第2節(jié)用樣本估計總體課標要求1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.【知識梳理】1.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有________的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中______________的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把____________稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).3.標準差與方差設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].4.總體(樣本)方差和總體(樣本)標準差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\o(Y,\s\up6(－))，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.(2)加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.[常用結(jié)論與微點提醒]1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a.2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.3.若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)必為其中一個數(shù).()(3)方差越大，數(shù)據(jù)越集中.()(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.()2.(人教A必修二P181T1原題)為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市50000戶居民的日用電量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了300戶進行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5kW·h，則可以推測全市居民用戶日用電量的平均數(shù)()A.一定為5.5kW·h B.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·h D.約為5.5kW·h3.(北師大必修一P170例3改編)為了判斷甲、乙兩名同學本學期幾次數(shù)學考試成績哪個較穩(wěn)定，通常需要知道這兩人的()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.方差 D.頻率分布4.(蘇教必修二P257T1改編)已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，則這組數(shù)據(jù)的標準差為________，25%分位數(shù)為________.考點一總體百分位數(shù)的估計例1(1)(2025·河北名校聯(lián)考)養(yǎng)雞是農(nóng)業(yè)養(yǎng)殖的一個重要組成部分，隨著人們對健康飲食的重視和市場對禽肉需求的增長，養(yǎng)雞業(yè)發(fā)展迅速.如圖為某小型養(yǎng)雞場2018～2024年每年養(yǎng)雞數(shù)量(單位：百只)的統(tǒng)計圖：則該養(yǎng)雞場這7年養(yǎng)雞數(shù)量的第60百分位數(shù)是()A.45 B.60C.80 D.85(2)將高三某班60名學生參加某次數(shù)學模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))思維建模1.計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟2.直方圖中可運用面積和求第p百分位數(shù)或按下列方法計算：(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b).(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數(shù)為a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a).訓練1(1)(2025·鄭州質(zhì)檢)數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位數(shù)為()A.8.5 B.8.6C.8.7 D.8.8(2)(2025·廣州調(diào)研)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值近似代替)()A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3考點二總體集中趨勢的估計角度1樣本的數(shù)字特征例2(1)(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數(shù)302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間(2)(2025·南通調(diào)研)一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為()A.25 B.30C.35 D.40角度2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例3在新疆某地收購的一批棉花中隨機抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數(shù)分布表如下：纖維長度頻數(shù)頻率[0，50)40.04[50，100)80.08[100，150)100.10[150，200)100.10[200，250)160.16[250，300)400.40[300，350]120.12(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；(2)根據(jù)(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，并對這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)進行估計.思維建模1.中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”和“平均水平”，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.2.頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高的矩形底邊中點的橫坐標.(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.訓練2(1)某大學共有12000名學生，為了了解學生課外圖書閱讀量情況，該校隨機地從全校學生中抽取1000名，統(tǒng)計他們每年閱讀的書籍數(shù)量，由此來估計全體學生當年的閱讀書籍數(shù)量的情況，下列估計中正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)()A.中位數(shù)為6B.眾數(shù)為10C.平均數(shù)為6.88D.該校讀書不低于8本的人數(shù)約為3600(2)(2023·上海卷)國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟狀況和發(fā)展水平的重要指標.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP穩(wěn)定增長，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個季度的GDP逐季度增長，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.考點三總體離散程度的估計例4(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)，試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高).思維建模標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度，標準差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.訓練3(1)(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A.樣本x1，x2，…，xn的標準差B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.樣本x1，x2，…，xn的極差D.樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)(2)(2025·福州調(diào)研)某單位共有A，B兩個部門，1月份進行服務滿意度問卷調(diào)查，得到兩個部門服務滿意度得分的頻率分布條形圖如圖.設A，B兩個部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為n1，n2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則()A.n1>n2，seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2) B.n1>n2，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)C.n1<n2，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2) D.n1<n2，seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2)