湖南春季高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|2<x<3}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]

3.已知點(diǎn)P(a,b)在直線y=2x上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離等于（）

A.|a|

B.|b|

C.√(a2+b2)

D.√(5a2)

4.若等差數(shù)列{a?}中，a?=5，d=2，則a?的值等于（）

A.9

B.11

C.13

D.15

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.拋擲兩個(gè)均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

7.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

8.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間(0,1)上的平均值等于（）

A.e

B.e^2

C.1

D.ln(e)

9.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，則該三角形的面積等于（）

A.6

B.8

C.10

D.12

10.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z的模長(zhǎng)等于（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(-x)

D.f(x)=x2+1

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.f(0)=c

D.f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

3.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足a?=1，a?=a???+2n，則下列關(guān)于數(shù)列{a?}的說法正確的有（）

A.數(shù)列{a?}是等差數(shù)列

B.a?=7

C.S?=40

D.a?=2n-1

4.下列命題中，正確的有（）

A.若sinα=sinβ，則α=β

B.若cosα=cosβ，則α=2kπ±β，k∈Z

C.直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是r=|k|b

D.在△ABC中，若a2=b2+c2，則△ABC是直角三角形

5.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的有（）

A.f(x)的最小值是3

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)的圖像關(guān)于x=-1.5對(duì)稱

D.f(0)=3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(1)的值等于________。

2.不等式|3x-2|<5的解集是________。

3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心C的坐標(biāo)是________。

4.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q等于________。

5.已知函數(shù)f(x)=tan(x-π/4)，則f(x)的圖像的周期是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2^(2x+1)-3*2^x+2=0

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，C=60°，求邊c的長(zhǎng)度。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

5.已知函數(shù)f(x)=x-sin(x)，求其在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x≥2}={x|2≤x<3}

2.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求真數(shù)大于0，即x-1>0，解得x>1

3.C

解析：點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離為√(a2+b2)，由點(diǎn)P在直線y=2x上，得b=2a，故距離為√(a2+(2a)2)=√(5a2)

4.C

解析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，a?=5+(5-1)×2=13

5.A

解析：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，此處ω=1，故T=π

6.A

解析：拋擲兩個(gè)骰子共有36種等可能結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6

7.A

解析：圓心到直線的距離d=2小于半徑r=3，故直線與圓相交

8.C

解析：函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的平均值等于(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx，此處f(x)=e^x，a=0，b=1，故平均值為(1/(1-0))∫[0,1]e^xdx=e^x|[0,1]=e-1，但題目選項(xiàng)中無此值，最接近的是1（當(dāng)f(x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)）

9.A

解析：此三角形為直角三角形（32+42=52），面積S=1/2×3×4=6

10.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模長(zhǎng)|z|=√(12+12)=√2

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)（f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)）；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)（sin(-x)=-sin(x)）；f(x)=log?(-x)不是奇函數(shù)（f(-x)不存在）；f(x)=x2+1是偶函數(shù)（f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)）

2.ABC

解析：拋物線開口向上要求a>0；頂點(diǎn)在x軸上要求判別式Δ=b2-4ac=0；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b2/4a)，縱坐標(biāo)為c-b2/4a=0即c=b2/4a，所以f(0)=c，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減要求a>0且-b/2a<0即b>0，題目未給出b>0的條件

3.BCD

解析：a?=a???+2n=>a?-a???=2n，此數(shù)列不是等差數(shù)列（差值不恒定）；a?=a?+2×2=1+2×2=7；S?=a?+a?+a?+a?+a?=1+(1+2)+7+(7+4)+(7+6)=1+3+7+11+13=35，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由a?=a???+2n=>a?-a???=2n=>a?=(a?-a???)+(a???-a???)+...+(a?-a?)+a?=2n+2(n-1)+...+2×2+1=2(1+2+...+(n-1))+1=2×n(n-1)/2+1=n2-n+1，驗(yàn)證a?=2n-1不成立（如n=3時(shí)，n2-n+1=7≠5）

4.BD

解析：sinα=sinβ=>α=2kπ+β或α=(2k+1)π-β，k∈Z，不一定有α=β，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；cosα=cosβ=>α=2kπ±β，k∈Z，選項(xiàng)B正確；直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是圓心到直線的距離等于半徑，即|k*0-0+b|/√(k2+1)=r=>|b|/√(k2+1)=r=>r=|b|/√(k2+1)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在△ABC中，若a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形，選項(xiàng)D正確

5.ACD

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|分段為：x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。最小值為3（在區(qū)間-2≤x≤1時(shí)取得）；f(-x)=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|≠f(x)且≠-f(x)，故不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于x=-1/2對(duì)稱，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在x=-1/2處連續(xù)，且左右兩段的斜率絕對(duì)值相等（-2與2），故關(guān)于x=-1/2對(duì)稱，選項(xiàng)C正確；f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3，選項(xiàng)D正確

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(1)=2^1+1=2+1=3

2.(-1,3)

解析：|3x-2|<5=>-5<3x-2<5=>-3<3x<7=>-1<x<7/3=>(-1,7/3)

3.(1,-2)

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-h)2+(y-k)2=r2中，(h,k)為圓心坐標(biāo)，故圓心C(1,-2)

4.3

解析：a?=a?q2，a?=6，a?=54=>54=6q2=>q2=9=>q=±3，由a?=a?q=5q=6=>q=6/5≠3，故q=-3

5.π

解析：函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的圖像周期T=π/|ω|，此處ω=1，故T=π

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12

2.1

解析：令2^x=t，則原方程變?yōu)閠2-3t+2=0=>(t-1)(t-2)=0=>t=1或t=2=>2^x=1=>x=0或2^x=2=>x=1，解集為{0,1}

3.√19

解析：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=>c2=52+72-2×5×7×cos60°=>c2=25+49-70×1/2=>c2=74-35=>c2=39=>c=√39≈6.24，但題目要求精確值√39，選項(xiàng)中無此值，最接近的是√19，檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)cos60°=1/2計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為cos60°=0.5=>c2=25+49-35=39，故c=√39，題目答案可能存在印刷錯(cuò)誤，若必須選擇，√19非正確答案

4.x2/2+2x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+2x+1)+2]/(x+1)dx=∫[(x+1)2+2]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C

5.最大值：π-1，最小值：0

解析：f'(x)=1-cos(x)，令f'(x)=0=>1-cos(x)=0=>cos(x)=1=>x=2kπ，k∈Z，在[0,π]內(nèi)只有x=0滿足，f(0)=0-sin(0)=0；f(π)=π-sin(π)=π-0=π；f(0)=0，f(π)=π，故最大值為max{0,π}=π，最小值為min{0,π}=0

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容。具體知識(shí)點(diǎn)分類如下：

一、函數(shù)

1.函數(shù)的概念：定義域、值域、函數(shù)表示法

2.函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性

3.基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

4.函數(shù)的運(yùn)算：函數(shù)的加減乘除、函數(shù)的復(fù)合、函數(shù)的反函數(shù)

5.函數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)模型、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式

二、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義：任意角三角函數(shù)的定義、單位圓

2.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)

3.三角函數(shù)的恒等變換：和差角公式、倍角公式、半角公式、積化和差公式、和差化積公式

4.三角函數(shù)的解三角形：正弦定理、余弦定理、面積公式

三、數(shù)列

1.數(shù)列的概念：數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和

2.等差數(shù)列：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

3.等比數(shù)列：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

4.數(shù)列的應(yīng)用：遞推數(shù)列、數(shù)列與不等式、數(shù)列與極限

四、不等式

1.不等式的性質(zhì)：不等式的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的證明方法

2.一元二次不等式：一元二次不等式的解法

3.絕對(duì)值不等式：絕對(duì)值不等式的解法

4.含參不等式：含參不等式的討論

五、解析幾何

1.直線：直線的方程、直線的斜率、直線的相交與平行

2.圓：圓的方程、圓的相交與相切

3.圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)

六、導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

七、積分

1.不定積分的概念：原函數(shù)、不定積分的定義

2.不定積分的運(yùn)算：不定積分的基本公式、不定積分的運(yùn)算法則

3.定積分的概念：定積分的定義、定積分的幾何意義

4.定積分的運(yùn)算：定積分的計(jì)算方法、定積分的應(yīng)用

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

1.考察基礎(chǔ)概念和計(jì)算能力，如函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的值等。

示例：已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(1)的值等于________。答案：3。解析：直接計(jì)算f(1)=2^1+1=3。

2.考察運(yùn)算能力，如絕對(duì)值不等式的解法、解三角形等。

示例：若等差數(shù)列{a?}中，a?=5，d=2，則a?的值等于________。答案：13。解析：a?=a?+4d=5+4×2=13。

3.考察綜合應(yīng)用能力，如函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等。

示例：解方程：2^(2x+1)-3*2^x+2=0。答案：x=1。解析：令2^x=t，則原方程變?yōu)閠2-3t+2=0=>(t-1)(t-2)=0=>t=1或t=2=>2^x=1=>x=0或2^x=2=>x=1，解集為{0,1}。

二、多項(xiàng)選擇題

1.考察對(duì)概念的深入理解，如函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的遞推關(guān)系等。

示例：下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(-x)

D.f(x)=x2+1

答案：AB。解析：f(x)=x3是奇函數(shù)（f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)）；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)（sin(-x)=-sin(x)）；f(x)=log?(-x)不是奇函數(shù)（f(-x)不存在）；f(x)=x2+1是偶函數(shù)（f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)）。

2.考察對(duì)定理和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，如二次函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)等。

示例：若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.f(0)=c

D.f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

答案：ABC。解析：拋物線開口向上要求a>0；頂點(diǎn)在x軸上要求判別式Δ=b2-4ac=0；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b2/4a)，縱坐標(biāo)為c-b2/4a=0即c=b2/4a，所以f(0)=c，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減要求a>0且-b/2a<0即b>0，題目未給出b>0的條件。

三、填空題

1.考察基本計(jì)算能力，如函數(shù)值的計(jì)算、絕對(duì)值不等式的解法等。

示例：計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。答案：12。解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(