河北省期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于哪條直線對(duì)稱（）

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=16，則a?+a??的值為（）

A.8

B.16

C.24

D.32

4.若sinα=1/2，且α為銳角，則cos(α+π/6)的值為（）

A.1/2

B.√3/2

C.-1/2

D.-√3/2

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

6.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是（）

A.x-y=1

B.x+y=3

C.x-y=-1

D.x+y=-1

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

8.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到直線x-y=0的距離等于（）

A.|a-b|

B.√2|a-b|

C.1/√2|a-b|

D.√|a-b|

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=1/x

C.y=|x|

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=6，b?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.b?=2×3??1

B.b?=3×2??1

C.b?=2×3??1

D.b?=3×2??1

3.下列命題中，正確的有（）

A.若sinα=sinβ，則α=β

B.若cosα=cosβ，則α=2kπ±β（k∈Z）

C.直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是b2=r2(1+k2)

D.一個(gè)三角形的三內(nèi)角之比為1:2:3，則這個(gè)三角形是直角三角形

4.從一副撲克牌（除去大小王）中隨機(jī)抽取一張，抽到下列哪種情況的概率相等（）

A.抽到紅桃

B.抽到黑桃

C.抽到K

D.抽到紅色的K

5.下列曲線中，離心率e>1的有（）

A.橢圓x2/a2+y2/b2=1（a<b）

B.拋物線y=x2

C.雙曲線x2/a2-y2/b2=1

D.橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b）

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(1)的值為_(kāi)_____。

2.不等式|3x-2|<5的解集為_(kāi)_____。

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，則sinC的值為_(kāi)_____。

4.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=4，則圓C的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____。

5.若樣本數(shù)據(jù)為5,7,9,10,12，則該樣本的方差為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x-y=1

{x+3y=8

3.已知向量a=(3,-1)，向量b=(1,2)，求向量a+b和向量2a-3b的坐標(biāo)。

4.計(jì)算極限lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

5.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=10，a??=19，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于A又屬于B的元素，即{x|2<x<3}。

2.C

解析：f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)的充要條件，log?(-x+1)=-log?(x+1)，圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱。

3.B

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，a?+a?=2a?=16，得a?=8。則a?+a??=2a?=16。

4.B

解析：α為銳角，sinα=1/2，則α=30°。cos(α+π/6)=cos30°=√3/2。

5.C

解析：骰子偶數(shù)點(diǎn)有2,4,6，共3個(gè)，概率為3/6=1/2。

6.A

解析：AB中點(diǎn)為(2,1)，斜率為(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分線斜率為1，方程為y-1=1(x-2)，即x-y=1。

7.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-60°-45°=75°。

8.A

解析：f(x)在[-1,2]上，f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1，f(1)=12-2*1+3=2。比較f(-1)=6，f(2)=3，最小值為1。

9.B

解析：圓方程配方得(x-2)2+(y+3)2=16，圓心為(2,-3)。

10.C

解析：點(diǎn)P(a,b)到直線x-y=0的距離d=|ax-by|/√(a2+b2)=|a-b|/√2=1/√2|a-b|。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)。f(x)=1/x，f(-x)=-1/x=-f(x)。f(x)=|x|，f(-x)=|-x|=|x|≠-f(x)，非奇函數(shù)。f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。

2.A,B

解析：由b?/b?=(q)??2=162/6=q3，得q=3。則b?=b?q??2=6*3??2=2*3??1。若選D，b?=3*2??1=96，矛盾。若選C，b?=2*3?1=6*3=18，矛盾。

3.B,C,D

解析：sinα=sinβ，α=kπ+2nπ±β。當(dāng)k=0,n=0時(shí)，α=β。故A錯(cuò)。cosα=cosβ，α=2kπ±β。故B對(duì)。直線x2+y2=r2與直線y=kx+b相切，圓心到直線距離等于半徑，|b|/√(1+k2)=r，即b2=r2(1+k2)。故C對(duì)?！鰽BC三內(nèi)角比1:2:3，則3x+x+x=180°，5x=180°，x=36°，最大角為108°，為鈍角三角形。故D對(duì)。

4.A,B,C

解析：一副撲克牌52張，紅桃13張，黑桃13張，K有4張。P(紅桃)=13/52=1/4。P(黑桃)=13/52=1/4。P(K)=4/52=1/13。P(紅色的K)=2/52=1/26。故A=B=C，D與之不等。

5.C

解析：橢圓離心率e=c/a，0<e<1。雙曲線離心率e=c/a，e>1。故只有C正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(1)=21+1=2+1=3。

2.(-1,3)

解析：|3x-2|<5，-5<3x-2<5。加2得-3<3x<7。除以3得-1<x<7/3。

3.√3/2

解析：sinC=sin(180°-(45°+60°))=sin(75°)=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=√6/4+√2/4=√3/2。

4.2

解析：圓方程為(x+1)2+(y-2)2=4，半徑r=√4=2。

5.9.6

解析：樣本均值x?=(5+7+9+10+12)/5=9。方差s2=[(5-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(12-9)2]/5=[(-4)2+(-2)2+02+12+32]/5=(16+4+0+1+9)/5=30/5=6。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x2/2+x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+2x+1)+2]/(x+1)dx=∫[(x+1)2+2]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

2.x=3,y=1

解析：由2x-y=1得y=2x-1。代入x+3y=8得x+3(2x-1)=8，x+6x-3=8，7x=11，x=11/7。代入y=2x-1得y=2(11/7)-1=22/7-7/7=15/7。解得x=11/7,y=15/7。檢查原方程：2*(11/7)-(15/7)=22/7-15/7=7/7=1。11/7+3*(15/7)=11/7+45/7=56/7=8。解正確。

3.a+b=(4,1),2a-3b=(-3,-7)

解析：a+b=(3+1,-1+2)=(4,1)。2a-3b=2(3,-1)-3(1,2)=(6,-2)-(3,6)=(6-3,-2-6)=(3,-8)。

4.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)/(x-2)]=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12。

5.a?=3n-2

解析：由a?=10得a?+4d=10。由a??=19得a?+9d=19。聯(lián)立解得a?=2,d=1。通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)*1=2+n-1=n+1。驗(yàn)證：a?=5+1=6。a??=10+1=11。原題a?=10，a??=19，推導(dǎo)出a?=n+1，與題目條件矛盾。可能是題目條件有誤。若按推導(dǎo)出的通項(xiàng)a?=n+1，則a?=6，a??=11。若題目條件正確a?=10，a??=19，則通項(xiàng)應(yīng)為a?=3n-2。驗(yàn)證：a?=3*5-2=15-2=13。a??=3*10-2=30-2=28。與題目條件矛盾。故此題條件與結(jié)果存在矛盾。若按推導(dǎo)過(guò)程，通項(xiàng)應(yīng)為a?=n+1。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)主要分為代數(shù)、三角、幾何、概率統(tǒng)計(jì)四大板塊。

代數(shù)部分包括：函數(shù)概念與性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）、函數(shù)圖像變換、方程與不等式求解（線性方程組、絕對(duì)值不等式、一元二次方程與不等式、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)）、數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和）、導(dǎo)數(shù)與極限（導(dǎo)數(shù)定義、幾何意義、求導(dǎo)法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、極限計(jì)算方法）、積分（不定積分計(jì)算）、數(shù)列求和（公式法、裂項(xiàng)相消法）。

三角部分包括：三角函數(shù)定義（任意角三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式）、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）、三角恒等變換（和差角公式、倍角公式、半角公式、積化和差、和差化積）、解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）、反三角函數(shù)概念與性質(zhì)。

幾何部分包括：平面幾何（點(diǎn)、線、面位置關(guān)系、三角形性質(zhì)與判定、平行線性質(zhì)與判定、平行四邊形性質(zhì)與判定、圓的性質(zhì)與方程）、解析幾何（直線方程、直線與直線位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離、圓的方程與性質(zhì)、圓錐曲線方程與性質(zhì)——本試卷未涉及橢圓與雙曲線）、立體幾何（空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系——本試卷未涉及）。

概率統(tǒng)計(jì)部分包括：隨機(jī)事件與概率、古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)初步（平均數(shù)、方差、樣本數(shù)字特征）。

各題型考察學(xué)生知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌握程度和理解能力。題目往往綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析判斷。例如第2題考察對(duì)數(shù)函數(shù)奇偶性與圖像對(duì)稱性的理解；第4題考察古典概型概率計(jì)算；第7題考察三角形內(nèi)角和定理與鈍角三角形判斷。示例：已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值是（）

A.-1

B.0

C.3

D.4

解：f(x)=(x-2)2-1，對(duì)稱軸x=2。區(qū)間[1,4]包含對(duì)稱軸。最小值在x=2處取得，f(2)=-1。故選A。

多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面掌握和辨析能力，需要學(xué)生能夠準(zhǔn)確判斷每個(gè)選項(xiàng)是否符合題意。例如第1題考察對(duì)奇函數(shù)定義的理解與應(yīng)用；第3題考察對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和幾何圖形性質(zhì)的判斷。示例：下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)的有（）

A.y=x2

B.y=1/x2

C.y=cos(x)

D.y=ex

解：A.f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，為偶函數(shù)。B.f(x)=1/x2，f(-x)=1/(-x)2=x2=f(x)，為偶函數(shù)。C.f(x)=cos(x)，f(-x)=cos(-x)=cos(x)=f(x)，為偶函數(shù)。D.f(x)=e^x，f(-x)=e^(-x)=1/e^x≠e^x=f(x)，非偶函數(shù)。故選A、B、C。

填空題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算的熟練程度，題目通常比較簡(jiǎn)潔，但要求答案準(zhǔn)確無(wú)誤。例如第2題考察絕對(duì)值不等式求解；第4題考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。示例：計(jì)算sin(α+β)的值，其中α=π/3，β=π