第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.【知識梳理】1.n重伯努利試驗將一個伯努利試驗(________________的試驗)獨立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗.2.二項分布(1)概念：在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n，稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作________.(2)期望與方差：E(X)＝______，D(X)＝_______________.3.超幾何分布(1)概念：假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)特點：從含有M個特殊元素的N個元素中抽取n個元素，X表示其中的特殊元素的個數(shù).(3)期望：E(X)＝________＝np(其中p＝eq\f(M,N)為次品率).4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，函數(shù)f(2)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱.②曲線在________處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).③當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.④曲線與x軸圍成的面積總為________.⑤在參數(shù)σ取固定值時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示.σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，曲線越“胖”；σ越小，曲線越“瘦”，如圖2所示.(3)正態(tài)分布的概念及表示①概念：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e-(x-μ)22σ2，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為________.特別地，當(dāng)μ＝0，②正態(tài)分布的均值與方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝________，D(X)＝________.③3σ原則：如果X～N(μ，σ2)，那么P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.[常用結(jié)論與微點提醒]1.兩點分布是當(dāng)n＝1的二項分布，二項分布中的每次試驗的結(jié)果都服從兩點分布.2.當(dāng)X～B(n，p)時，且P給定：若(n＋1)p是整數(shù)，則k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1時，P(X＝k)取得最大值.若(n＋1)p非正整數(shù)，則k＝[(n＋1)p](不大于(n＋1)p的最大整數(shù))時，P(X＝k)取得最大值.注：若均值為正整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量k＝np時，概率最大.3.若X～N(μ，σ2)，則P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是2的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.()(2)有放回地抽樣試驗是n重伯努利試驗，且在n重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.()(3)如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么n重伯努利試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，…，n).(4)服從二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量.()2.(北師大選修一P224T2原題)若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，其分布密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))·e-(x-1)28(x∈R)，則σ的值為(A.1 B.2C.4 D.83.(人教A選修三P78例5改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)4.(蘇教選修二P146T8改編)如果隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，那么D(X)＝________.考點一二項分布例1(2025·福州模擬)電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物已經(jīng)成為很多人的選擇.某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級口香糖10元錢三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機(jī)點擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動補充相應(yīng)的口香糖).(1)小王花10元錢買三瓶，請問小王收到貨的組合方式共有多少種？(2)小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點擊三瓶，請列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望和方差.思維建模判斷某隨機(jī)變量服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.(4)隨機(jī)變量是n重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù).訓(xùn)練1(1)(多選)(2025·徐州模擬)某計算機(jī)程序每運行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個五位二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位數(shù)中ak(k＝2，3，4，5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，則當(dāng)程序運行一次時()A.X服從二項分布B.P(X＝1)＝eq\f(8,81)C.X的均值E(X)＝eq\f(8,3)D.X的方差D(X)＝eq\f(4,3)(2)(2025·長沙調(diào)研)某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查；得到的情況如表所示：用時/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人數(shù)1522149女性人數(shù)511177以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛好者進(jìn)行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是()A.2 B.3C.4 D.5考點二超幾何分布例2(2025·杭州調(diào)研)某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話.聊天機(jī)器人模型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí))技術(shù)，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為50%.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機(jī)器人模型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為p，若聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為80%，求p的值.思維建模1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2(2024·宿州模擬)宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計算數(shù)據(jù)中心、CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國第5家量子通信節(jié)點城市.為了統(tǒng)計智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機(jī)房和6個小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為eq\f(1,3).(1)求n的值；(2)若一次抽取3個機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.考點三正態(tài)分布例3(1)(多選)(2024·新高考Ⅰ卷)隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝2.1，樣本方差s2＝0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(eq\o(x,\s\up6(－))，s2)，則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(Z<μ＋σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8(2)(2025·北京海淀區(qū)模擬)某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于(49.6，50.4)的為優(yōu)品，技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(50，0.16)；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(50，0.04).那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差約為________.(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|<σ)≈0.6827，P(|X－μ|<2σ)≈0.9545，P(|X－μ|<3σ)≈0.9973)思維建模解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間.由μ，σ利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.訓(xùn)練3(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等(2)(2025·東北四市調(diào)研)已知隨機(jī)變量X～N(4，42).若P(X<3)＝0.3，則P(3<X<5)＝________；若Y＝2X＋1，則Y的方差為________.二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.一、以總體個數(shù)有限與無限區(qū)分兩種分布例1某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.二、以放回與不放回抽樣區(qū)分兩種分布例2(多選)某