ACD的面積是________．三、解答題(共66分)17．(6分)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求完成下列問題(僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡)：(1)在AB上找一點(diǎn)D，使CD⊥AB；(2)在AC上找一點(diǎn)E，使BE平分∠ABC.18．(6分)如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E.(1)求證：∠EBD＝∠EDB；(2)當(dāng)AB＝AC時(shí)，請判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．19．(6分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE＝AF，CE＝CF.(1)求證：CB＝CD；(2)若AE＝CE＝5，AB＝AD＝8，求線段EF的長．20．(8分)某實(shí)踐探究小組在放風(fēng)箏時(shí)想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：測量示意圖測量數(shù)據(jù)①測得水平距離BC的長為15m②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線AB的長為17m③小明牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.7m通過分析，該小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)根據(jù)勘測的全部數(shù)據(jù)可以計(jì)算出風(fēng)箏離地面的垂直高度AD.請完成以下任務(wù)．(1)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15m，AB＝17m，求線段AD的長．(2)如果小明想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12m，BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？21．(8分)[2025杭州月考]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE，BD＝BC＝BE.(1)若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度數(shù)；(2)設(shè)∠ACD＝α，∠ABE＝β，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．(10分)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°.D為BC邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，DE⊥DF.(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)求EF的最小值．23．(10分)在如圖①所示的“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連結(jié)BD，CE，則△ABD≌△ACE.(1)請證明圖①的結(jié)論成立；(2)如圖②，△ABC和△ADE是等邊三角形，連結(jié)BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖③，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．24．(12分)[2025衢州月考]如圖①，在等腰三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，延長BC至點(diǎn)E，使AD＝DE，連結(jié)AE.(1)求證：△ADE是等腰直角三角形；(2)如圖②，過點(diǎn)B作AC的垂線交AE于點(diǎn)P，試判斷△ABP的形狀，并說明理由；(3)如圖③，在(2)的條件下，AD＝4，連結(jié)CP，若△CPE是直角三角形，求CE的長．

答案一、1.C2.B3.A4.D5.C6.C7.A8.C9.C10.B二、11.512.3613.314.1015.eq\f(4,3)16.eq\r(2)或1或2三、17.【解】(1)如圖，點(diǎn)D即為所求．(2)如圖，點(diǎn)E即為所求．18．(1)【證明】因?yàn)锽D是△ABC的角平分線，所以∠CBD＝∠EBD.因?yàn)镈E∥BC，所以∠CBD＝∠EDB.所以∠EBD＝∠EDB.(2)【解】CD＝ED，理由如下：因?yàn)锳B＝AC，所以∠C＝∠ABC.因?yàn)镈E∥BC，所以∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC.所以∠ADE＝∠AED.所以AD＝AE.所以CD＝BE.由(1)得∠EBD＝∠EDB，所以BE＝DE.所以CD＝ED.19．(1)【證明】如圖，連結(jié)AC.在△AEC與△AFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AC，,CE＝CF，,AE＝AF，))所以△AEC≌△AFC(SSS)．所以∠CAE＝∠CAF.又因?yàn)椤螧＝∠D＝90°，所以CB＝CD.(2)【解】如圖，過F作FG⊥AB，垂足為G.因?yàn)锳E＝CE＝5，AB＝8，所以EB＝3，AF＝5，∠ACE＝∠CAE.由勾股定理得BC＝4.由(1)知△AEC≌△AFC，所以∠ECA＝∠FCA.所以∠FCA＝∠CAE.所以AE∥CF.所以FG＝BC＝4.所以AG＝3，所以EG＝2.在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF＝eq\r(20).20．【解】(1)由題易知CD＝1.7m.因?yàn)樵凇鰽BC中，∠ACB＝90°，BC＝15m，AB＝17m，所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(172－152)＝8(m)．所以AD＝AC＋CD＝8＋1.7＝9.7(m)．(2)因?yàn)轱L(fēng)箏沿DA方向再上升12m后，AC＝8＋12＝20(m)，所以此時(shí)風(fēng)箏線的長為eq\r(202＋152)＝25(m).25－17＝8(m)．答：他應(yīng)該再放出8m線．21．【解】(1)因?yàn)椤螦＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，所以∠ABC＝80°.在△BDC中，BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD＝eq\f(180°－80°,2)＝50°.所以∠ACD＝∠BDC－∠A＝20°.(2)2α＝β.理由：設(shè)∠BCD＝x，則∠BDC＝x，所以∠DBC＝180°－2x.因?yàn)锽E＝BC，所以∠BEC＝∠BCE＝α＋x.所以∠EBC＝180°－2(α＋x)．所以∠DBC－∠EBC＝180°－2x－[180°－2(α＋x)]＝2α.又因?yàn)椤螪BC－∠EBC＝∠ABE＝β，所以2α＝β.22．(1)【證明】如圖，連結(jié)AD.因?yàn)锳B＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝45°.因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝45°＝∠B.所以AD＝BD＝eq\f(1,2)BC，∠ADB＝90°.因?yàn)镈E⊥DF，所以∠EDF＝90°.所以∠ADF＝90°－∠ADE＝∠BDE.在△ADF和△BDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAF＝∠B，,AD＝BD，,∠ADF＝∠BDE，))所以△ADF≌△BDE(ASA)．所以DF＝DE.所以△DEF是等腰三角形．(2)【解】因?yàn)锳B＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝eq\r(8).所以AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×eq\r(8)＝eq\f(\r(8),2).如圖，取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，DG.因?yàn)椤螮AF＝∠EDF＝90°，所以AG＝DG＝eq\f(1,2)EF，所以EF＝2AG＝AG＋DG.又因?yàn)锳G＋DG≥AD，所以EF≥eq\f(\r(8),2)，所以EF的最小值為eq\f(\r(8),2).23．(1)【證明】因?yàn)椤螧AC＝∠DAE，所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))所以△ABD≌△ACE(SAS)．(2)【解】易知△ABD≌△ACE.所以∠ADB＝∠AEC.在等邊三角形ADE中，∠DAE＝60°.記AD與CE的交點(diǎn)為G.因?yàn)椤螦GE＝∠DGO，所以∠DOE＝∠DAE＝60°.所以∠BOC＝∠DOE＝60°.(3)【解】如圖，延長DC至點(diǎn)P，使DP＝DB.因?yàn)椤螧DC＝60°，所以△BDP是等邊三角形．所以BD＝BP，∠DBP＝60°.因?yàn)椤螦BC＝60°＝∠DBP，所以∠ABD＝∠CBP.因?yàn)锳B＝CB，所以△ABD≌△CBP(SAS)．所以∠BCP＝∠A.又因?yàn)椤螧CD＋∠BCP＝180°，所以∠A＋∠BCD＝180°.24．(1)【證明】因?yàn)锳B＝AC，AD是BC邊上的中線，所以AD⊥BC.所以∠ADC＝90°.又因?yàn)锳D＝DE，所以△ADE是等腰直角三角形．(2)【解】△ABP是等腰三角形．理由如下：因?yàn)椤螦DC＝90°，所以∠CAD＋∠DCA＝90°.因?yàn)锽P⊥AC，所以易得∠PBE＋∠DCA＝90°.所以∠CAD＝∠PBE.因?yàn)锳B＝AC，AD是BC邊上的中線，所以∠BAD＝∠CAD.所以∠BAD＝∠PBE.因?yàn)椤鰽DE是等腰直角三角形，所以∠DAE＝∠E.所以∠BAD＋∠DAE＝∠PBE＋∠E，即∠BAP＝∠BPA.所以BA＝BP.所以△ABP是等腰三角形．(3)【解】分以下兩種情況：①如圖①，若∠PCE＝90°.在△ABD和△BPC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDA＝∠BCP＝90°，,∠BAD＝∠PBC，,AB＝BP，))所以△ABD≌△BPC(AAS)(證△ACD≌△BPC亦可)．