.2函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性（精講）考向一具體函數(shù)的單調(diào)性【例1-1】（2024湖北）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）.A． B．C． D．，【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，又的圖象是由向右平移個單位而來，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D【例1-2】（2025甘肅）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：D.【例1-3】（2025·云南）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】/【解析】由題得函數(shù)定義域為，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為（或）．故答案為：【例1-4】（2025廣西）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．遞增區(qū)間是 B．遞減區(qū)間是C．遞增區(qū)間是 D．遞增區(qū)間是【答案】D【解析】因為函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是和．故選：D．【例1-5】（2024安徽）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.【一隅三反】1.（2023云南）下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項A錯誤；在R上為增函數(shù)，選項B正確；在上單調(diào)遞減，故選項C錯誤；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，故選項D錯誤.故選：B.2（2025湖南）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】【解析】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.3.（2024江西）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，則，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.4（2025北京）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】和【解析】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.5.（2025福建）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】和【解析】因為，作出的圖象，如圖所示，由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.考向二已知單調(diào)性求參數(shù)【例2-1】（2025·廣東茂名·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得或，即函數(shù)的定義域為，又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，.故選：D.【例2-2】（2024·廣東韶關·一模）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為時，是單調(diào)減函數(shù)，又因為在上單調(diào)，所以，故時，單調(diào)遞誠，則只需滿足，解得，故選：B.【例2-3】（2024·海南·模擬預測）已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以得.又單調(diào)遞增，所以.綜上得.故選：C【一隅三反】1．（2025·黑龍江）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，易知函數(shù)是增函數(shù)，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.2.（2024浙江）設，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由題意可得為減函數(shù)，則，解得.因為推不出，，所以“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B3（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，當時，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.4.（2025·黑龍江）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因為，所以，所以當，即時，，所以.故選：A．5.（2025廣西）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【解析】∵當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，此時，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，必有，即，則實數(shù)a的取值范圍為.考向三函數(shù)奇偶性的判斷【例3-1】（2024高三·全國·專題練習）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)，；(5)；(6)．【答案】(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)(5)非奇非偶函數(shù)(6)非奇非偶函數(shù)【解析】（1）定義域：

∵對于任意且∴為奇函數(shù).（2）定義域：

∵對于任意且∴為偶函數(shù).（3）定義域：，即，∴為非奇非偶函數(shù).（4）定義域：∴為非奇非偶函數(shù).（5）定義域：，解得，∴為非奇非偶函數(shù).（6）定義域：，即，∴為非奇非偶函數(shù).【例3-2】（2025高三·全國·專題練習）（多選）設函數(shù)，則下列函數(shù)中不是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題意可得，，定義域為，且，所以不是奇函數(shù)；，定義域為，且，所以是奇函數(shù)；，定義域為，不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；，定義域為，不關于原點對稱，不是奇函數(shù)．故選：ACD．【一隅三反】1.（2025·山東棗莊·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為，不具奇偶性，B不是；對于C，函數(shù)定義域為R，，不是偶函數(shù)，C不是；對于D，函數(shù)定義域為，，是偶函數(shù)；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，D是.故選：D2.（2025·貴州銅仁·模擬預測）下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故D錯誤.故選：C.3.（2025高三下·全國·專題練習）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對A，設，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設，函數(shù)定義域為，不關于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設，函數(shù)定義域為，因為，則為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B4（24-25高三上·北京東城·期末）下列函數(shù)中，使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，，由于，所以是偶函數(shù)，不合題意，故A錯誤；對于B，，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，符合題意，故B正確；對于C，，當時，，所以不是奇函數(shù)，不合題意，故C錯誤；對于D，，該函數(shù)是奇函數(shù)，但不單調(diào)，不符合題意，故D錯誤.故選：B.5.（2025高三下·全國·專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)奇函數(shù)(4)奇函數(shù).【解析】（1）由得，解得，即函數(shù)的定義域為，從而.因此且，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）由得定義域為，關于原點對稱.，，.又，函數(shù)為奇函數(shù).（3）顯然函數(shù)的定義域為，關于原點對稱.當時，，則；當時，，則；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意，總有，函數(shù)為奇函數(shù).（4）顯然函數(shù)的定義域為，，故為奇函數(shù).考向四已知奇偶性求參數(shù)【例4-1】（24-25高三下·云南昭通·階段練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【解析】由題意可得，即，整理得，恒成立，即，易得：，故選：D.【例4-2】（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，整理得，即，解得，當時，函數(shù)的定義域為；當時，函數(shù)的定義域為，都符合題意，所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A【例4-3】（2024長沙市）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．若，則的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得．又，則，所以．故選：A【一隅三反】1（2025·四川宜賓·二模）若是偶函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由題，可得，即，，，即因不恒為0，故.故選：B.2．（24-25高三下·河北·開學考試）“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，則，故充分性成立，當函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以恒成立，則，則必要性不成立，故是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A3.（24-25高三下·浙江寧波·階段練習）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，所以且，則.故選：A.考向五奇偶性的應用求解析式【例5-1】（24-25遼寧）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，則，∵函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，∴，∴.故選：A.【例5-2】（2025河北滄州·階段練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，那么當時，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，則，所以，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以當時．故選：B【一隅三反】1．（2025河南·階段練習）已知為奇函數(shù)，當時，，則當時，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即．當時，，．故選：C2.（2025河北）設為奇函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，因為函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，，即：.故選：D3.（2024黑龍江哈爾濱）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B考向六奇偶性的應用求函數(shù)值【例6-1】（2025·四川）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以.故選：A【例6-2】（2025高三下·全國·專題練習）已知，.求.【解析】令，則的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，從而，即，因為，所以.答案：.【例6-3】（24-25廣西玉林·期末）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，則．【答案】4【解析】因為，令，則，又因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以．故答案為：4．【一隅三反】1．（2025廣東深圳·期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則【答案】2【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，，，即，又，故2.（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，則．【答案】2【解析】，令，,為奇函數(shù)，所以關于對稱,所以關于對稱，所以．故答案為：2.3.（2025湖北）已知函數(shù)，，若的最大值為，最小值為，則.【答案】【解析】由題意可得，令，則，因為所以為奇函數(shù)，所以在最大值與最小值之和為0，所以.故答案為：8考向七單調(diào)性與奇偶性的應用解不等式【例7-1】（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，∵，∴，解得或.故選：C.【例7-2】（24-25江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以函數(shù)的定義域為，則定義域關于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)，又時，是單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)遞減函數(shù)，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)對稱性知時，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)中，，由得，解得或.故選：D.【例7-3】（24-25高三下·浙江寧波·階段練習）已知函數(shù)，對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)，定義域為R，函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對任意，都有恒成立，則，所以，化簡得所以或，所以或令，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當時，；當時，，當時，；所以，對任意，所以.故選：C.【一隅三反】1.（2025四川）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，關于x的不等式f（x2）＜f（2）的解集是（

）A．{x|x} B．{x|x} C．{x|x或x} D．{x|x}【答案】C【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞減,故有或.故選：C2.（23-24北京）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的定義域為，因為，，由可得，即的圖象在圖象的上方，畫出的圖象，如下圖，

由圖可知：不等式的解集是.故選：D.3.（2025安徽銅陵·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，∴，∴，或，解得，或，∴原不等式的解集是，故選：A．4.（2025·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，定義域為，，為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，所以即，即的取值范圍是.故選：C5.（24-25河北）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，則，所以為偶函數(shù)，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則由不等式，得，則，化簡得，解得，則不等式的解集為.故選：A.考向八單調(diào)性與奇偶性的應用比較大小【例8-1】（2025·山西·一模）若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上是減函數(shù)，，所以，又，所以.故選：.【例8-2】（2024·北京·模擬預測）函數(shù)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】注意到定義域為全體實數(shù)，且，所以是上的偶函數(shù)，從而，因為在上單調(diào)遞增，所以關于在上單調(diào)遞減，而，所以.選：B【一隅三反】1.（2024·天津·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，得到，又，函數(shù)是減函數(shù)，所以，又，得到，所以，故選：A.2．（2025陜西）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)在R上均為增函數(shù)，故在R上單調(diào)遞增，由于，故，故，即，故選：D3.（24-25貴州）已知函數(shù)，設，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為在上為增函數(shù)，且，所以，因為在上遞增，且，所以，即，所以，因為和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，所以.故選：C4.（2025廣東）已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其導數(shù)函數(shù)，因為，所以在上恒成立，則在上為增函數(shù)；，所以為奇函數(shù)，所以，又由，則；故選：D．考向九抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【例9】（2025高三·全國·專題練習）設函數(shù)的定義域為，且滿足，，又當時，．(1)判斷的奇偶性；(2)證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式．【答案】(1)奇函數(shù)(2)證明見解析(3)【解析】（1）令，得，．令，則，即，，即函數(shù)是奇函數(shù)；（2）設，，，在上是增函數(shù)；（3），，，由單調(diào)性得，解得．故不等式解集為【一隅三反】1．（24-25江西宜春·階段練習）已知函數(shù)滿足任意的實數(shù)，，都有，且當時，.(1)求的值，并證明：是奇函數(shù)；(2)判斷在上的單調(diào)性并證明；(3)若關于的不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【解析】（1）因為函數(shù)滿足任意的實數(shù)，，都有，令，則，所以.