汕頭市2024～2025學(xué)年度普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算：（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】.故選：D.2.已知，，與的夾角為60°，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由.故選：C3.學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)是參加100m跑的同學(xué)，是參加200m跑的同學(xué)，是參加400m跑的同學(xué)，學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽，則下列集合的運(yùn)算能說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定的是（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】由題意，參加其中任意兩項(xiàng)的同學(xué)，不可能參加第三項(xiàng)比賽，故，而其它各項(xiàng)集合運(yùn)算不能說(shuō)明該規(guī)定.故選：C4.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是（）A.70 B.66 C.62 D.58【答案】D【詳解】由正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，從中任選4個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)，其中有12種情況4點(diǎn)共面（6個(gè)側(cè)面，6個(gè)對(duì)角面），所以以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：D5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由.故選：B6.音量大小用聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）表示，聲強(qiáng)級(jí)與聲強(qiáng)I（單位：）的關(guān)系是：，其中指的是人能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng).人能承受的最大聲強(qiáng)為1，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為120dB.若學(xué)生早讀期間讀書(shū)的聲音的聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：dB），則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A.（單位：）B.學(xué)生早讀期間讀書(shū)的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)2倍，則對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍D.如果聲強(qiáng)級(jí)增加10dB，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的10倍【答案】C【詳解】由題設(shè)，可得，A對(duì)；所以，若，則，所以，B對(duì)；若，則，C錯(cuò)；若，則，可得，D對(duì).故選：C7.已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則對(duì)于，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】令，，，，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，C錯(cuò)；一般情況，時(shí)，，，，，此時(shí)；時(shí)，，左邊，右邊左邊，D對(duì)；故選：D．8.設(shè)A，B為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線(xiàn)方程可得，則為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則（）A. B.展開(kāi)式中，中間項(xiàng)的系數(shù)為C.展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為32 D.當(dāng)時(shí)，的末兩位數(shù)字是61【答案】ACD【詳解】由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為，，又，可得，A對(duì)；所以展開(kāi)式通項(xiàng)為，，共有7項(xiàng)，則時(shí)為中間項(xiàng)，系數(shù)為，B錯(cuò)；由上，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，C對(duì)；時(shí)，，故末兩位數(shù)字為，D對(duì).故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)C.在上遞增D.方程在上所有根的和為【答案】AB【詳解】由，所以最小正周期為，A對(duì)；由，則，結(jié)合余弦函數(shù)圖象及極小值點(diǎn)定義知，區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，B對(duì)；由，則，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，C錯(cuò)；由題設(shè)或，則或，，所以，故所有根的和為，D錯(cuò).故選：AB11.已知P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（），線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)OP于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是拋物線(xiàn)B.當(dāng)時(shí)，是離心率為的橢圓C.當(dāng)時(shí)，是離心率為的雙曲線(xiàn)D.若與圓O有公共點(diǎn)，則m取值范圍為【答案】BCD【詳解】A：如下圖，當(dāng)，則為圓與正半軸的交點(diǎn)，則是圓的一條弦，所以必與原點(diǎn)重合，即是一個(gè)點(diǎn)，不是拋物線(xiàn)，錯(cuò)；B：如下圖，當(dāng)，則在線(xiàn)段上，故，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，即，故離心率為，對(duì)；C：如下圖，當(dāng)，則在線(xiàn)段兩側(cè)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)，即，故離心率為，對(duì)；D：由上分析，時(shí)是定點(diǎn)（原點(diǎn)），不滿(mǎn)足；時(shí)，是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，且，顯然不可能與圓O有公共點(diǎn)，不滿(mǎn)足；時(shí)，是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)，若時(shí)，，即雙曲線(xiàn)左支與圓O有公共點(diǎn)，若時(shí)，，即雙曲線(xiàn)不可能與圓O有公共點(diǎn)，所以，對(duì).故選：BCD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則__________.【答案】或【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，即切線(xiàn)的斜率為2，所以由點(diǎn)斜式得即，聯(lián)立整理得，因?yàn)榍芯€(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為只有一個(gè)根，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上或，故答案為:或.13.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為_(kāi)__________．【答案】0.375【詳解】設(shè)該學(xué)校人數(shù)為，依題意得，近視的人數(shù)為，玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)的人有，近視人數(shù)為，于是玩手機(jī)小于1小時(shí)但又近視的人數(shù)為，玩手機(jī)小于1小時(shí)的總?cè)藬?shù)為，這類(lèi)人的近視率約為.故答案為：14.如圖，在中，已知邊上的兩條中線(xiàn)相交于點(diǎn)，則的余弦值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由題可得，，，所以，，，所以，故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，聯(lián)立①②可得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，所以，，，上式下式得，因此，.16.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）求A；（2）若，則的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）6【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，其中，故，因?yàn)?，所以，故，即，所以，因?yàn)?，所以，故，解得；【小?wèn)2詳解】由三角形面積公式得，故，由余弦定理得，解得，故，解得，故，周長(zhǎng)為6.17.如圖，四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：平面PAB；（2）求直線(xiàn)CE與平面PAB間的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【小問(wèn)1詳解】若為的中點(diǎn)，連接，E為PD的中點(diǎn)，則且，由，，則且，故為平行四邊形，所以，平面，平面，故平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）知直線(xiàn)CE與平面PAB間的距離，即為點(diǎn)E與平面PAB間的距離，由，，，取的中點(diǎn)，連接，所以四邊形為矩形，，由是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，由，且都在平面內(nèi)，則平面，由，則平面，平面，則平面平面，以為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，由平面，平面，則，在中，則，由，所以，可得，所以，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，所以直線(xiàn)CE與平面PAB間的距離為.18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）解析：（1）的定義域?yàn)?，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（?。┤簦桑?）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿(mǎn)足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.19.如圖，已知拋物線(xiàn).點(diǎn)A，拋物線(xiàn)上