第一章空間向量與立體幾何1.4.2用空間向量研究距離、角度問題·選擇性必修第一冊·第2課時用空間向量研究空間角度問題學習目標

理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系,會用向量方法

求兩異面直線所成角，發(fā)展直觀想象，數(shù)學運算素養(yǎng).

理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系,

會用向量方法求直線與平面所成角，發(fā)展直觀想象，數(shù)學運算素養(yǎng).

理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關系,會用向量方法求二

面角的大小，發(fā)展直觀想象，數(shù)學運算素養(yǎng).12301情境導入1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題引入新知我們都知道，地球是傾斜的橢球，到底有多傾斜呢？為此科學家將地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,科學家計算出兩個角度體現(xiàn)了地球的傾斜程度：①

黃道面與地球赤道面交角為23°26'.②

地軸與黃道面所成的夾角為66°34'.思考：科學家是如何精準的計算出這兩個角度大小的呢，能否借助我們所學的空間向量的工具進行計算得出角度大小呢？02新課探究1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題新課探究立體幾何中有哪些夾角問題呢？思考異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角（兩平面的夾角）新課探究如何利用兩直線的方向向量求兩直線所成的角？探究1

結論：兩直線所成角就是它們的方向向量所成角或其補角.新課探究兩直線的方向向量求兩直線所成的角：歸納

和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析坐標法求異面直線所成的角①

建系求相關點坐標②

求兩直線方向向量③

代入公式計算得解新課探究坐標法求異面直線所成角的基本步驟：方法第一步建系求點：建立空間直角坐標系及求相關點的坐標第二步求方向向量：求兩直線的方向向量的坐標第三步向量運算：利用坐標求兩個方向向量的數(shù)量積和各自的模長第四步翻譯下結論：將運算結果“翻譯”，得出結論03應用新知1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題新課探究圖1.4-19基底法求異面直線所成的角新課探究解析圖1.4-19①

設角：將夾角問題轉化為向量問題②

基底表示：用基底表示方向向量解析新課探究圖1.4-19③

向量運算：得出結果④

下結論:將運算結果“翻譯”新課探究基底法求異面直線所成角的基本步驟：方法第一步設角：將夾角問題轉化為向量問題第二步基底表示：選基底，用基底表示方向向量第三步向量運算：求兩個方向向量的數(shù)量積和各自的模長第四步翻譯下結論：將運算結果“翻譯”，得出結論新課探究都是利用空間向量工具求異面直線所成角，且基本步驟相同：幾何問題向量問題向量運算幾何翻譯思考坐標法與基底法求異面直線所成角有何共同特點？課后思考利用坐標法完成例7的解答，并分析坐標法和基底法解該題的優(yōu)劣性？借助坐標法，還是基底法解題的選擇上有什么心得體會？04新課探究1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題新課探究如何利用直線方向向量與平面法向量求直線與平面所成的角？探究2

新課探究直線方向向量與平面法向量求線面角：歸納

新課探究定義

四思考兩個平面的夾角與這兩個平面形成的二面角的大小有何關系？相等

或

互補新課探究探究3如何利用兩平面的法向量求平面與平面的夾角？

新課探究兩平面的法向量求平面與平面的夾角：歸納

新課探究

思考

新課探究空間夾角的向量求解小結范圍圖形公式異面直線所成角直線與平面所成角平面與平面的夾角和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析思考：該題易錯選C，為什么？和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析和數(shù)量積的定義牛刀小試解析思考：該題易錯填一個角，為什么？05應用新知1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題應用新知例8分析圖1.4-22坐標法求兩平面的夾角應用新知例8圖1.4-22解析①

設角：將夾角問題轉化為向量問題應用新知例8解析圖1.4-22②

求法向量：分別求兩個平面的法向量應用新知例8解析圖1.4-22③

向量運算：代入公式運算得結果應用新知例8解析圖1.4-22④

下結論:將運算結果“翻譯”新課探究坐標法求兩平面的夾角的基本步驟：方法第一步設角：將夾角問題轉化為向量問題第二步建系求法向量：分別求兩個平面的法向量的坐標第三步向量運算：以上兩個法向量坐標代入公式運算得結果第四步翻譯下結論：將運算結果“翻譯”，得出結論應用新知例9圖1.4-23分析應用新知例9圖1.4-23解析圖1.4-24應用新知例9圖1.4-24解析應用新知例10圖1.4-25分析本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．應用新知例10解析圖1.4-25圖1.4-26建系求點應用新知例10圖1.4-26證明坐標法證線線平行結合線面平行判定定理下結論應用新知例10圖1.4-26證明坐標法證線線垂直結合線面垂直判定定理下結論應用新知例10圖1.4-26解析結合平面角定義得出所求角待定系數(shù)法求點F坐標應用新知例10圖1.4-26解析向量運算得結果06重要題型1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題重要題型專練題型一異面直線所成角的求解例題法一：坐標法重要題型專練題型一異面直線所成角的求解法二：基底法重要題型專練題型一異面直線所成角的求解法三：幾何法方法總結重要題型專練求異面直線所成的角的兩種方法重要題型專練題型二空間直線與平面所成角的求解例題法一：坐標法重要題型專練題型二空間直線與平面所成角的求解例題法二：幾何法方法總結應用新知求空間直線與平面所成角的方法幾何法向量法重要題型專練解析例題題型三平面與平面的夾角（二面角）的求解重要題型專練解析例題題型三平面與平面的夾角（二面角）的求解重要題型專練解析例題題型三平面與平面的夾角（二面角）的求解方法總結應用新知向量法求二面角的步驟07真題感知1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題和數(shù)量積的定義真題感知解析和數(shù)量積的定義真題感知解析和數(shù)量積的定義真題感知解析和數(shù)量積的定義真題感知解析和數(shù)量積的定義真題感知解析和數(shù)量積的定義真題感知(1)證明和數(shù)量積的定義真題感知(1)證明和數(shù)量積的定義真題感知(2)解析08課堂筆記1.4.2用空間向量研究距離、

角度問題課堂筆記1.兩直線的方向向量求兩直線所成的角

課堂筆記2.直線方向向量與平面法向量求線面角

課堂筆記3.兩平面的法向量求平面與平面的夾角

課堂筆記

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